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求 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}\)
解：
首先证明 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n}=e^{-1}\)。
\[\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n}
&=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac 1n\right)^{(n-1)}\right]^{\frac{n}{n-1}}\\
&=\left[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{(n-1)}\right]^{\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n-1}}\\
&=\left(e^{-1}\right)^1\\
&=e^{-1}
\end{align*}
\]
因此 \(\forall \epsilon>0, \exist N\in \mathbb N^*, \mathrm{s.t.} \;n>N,\left|\left(1-\frac 1n\right)^{n}-e^{-1}\right|<\epsilon\)
取 \(\epsilon = e^{-1}\)，记此时的 \(N\) 为 \(N_1\)，则 \(n>N_1\) 时 \(\left|\left(1-\frac 1n\right)^{n}-e^{-1}\right|<e^{-1}\)，因此：
\[\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}<\left(\frac 1e + \frac 1e\right)^n
\]
又有 \(\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}>0\)，由夹逼定理即得 \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{n^2}=0\)
2
证明 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n=1\)
