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三角函数正交性应用--以信号分离为例

news 来源：原创 2025/5/19 15:43:04

三角函数的正交性的应用

引言

在信号处理、通信等众多领域中，三角函数的正交性发挥着至关重要的作用。它不仅是理论分析的基础，更是实际应用中解决各种问题的有力工具。本文将详细介绍三角函数正交性的定义、证明，并通过一个具体的信号处理实例展示其在实际中的应用。

一、三角函数正交性的定义与证明

定义

三角函数的正交性是指在一个特定区间内，不同频率的正弦函数、余弦函数或者正弦与余弦函数之间的乘积的积分值为零。具体表现为以下三种情况：

不同频率的正弦函数：对于 $\sin(mx)$ 和 $\sin(nx)$ （ $m\neq n$ ， $m$ 、 $n$ 为整数），在区间 $2\pi]$ 上， $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx = 0$
不同频率的余弦函数：对于 $\cos(mx)$ 和 $\cos(nx)$ （ $m\neq n$ ），在区间 $2\pi]$ 上， $\int_{0}^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx = 0$
正弦函数与余弦函数：对于任意的 $m$ 、 $n$ ，在区间 $2\pi]$ 上， $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)dx = 0$

证明

以不同频率的正弦函数为例，证明 $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx = 0$ （ $m\neq n$ ）。
根据三角函数的积化和差公式 $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$ ，则 $\sin(mx)\sin(nx)=-\frac{1}{2}[\cos((m + n)x) - \cos((m - n)x)]$
所以 $\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[\cos((m + n)x) - \cos((m - n)x)]dx$
对于 $\int_{0}^{2\pi}\cos((m + n)x)dx$ 令 $u = (m + n) x$ 则 $d u = (m + n) d x$ 当 $x = 0$ 时， $u = 0$ ；当 $2\pi$ 时， $2\pi(m + n)$
$\int_{0}^{2\pi}\cos((m + n)x)dx=\frac{1}{m + n}\int_{0}^{2\pi(m + n)}\cos(u)du=\frac{1}{m + n}[\sin(u)]_{0}^{2\pi(m + n)} = 0$
同理， $\int_{0}^{2\pi}\cos((m - n)x)dx = 0$
所以 $-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[\cos((m + n)x) - \cos((m - n)x)]dx = 0$ 即证明了不同频率的正弦函数在 $2\pi]$ 上的正交性。

二、三角函数正交性的具体应用实例

问题描述

假设我们接收到一个混合信号 $y (t)$ ，它由有用信号 $x(t)=A\sin(\omega_0t)$ 和噪声信号 $n(t)=B\sin(\omega_1t)$ 组成，其中有用信号的角频率 $\omega_0 = 2\pi\times1000$ rad/s（对应频率 $f_0 = 1000Hz$ ），噪声信号的角频率 $\omega_1 = 2\pi\times50$ rad/s（对应频率 $f_1 = 50Hz$ ），有用信号幅值 $A = 2$ ，噪声信号幅值 $B = 1$ 。即 $y(t)=2\sin(2\pi\times1000t)+\sin(2\pi\times50t)$ 我们的目标是从混合信号中提取出纯净的有用信号 $x (t)$ 。

处理流程

1. 乘法运算

引入信号 $s(t)=\sin(2\pi\times50t)$ ，将混合信号 $y (t)$ 与 $s (t)$ 相乘：
$z(t)=y(t)s(t)=[2\sin(2\pi\times1000t)+\sin(2\pi\times50t)]\sin(2\pi\times50t)$
$=2\sin(2\pi\times1000t)\sin(2\pi\times50t)+\sin^{2}(2\pi\times50t)$

2. 积化和差与三角函数恒等变换

对 $2\sin(2\pi\times1000t)\sin(2\pi\times50t)$ 进行积化和差：
根据 $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)]$ ，这里 $\alpha = 2\pi\times1000t$ ， $\beta = 2\pi\times50t$ ，则 $2\sin(2\pi\times1000t)\sin(2\pi\times50t)= \cos(2\pi\times950t)-\cos(2\pi\times1050t)$
对 $\sin^{2}(2\pi\times50t)$ 进行恒等变换：
根据 $\sin^{2}\theta=\frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ ，这里 $\theta = 2\pi\times50t$ ，则 $\sin^{2}(2\pi\times50t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2\pi\times100t)$

所以 $z(t)=\cos(2\pi\times950t)-\cos(2\pi\times1050t)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2\pi\times100t)$

3. 积分处理

对 $z (t)$ 在一个合适的周期 $T$ 内进行积分。在一个周期内 $\int_{0}^{T}\cos(2\pi\times950t)dt = 0$ $\int_{0}^{T}\cos(2\pi\times1050t)dt = 0$ $\int_{0}^{T}\cos(2\pi\times100t)dt = 0$ 而 $\int_{0}^{T}\frac{1}{2}dt=\frac{T}{2}$ （非零值）。积分后主要剩下与噪声相关的直流成分 $\frac{T}{2}$ 。

4. 解调处理

将积分后的信号（主要是直流成分）再与一个同频同相的 $s'(t)=\sin(2\pi\times50t)$ 相乘。设积分后的信号为 $z_1(t)=\frac{T}{2}$ ，相乘后 $z_2(t)=\frac{T}{2}\sin(2\pi\times50t)$

5. 第二次乘法与积化和差

为了恢复出 $\omega_0$ 信号，我们回到之前的思路，重新考虑最初混合信号与 $s (t)$ 相乘后的式子。我们把 $z (t)$ 中的有用信号相关部分单独拿出来进一步处理。再次将 $\cos(2\pi\times950t)-\cos(2\pi\times1050t)$ 与 $\sin(2\pi\times50t)$ 相乘（因为要利用三角函数的特性来恢复原始有用信号）。

对于 $\cos(2\pi\times950t)\sin(2\pi\times50t)$ ，根据 $\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)]$ 可得 $\cos(2\pi\times950t)\sin(2\pi\times50t)=\frac{1}{2}[\sin(2\pi\times1000t)-\sin(2\pi\times900t)]$
对于 $-\cos(2\pi\times1050t)\sin(2\pi\times50t)$ ，同理可得 $-\cos(2\pi\times1050t)\sin(2\pi\times50t)=-\frac{1}{2}[\sin(2\pi\times1100t)-\sin(2\pi\times1000t)]$

将上述两部分相加：
$\begin{align*} &\frac{1}{2}[\sin(2\pi\times1000t)-\sin(2\pi\times900t)]-\frac{1}{2}[\sin(2\pi\times1100t)-\sin(2\pi\times1000t)]\\ =&\sin(2\pi\times1000t)-\frac{1}{2}\sin(2\pi\times900t)-\frac{1}{2}\sin(2\pi\times1100t) \end{align*}$

6. 滤波处理

经过上述操作后，得到的信号包含了目标频率 $f_0 = 1000Hz$ 的有用信号以及 $900 Hz$ 和 $1100 Hz$ 等其他频率成分。我们使用一个低通滤波器，设置其截止频率略高于 $1000 Hz$ ，例如截止频率为 $1050 Hz$ 。这样， $900 Hz$ 和 $1100 Hz$ 等高频成分会被滤除，最终就可以得到相对纯净的 $\omega_0 = 2\pi\times1000$ rad/s（ $1000 Hz$ ）的有用信号。

三、结论

三角函数的正交性为信号处理等领域提供了强大的理论支持和实际应用方法。通过上述实例可以看到，利用三角函数的正交性，我们能够在复杂的混合信号中有效地提取出有用信号，实现信号的净化和恢复。这种特性在通信、雷达、音频处理等众多领域都有着广泛的应用，是现代电子技术发展中不可或缺的重要基础。