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【数学】矩阵、向量（内含矩阵乘法C++）

news 来源：原创 2025/5/11 11:31:37

一、前置知识：向量（一列或一行的矩阵）、矩阵
- 1. 行向量
- 2. 列向量
- 3. 向量其余基本概念
- 4. 矩阵基本概念
- 5. 关于它们的细节
二、运算
- 1. 转置
- - （1）定义
  - （2）性质
- 2. 矩阵（向量）与矩阵（向量）的加减法
- 3. 点乘与乘法
- - （1）定义：矩阵点乘
  - （2）定义：向量点乘
  - （3）定义：矩阵（向量）与标量的乘法
  - （4）定义：矩阵（向量）与矩阵（向量）的乘法
  - （5）性质：矩阵（向量）与矩阵（向量）的乘法
  - （6）应用：矩阵快速幂，进行加速
三、拓展
- 1. 向量表示里的几何意义
- 2. 向量加法里的几何意义
- 3. 向量求反里的几何意义
四、结尾

一、前置知识：向量（一列或一行的矩阵）、矩阵

1. 行向量

例如 $\begin{bmatrix}1&1&4\end{bmatrix}$ ，这就是一个行向量， $\begin{bmatrix}1&1&4\end{bmatrix}$ 可以理解为一个 $1$ 行 $3$ 列矩阵。

行向量： $\begin{bmatrix}a_1&\dots&a_n\end{bmatrix}$ ， $n$ 为任意取值。

2. 列向量

例如 $\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix}$ ，这就是一个列向量， $\begin{bmatrix}5\\1\\4\end{bmatrix}$ 可以理解为一个 $3$ 行 $1$ 列的矩阵。

列向量： $\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$ ， $n$ 为任意取值。

3. 向量其余基本概念

向量是一个有方向与大小的量，它的起点可以是任意位置。

维度：
$\begin{bmatrix}a_1\end{bmatrix}$ ，这是一个一维向量，它仅有一个数字。而 $\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}a_1&\dots&a_n\end{bmatrix}$ ，它们都是 $n$ 维的。

长度：
向量的长度也就是它的大小，我们称它为模。而模则为向量起点与终点之间的距离。

4. 矩阵基本概念

$\begin{bmatrix}1&1&4\\1&6&1\\4&1&5\end{bmatrix}$ 注：这是一个维度为 $3\times3$ 的矩阵。

一个矩阵的维度表示为 $m\times n$ ，即 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。

5. 关于它们的细节

向量可以视为一种特殊的矩阵，我们通常用大写字母表示矩阵；小写字母表示向量，可带一个小箭头，例如 $\vec{v}$ 。例如 $v_i$ 表示向量 $v$ 的第 $i$ 项（即第 $i$ 个元素，行向量从左往右数，列向量从上往下）， $a_{i,j}$ 或 $A_{i,j}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

二、运算

下文由于向量可以视为一种特殊的矩阵，且为了方便所以均用大写字母表示向量或矩阵。

1. 转置

（1）定义

$A^T$ 表示对 $A$ 进行转置，即 $A$ 的第 $i$ 行将变成
$A^T$ 的第 $i$ 列。若 $A=\begin{bmatrix}1&1&4\\5&1&4\end{bmatrix}$ ，则 $A^T=\begin{bmatrix}1&5\\1&1\\4&4\end{bmatrix}$ 。

（2）性质

$A^T)^T=A$
$A+B)^T=A^T+B^T$

2. 矩阵（向量）与矩阵（向量）的加减法

我们设 $A\pm B=C$ 。

$A\pm B$ 不是随便的， $A$ 与 $B$ 要求维度相同。且 $C$ 维度仍与 $A$ 、 $B$ 相同。
运算方式， $C_{i,j}=A_{i,j}\pm B_{i,j}$ 。

3. 点乘与乘法

（1）定义：矩阵点乘

我们设 $A\circ B=C$ 。

矩阵点乘的符号为“ $\circ$ ”，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为矩阵，且维度相同。运算方法也很简单， $C_{i,j}=A_{i,j}\times B_{i,j}$ 。

（2）定义：向量点乘

我们再设 $A\cdot B=n$ 。

显然 $A$ 、 $B$ 均为向量，且维度相同，而 $n$ 又是一个标量。那 $n$ 为多少？ $n=\sum_{i=1}^mA_{i,j}B_{i,j}$ （ $m$ 为 $A$ 、 $B$ 的维度）。

（3）定义：矩阵（向量）与标量的乘法

我们再设 $n A = B$ 。

则 $A$ 、 $B$ 为矩阵（向量）， $n$ 为标量，显而易见 $B_{i,j}=nA_{i,j}$ 。

（4）定义：矩阵（向量）与矩阵（向量）的乘法

我们再再设 $A B = C$ ，设 $A$ 维度为 $m\times n$ ，而 $B$ 维度为 $n\times p$ ，则 $C$ 维度为 $m\times p$ 。

运算方式大概如此（复杂）： $C_{i,j}=A_{i行}\cdot B_{j列}$ ，即 $C_{i,j}=\sum_{i=1}^nA_{i,k}B_{k,j}$ 。

（5）性质：矩阵（向量）与矩阵（向量）的乘法

没有交换律。
有结合律和分配率。

（6）应用：矩阵快速幂，进行加速

现在目光转置P1962，要运用矩阵乘法来解决求斐波那契数列第 $n$ 项（对 $10^9+7$ 取模）。

我们构造一个矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ ， $A=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ ，而 $AB=\begin{bmatrix}x+y&x\end{bmatrix}$ 。现在设 $x$ 是斐波那契数列的第 $(i + 1)$ 项（简记 $F_{i+1}$ ）， $y$ 则为第 $i$ 项（简记 $F_i$ ）。再把目光转回矩阵， $A=\begin{bmatrix}F_{i+1}&F_i\end{bmatrix}$ ，
则 $AB=\begin{bmatrix}F_{i+1}+F_n&F_{i+1}\end{bmatrix}$ ，根据斐波那契数列的规律， $F_{i+1}+F_i=F_{i+2}$ ，so $AB=\begin{bmatrix}F_{i+2}&F_{i+1}\end{bmatrix}$ ，很容易发现 $A B$ 比 $A$ 中每项都进了一位，也就是说只要一直乘 $B$ 直至结果矩阵为 $\begin{bmatrix}F_n&F_{n-1}\end{bmatrix}$ ，第一项就是P1962的答案。

但是直接递推到 $F_n$ 是 $O (n)$ 的，乘到 $F_n$ 也是 $O (n)$ 的。但是多个相同数相乘是数的幂，多个相同矩阵相乘是矩阵的幂，同样也可以使用快速幂，现在复杂度大约为 $O(klog_2n)$ （有些小细节没有提及）， $k$ 为矩阵乘法运算时耗掉的。这时当 $n$ 的值到达一个程度，时间就会大幅减少。

代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll p=1e9+7;
struct mat{ll nr,nc;ll m[15][15];mat(ll NR=0,ll NC=0){nr=NR,nc=NC;memset(m,0,sizeof(m));}mat operator=(mat b){nr=b.nr;nc=b.nc;for(int i=1;i<=nr;i++)for(int j=1;j<=nc;j++)m[i][j]=b.m[i][j];}
};
mat operator*(mat a,mat b){mat c(a.nr,b.nc);for(int i=1;i<=a.nr;i++){for(int j=1;j<=b.nc;j++){for(int k=1;k<=a.nc;k++){c.m[i][j]=(a.m[i][k]*b.m[k][j]%p+c.m[i][j])%p;}}}return c;
}
mat fastpow(mat a,ll b){if(b==1)return a;if(b%2==0)return fastpow(a*a,b/2);else return fastpow(a*a,b/2)*a;
}
int main(){ll n;cin>>n;if(n<=2){cout<<1;return 0;}mat fib(1,2),tmp(2,2),tmp2;fib.m[1][1]=1,fib.m[1][2]=1;tmp.m[1][1]=1,tmp.m[1][2]=1;tmp.m[2][1]=1;tmp2=fib*fastpow(tmp,n-2);cout<<tmp2.m[1][1];
}

三、拓展

1. 向量表示里的几何意义

例如有一个二维向量， $\vec{v}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ ，它将原点 $(0, 0)$ 作为起点时，它的终点就是 $(x, y)$ 。

2. 向量加法里的几何意义

如图，向量 $a$ 与向量 $b$ 头尾相接最终与向量 $c$ 到达同一目的地，而恰好 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 。

3. 向量求反里的几何意义

$\vec{a}$ 与 $-\vec{a}$ 的区别在于将 $\vec{a}$ 旋转 $180\degree$ 就可以得 $-\vec{a}$ ，即方向相反。

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