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第4章神经网络【1】——损失函数

news 来源：原创 2025/5/19 2:36:42

4.1.从数据中学习

实际的神经网络中，参数的数量成千上万，因此，需要由数据自动决定权重参数的值。

4.1.1.数据驱动

数据是机器学习的核心。

我们的目标是要提取出特征量，特征量指的是从输入数据/图像中提取出的本质的数据，特征量通常表示为向量的形式。

有两种方法：a. 使用人想到的特征量将图像数据转换为向量，然后对转换后的向量使用机器学习中的SVM、KNN等分类器进行学习【关于这一点，我的想法是，如果使用传统算法来提取特征，就根据经验针对不同的问题选取合适的特征量】；b.直接使用神经网络来实现端到端【从原始数据直接获得输出结果】的学习。这两个方法目的一样，都是为了从原始数据中提取出本质的数据或信息。

4.1.2.训练数据和测试数据

获得泛化能力是机器学习的最终目标。

仅仅用一个数据集去学习和评价参数，是不客观的，可能会导致可以顺利地处理某个数据集，但无法处理其他数据集的情况，即过拟合。

为了避免过拟合，追求模型的泛化能力【指处理未被观察过的数据】【举例来说，识别手写数字的问题，泛化能力可能会被用在自动读取明信片的邮政编码的系统上，此时，手写识别的就是“任何一个人写的任意文字”，而不是“特定某个人写的特定的文字”】，需要划分训练集和测试集。使用训练数据进行学习，寻找最优的参数，然后，利用测试数据评价训练得到的模型的实际能力。

4.2.损失函数

神经网络的学习中使用损失函数来寻找最优权重参数，这里的损失函数可以用任意函数，一般用均方误差和交叉熵误差。

4.2.1.均方误差

【one-hot表示：正确解标签表示为1，其他标签表示为0】

def mean_squared_error(y, t):return 0.5 * np.sum((y-t)**2)

4.2.2.交叉熵误差

这里的tk是正确解标签，并且，只有正确解标签的索引为1，其他的索引均为0（one-hot表示），因此，式子4.2实际上只计算对应正确解标签的输出的自然对数。

def cross_entropy_error(y, t): delta = 1e-7return -np.sum(t * np.log(y + delta))

这里在log里加了一个很小的delta的值，为了防止y为0时，log值为-inf，这样会导致后续计算无法进行，即相当于一个保护性对策。

4.2.3.mini-batch学习

MNIST 数据集的训练数据有 60000 个，一些大的数据，数据量页会有几百万、几千万之多，这种情况下以全部数据为对象计算平均损失函数是不现实的。因此，从全部数据中选出一部分，作为全部数据的“近似”。神经网络的学习也是从训练数据中选出一批数据，然后对每个mini-batch进行学习。这种学习方式称为mini-batch学习。

以交叉熵误差为例，求所有训练数据的损失函数的总和，把单个数据的“平均损失函数”的式扩大到了N份数据，最后除以N进行正规化，即得出单个数据的“平均损失函数”：【通过这样的平均化，可以获得和训练数据的数量无关的统一指标】

举例介绍一下mini-batch学习的编码过程：

a.读入 MNIST 数据集

import sys, os sys.path.append(os.pardir)
import numpy as np
from dataset.mnist import load_mnist
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)
print(x_train.shape) # (60000, 784) print(t_train.shape) # (60000, 10)

one_hot_label设置为True，表示正确解标签为1，其余为0。

b.从训练数据中随机选取10笔数据

使用NumPy的np.random.choice()，可以从指定的数字中随机选取想要的数字，即

train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 10
batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size) 
x_batch = x_train[batch_mask]
t_batch = t_train[batch_mask]

之后，指定这些随机选取的索引，取出mini-batch，然后使用mini-batch计算损失函数即可。

4.2.4.mini-batch版交叉熵误差的实现

当监督数据t是one-hot形式时，可实现一个同时处理单个数据和批量数据batch两种情况的函数：

def cross_entropy_error(y, t):if y.ndim == 1:t = t.reshape(1, t.size)y = y.reshape(1, y.size)batch_size = y.shape[0]return -np.sum(t * np.log(y + 1e-7)) / batch_size

当监督数据t是标签形式时（非 one-hot 表示，而是像“2”“7”这样的标签），可通过如下代码实现：

def cross_entropy_error(y, t): if y.ndim == 1:t = t.reshape(1, t.size) y = y.reshape(1, y.size)batch_size = y.shape[0]return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)) / batch_size

介绍一下代码实现中的np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)：np.arange(batch_size)会生成一个从0到batch_size-1的数组。例如当batch_size为5时，np.arange(batch_size)会生成一个NumPy数组[0,1,2,3,4]。由于t中标签是以[2,7,0,9,4]的形式存储的，所以y[np.arange(batch_size), t]能抽出各个数据的正确解标签对应的神经网络的输出（在这个例子中，y[np.arange(batch_size), t]会生成NumPy数组[y[0,2], y[1,7], y[2,0], y[3,9], y[4,4]]。

4.2.5.为什么要设定损失函数

以数字识别任务为例，目的既然是能提高识别精度的参数，那特意导入一个损失函数不是有些重复劳动吗？为什么不直接把识别精度作为指标？

对于这个疑问，我们来关注一下神经网络的某一个权重参数，对该权重参数的损失函数求导，如果导数值为正，则该权重参数向负方向改变可减小损失函数的值，反之，权重参数向正方向改变可减小损失函数的值。若导数为0，则无论权重参数向哪个方向变化，损失函数的值都不会变，即权重参数的更新会停留在此处。【而之所以不用识别精度作为指标，是因为绝大多数地方的导数都会变为0，导致参数无法更新，而且识别精度的值也不像损失函数作为指标时那样连续变化，即识别精度对微小的参数变化基本上没有什么反应】

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