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【数据结构】二叉树

news 来源：原创 2025/5/18 13:47:39

二叉树

1. 树型结构（了解）
- 1.1 概念
- 1.2 概念（重要）
- 1.3 树的表示形式（了解）
- 1.4 树的应用
2. 二叉树（重点）
- 2.1 概念
- 2.2 两种特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的性质
- 2.4 二叉树的存储
- 2.5 二叉树的基本操作
- - 2.5.1 前置说明
  - 2.5.2 二叉树的遍历
  - 2.5.3 二叉树的基本操作
- 2.6 二叉树相关oj题

【本节目标】

掌握树的基本概念
掌握二叉树概念及特性
掌握二叉树的基本操作
完成二叉树相关的面试题练习

1. 树型结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个
后继树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
在这里插入图片描述

1.2 概念（重要）

在这里插入图片描述
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

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1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）
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2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是2^K-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log₂(n+1) 上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12

答案：

B
n0 = n2+1
A
2n= n0 +1+ n2
n0 = n2+1
假设度为0的节点个数为x
n2 =n0-1 =x-1
2n =x+1+x-1
2n = 2x
n=x
B
B

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{public static class BTNode{BTNode left;BTNode right;int value;BTNode(int value){this.value = value;}}private BTNode root;public void createBinaryTree(){BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node1 = new BTNode(2);BTNode node1 = new BTNode(3);BTNode node1 = new BTNode(4);BTNode node1 = new BTNode(5);BTNode node1 = new BTNode(6);root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

空树
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.5.2 二叉树的遍历

1.前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在这里插入图片描述
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 前序遍历
void preOrder(Node root);// 中序遍历
void inOrder(Node root);// 后序遍历
void postOrder(Node root);
比

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。
在这里插入图片描述
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
【练习】请同学们根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的：

选择题

某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.
3.
4.

根据前序和后序能不能创建一棵二又树呢?
不可以
前序和后序只能确定根的位置

2.5.3 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);//层序遍历
void levelOrder(Node root);// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root)

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
在这里插入图片描述
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);

// 子问题思路-求叶子结点个数

// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);

// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);

放oj上的话法二有可能溢出因为法二计算了2遍法一直接把当前的记录下来避免了重复运算造成的算法效率的降低