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PID算法的数学实现和参数确定方法

news 来源：原创 2025/5/19 16:52:43

概述

1 算法描述

1.1 PID算法模型

1.2 PID离散化的图形描述

1.3 PID算法的特点

2 离散化的PID算法

2.1 位置式PID算法

2.2 增量式PID算法

2.3 位置式PID与增量式PID比较

3 控制器参数整定

3.1 PID参数确定方法

3.1.1 凑试法

3.1.2 临界比例法

3.1.3 经验法

3.2 采样周期

3.3 经验分享

3.4 一个Demo

概述

PID算法是一种常用的反馈控制算法，全称为Proportional-Integral-Derivative。它根据测量值与设定值的差距，经过比例、积分和微分的处理，得到控制器的输出。本文主要介绍该算法的实现原理，离散PID算法实现方法以及参数确定方法等内容。

1 算法描述

1.1 PID算法模型

其用数学公式描述如下：

1）定义误差：

2）模拟算法的数学描述：

3）离散PID算法的数学描述：

1.2 PID离散化的图形描述

1）PID积分项的图像描述

数学解释内容：

2） PID微分项的图像描述

数学解释内容：

1.3 PID算法的特点

1）PID是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写

2）PID是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual），能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）

3）PID是一种基于误差（Error）调控的算法，其中规定：误差=目标值-实际值，PID的任务是使误差始终为0

4）PID对被控对象模型要求低，无需建模，即使被控对象内部运作规律不明确，PID也能进行调控

2 离散化的PID算法

2.1 位置式PID算法

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量量，进行连续控制。由于这一特点模拟式PID算法公式中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。

离散化处理的方法为：以T 作为采样周期，作为采样序号，则离散采样时间对应着连续时间，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换：

公式-1：

2.2 增量式PID算法

所谓增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量∆uk 。当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。

将k= k-1带入到公式-1中，得到公式-2：

使用公式-1减去公式-2得到公式-3：

2.3 位置式PID与增量式PID比较

1）位置式PID由连续形式PID直接离散得到，每次计算得到的是全量的输出值，可以直接给被控对象；增量式PID由位置式PID推导得到，每次计算得到的是输出值的增量，如果直接给被控对象，则需要被控对象内部有积分功能

2）增量式PID也可在控制器内进行积分，然后输出积分后的结果，此时增量式PID与位置式PID整体功能没有区别；位置式PID和增量式PID计算时产生的中间变量不同，如果对这些变量加以调节，可以实现不同的特性。

3 控制器参数整定

控制器参数整定：指决定调节器的比例系数 Kp 、积分时间Ti 、微分时间Td 和采样周期Ts 的具体数值。

整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。整定调节器参数的方法很多，归纳起来可分为两大类，即理论计算整定法和工程整定法。

理计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等；

工程整定法有凑试法、临界比例法、经验法、衰减曲线法和响应曲线法等。

工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握。

3.1 PID参数确定方法

3.1.1 凑试法

按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。置调节器积分时间Ti =∞，微分时间Td =0，在比例系数按经验设置的初值条件下，将系统投入运行，由小到大整定比例系数。求得满意的 1/4 衰减度过渡过程曲线。

Kp Kp 引入积分作用（此时应将上述比例系数 Kp 设置为 5/6 Kp ）。将Ti 由大到小进行整定。若需引入微分作用时，则将Td 按经验值或按Td =（1/3～1/4） Ti 设置，并由小到大加入。

3.1.2 临界比例法

在闭环控制系统里，将调节器置于纯比例作用下，从小到大逐渐改变调节器的比例系数，得到等幅振荡的过渡过程。此时的比例系数称为临界比例系数，相邻两个波峰间的时间间隔，称为临界振荡周期Tu 。

Ku 临界比例度法步骤：

1、将调节器的积分时间置于最大（ Ti =∞），微分时间置零（ Td =0），比例系数适当，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。 Ti Kp

2、将比例系数 Kp 逐渐增大，得到等幅振荡过程，记下临界比例系数 Ku 和临界振荡周期Tu 值。

3、根据 Ku 和Tu 值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即 Kp 、 Ti 和Td 的值。按“先 P 再 I 最后 D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。

若还不够满意，可再作进一步调整。 临界比例度法整定注意事项： 有的过程控制系统，临界比例系数很大，使系统接近两式控制，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利。有的过程控制系统，当调节器比例系数调到最大刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，对此，就把最大刻度的比例度作为临界比例度进行调节器参数整定。

3.1.3 经验法

用凑试法确定 PID 参数需要经过多次反复的实验，为了减少凑试次数，提高工作效率，可以借鉴他人的经验，并根据一定的要求，事先作少量的实验，以得到若干基准参数，然后按照经验公式，用这些基准参数导出 PID 控制参数，这就是经验法。临界比例法就是一种经验法。这种方法首先将控制器选为纯比例控制器，并形成闭环，改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数 Ku 、临界振荡周期为Tu ，根据 Z－N 提供的经验公式，就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数，如下表所示。

这种临界比例法使针对模拟 PID 控制器，对于数字 PID 控制器，只要采样周期取的较小，原则上也同样使用。在电动机的控制中，可以先采用临界比例法，然后在采用临界比例法求得结果的基础上，用凑试法进一步完善。上表的控制参数，实际上是按衰减度为 1/4 时得到的。通常认为 1/4 的衰减度能兼顾到稳定性和快速性。如果要求更大的衰减，则必须用凑试法对参数作进一步的调整。

3.2 采样周期

香农（Shannon）采样定律：为不失真地复现信号的变化，采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。

采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流量、压力）波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、成份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。

采样周期的选取应与PID参数的整定进行综合考虑，采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算速度允许的条件下，采样周期短，则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时，一般选取采样周期为纯滞后时间的 1/4～1/8。

3.3 经验分享

人们通过对 PID 控制理论的认识和长期人工操作经验的总结，可知PID 参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。

1、在偏差比较大时，为使尽快消除偏差，提高响应速度，同时为了避免系统响应出现超调， Kp 取大值，取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏，值要减小，取小值；在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定，值继续减小，值不变或稍取大。

2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时，偏差变化率与偏差异号时， Kp 值取零或负值，以加快控制的动态过程。

3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率，越大，取值越小，取值越大，反之亦然。同时，要结合偏差大小来考虑。

4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短调节时间，允许加大，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以，在比较大时，取零，实际为 PI 控制；在比较小时，取一正值，实行 PID 控制。

3.4 一个Demo

一个自校正 PID 控制器参数的配置案例：

对于一个特定的被控对象，在纯比例控制的作用下改变比例系数可以求出产生临界振荡的振荡
周期Tu 和临界比例系数 Ku 。

根据 Z－N 条件，有：

将这些参数带入到增量PID的公式中，其中增量PID的表达式如下：

带入参数之后：

概述

1 算法描述

1.1 PID算法模型

1.2 PID离散化的图形描述

1.3 PID算法的特点

2 离散化的PID算法

2.1 位置式PID算法

2.2 增量式PID算法

2.3 位置式PID与增量式PID比较

3 控制器参数整定

3.1 PID参数确定方法

3.1.1 凑试法

3.1.2 临界比例法

3.1.3 经验法

3.2 采样周期

3.3 经验分享

3.4 一个Demo

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