场论笔记(二) 单位脉冲函数及其性质

场论笔记(二) 单位脉冲函数及其性质

​ 在物理和工程技术中，除了用到指数衰减函数以外，还常常会碰到单位脉冲函数。因为有许多的物理现象具有脉冲性质，如在电学中，要研究线性电路受脉冲性质的电势作用后产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等。研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数。

在原来电流为零的电路中，某一瞬间（设\(t=0\)）进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流\(i(t)\)。以\(q(t)\)表示上述电路中到时刻\(t\)为止通过导体截面的电荷函数（即累积电量），则

\[q(t)=\begin{cases} 0, &t\leq0\\ 1, &t>0 \end{cases} \tag{1} \]

由于电流是电荷函数对时间的变化率，即：

\[i(t)=\frac{d{q(t)}}{dt}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{q(t+\Delta{t})-q(t)}{\Delta{t}} \tag{2} \]

所以，当\(t\neq0\)时，\(i(t)=0\); 当\(t=0\)时，由于\(q(t)\)是不连续的，从而在普通导数的意义下，\(q(t)\)在这一点处的导数不存在，如果我们的形式地计算这个导数，则得：

\[i(t)=\lim_{\Delta{t}\rightarrow{0}}\frac{q(\Delta{t}+0)-q(0)}{\Delta{t}}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{1}{\Delta{t}}=\infty \tag{3} \]

这就表明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表式上述电路的电流，为了确定这个电路上的电流，必须引进一个奇异函数，这个函数被称为单位脉冲函数或称为Dirac函数，简单地记成\(\delta-\)函数。 它是英国物理学家Dirac在研究量子力学时首先引入的。随着\(\delta\)-函数在其他应用上所起的作用逐渐被人们所认识，从而使得人们从数学上研究它，并建立起来称之为广义函数的严格的数学理论。有这种函数，对于许多脉冲冲击现象，例如点电荷，点热源，集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常窄的脉冲等，就能够像处理连续分布的量那样，以统一的方式加以解决。

​ \(\delta\)-函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值“，所以，它不能用通常意义下的函数值对应关系来定义。在广义函数论中，\(\delta\)-函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，为了方便起见，我们仅把\(\delta\)-函数看做是弱收敛函数序列的弱极限。

定义1：对于任何一个无穷次可微的函数\(f(t)\)，如果满足

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta{(t)}f(t)dt=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\epsilon}(t)f(t)dt \tag{4} \]

其中：

\[\delta_\epsilon(t)=\begin{cases} 0, &t<0\\ \frac{1}{\epsilon},&0\leq{t}\leq\epsilon\\ 0,&t>\epsilon \end{cases} \tag{5} \]

则称\(\delta_{\epsilon}(t)\)的弱极限为\(\delta\)-函数，记为\(\delta(t)\)，即

\[\delta_{\epsilon}(t){\rightarrow}_{\epsilon\rightarrow0}\delta(t) \tag{6} \]

或简记为\(\lim_{\epsilon\rightarrow0}\delta_{\epsilon}(t)=\delta{(t)}\). 这就表明：\(\delta\)-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限。\(\delta_{\epsilon}(t)\),对于任何\(\epsilon>0\),显然有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\epsilon}(t)dt=\int_0^{\epsilon}\frac{1}{\epsilon}dt=1 \tag{7} \]

按照式(6)的\(\delta\)-函数定义，取\(f(t)=1\) 有：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=f(0) \tag{8} \]

工程上，常将\(\delta\)-函数称为单位脉冲函数。有一些信号的书籍，将\(\delta\)-函数用一个有向线段来表示。这个线段的长度表示\(\delta\)-函数的积分值，称为\(\delta\)-函数的强度。

​ 由上述给出的\(\delta\)-函数的定义，可以推出\(\delta\)-函数的一个重要的结果，称为\(\delta\)-函数筛选性质：若\(f(t)\) 为无穷次可微的函数，则有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0) \tag{9} \]

事实上，

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt&=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)dt\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{\varepsilon}\frac{1}{\varepsilon}f(t)dt\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}f(t)dt \end{aligned} \tag{10} \]

由于\(f(t)\) 是无穷次可微函数，显然\(f(t)\)是连续函数，按照积分中值定理，有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\varepsilon}\int_0^{\varepsilon}f(t)dt=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}f(\theta\varepsilon) \space (0<\theta<1) \tag{11} \]

所以

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)dt=f(0) \tag{12} \]

更一般地还成立着

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0) \tag{13} \]

显然，\(f(t)\)为连续函数时，式（12）和式（13）也都成立。

​ 由\(\delta\)-函数本身的筛选性质可知，尽管\(\delta\)-函数本身没有普通意义下的函数值，但由于它与任意一个无穷次可微函数\(f(t)\) 的乘积在\((-\infty,+\infty)\) 上的积分都对应着一个确定的数\(f(t)\)或\(f(t_0)\) 。因此，在广义函数论中也用式（12）和式（13）来定义 \(\delta\)-函数，即若某一函数与任何一个无穷次可微函数\(f(t)\)的乘积在\((-\infty,+\infty)\) 上的积分值为\(f(0)\)或\(f(t_0)\), 则该函数就称为\(\delta\)-函数。

​ 类似地，我们还可以定义多维\(\delta\)-函数。下面给出二维\(\delta\)-函数的定义：对于任何一个无穷次可微的二元函数\(f(x,y)\)，如果满足：

\[\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta{(x,y)}f(x,y)dxdy\\ &=\lim_{\varepsilon\rightarrow{0}}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(x,y)f(x,y)dxdy \end{aligned} \tag{14} \]

其中\(\delta_{\varepsilon}(x,y)\) 为二维矩形函数，表达式：

\[\delta_{\varepsilon}(x,y)=\begin{cases} 0, \space &x,y<0\\ \frac{1}{\varepsilon^2},\space &0\leq x,y\leq{\varepsilon} \\ 0，&x,y>{\varepsilon} \end{cases} \tag{15} \]

则称\(\delta_{\varepsilon}(x,y)\) 的弱极限为二维\(\delta{(x,y)}\) 函数，即

\[\lim_{\varepsilon\rightarrow{0}}\delta_{\varepsilon}(x,y)=\delta{(x,y)} \tag{16} \]

由此定义可知，可以推出二维\(\delta\)-函数的一个重要结果，也可称为二维\(\delta\)-函数的筛选性质：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta{(x,y)}f(x,y)dxdy=f(0,0) \tag{17} \]

一般地，有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0,y-y_0)f(x,y)dxdy=f(x_0,y_0) \tag{18} \]

据此，我们可以得到一个重要的结果，即二维\(\delta\)-函数可以看成两个一维\(\delta\)-函数的乘积：

\[\delta{(x,y)}=\delta{(x)}\delta{(y)} \tag{19} \]

更一般地表达：

\[\delta{(x-x_0,y-y_0)}=\delta{(x-x_0)}\delta{(y-y_0)} \tag{20} \]

对于更高维的\(\delta\)-函数，上述的概念和相关性质也能类似地推出。对于更高维的

\(\delta\)-函数除了重要的筛选性质外，下面的性质也是不难得到：

1. \(\delta\)-函数是偶函数，即 \(\delta{(-x)}=\delta{(x)}\);

2. \(\delta{(x)}\)函数是单位阶跃函数的导数，即

   \[\int_{-\infty}^{t}\delta{(\tau)}d{\tau}=u(t),\frac{du(t)}{dt}=\delta{(t)}\tag{21} \]

   其中\(u(t)\)为单位阶跃函数，其表达式如下：

   \[u(t)=\begin{cases} 0,&t<0 \\ 1,&t>0 \end{cases} \tag{22} \]

3. 若\(a\)为非零常数，则\(\delta{(at)}=\frac{1}{|a|}\delta{(t)}\).

4. 若\(f(t)\)为无穷次可微分的函数，则有

   \[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{'}(t)f(t)dt=-f^{'}(0). \tag{23} \]

   一般地，有

   \[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(t)f(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0) \tag{24} \]

   更一般地，有

   \[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^{(n)}(t-t_0)f(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(t_0) \tag{25} \]

这里性质4，可以作为\(\delta\)-函数的导数定义，例如若某一函数与任何一个无穷次可微函数\(f(t)\)的乘积在\((-\infty,+\infty)\) 上的积分值为\(-f^{'}(0)\)，则称该函数为\(\delta\)-函数的导数，即\(\delta^{'}(t)\)。事实上，\(\delta\) -函数是无穷次可微分的广义函数，它的各个阶导数是无穷次可微的广义函数，利用\(\delta\) -型序列的弱极限可以推得\(\delta\)-函数的各阶导数。

​ 对于一个\(n\)维空间\(\mathbf{R}^n\)中的点\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)^T\),多维Dirac \(\delta\) 函数在更高维度空间（如平面，三维空间，甚至\(n\)维空间）的自然推广。它的核心实现的

根据\(\delta\)函数的筛选性质，可以方便地求出\(\delta\)-函数的Fourier变换：

\[ F(\omega)=\mathcal{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-i\omega{t}}dt=e^{-i\omega{t}}|_{t=0}=1. \tag{26} \]

可见，单位脉冲函数\(\delta{(t)}\)与常数1构成一个Fourier变换对。同理，\(\delta(t-t_0)\)和\(e^{-j\omega t_0}\) 构成一个Fourier 变换对。

​ 需要指出的是，这里为了方便起见，我们将\(\delta(t)\)的Fourier变换依旧写成古典形式，但有所不同的是，此处反常积分是来定义的，而不是普通意义下的积分值。所以，\(\delta{(t)}\) 的Fourier变换的是一种广义Fourier变换。因此，有关\(\delta\)-函数与普通函数的积分运算可以形式地进行分部积分或积分代换，而获得的结论与广义函数论的结论是一致的。例如\(\delta\) -函数的\(n\)阶导数的结果也可以分部积分和筛选性质，在通过数学归纳法而获得。这一点对后面的例子也是如此。

​ 在物理学和工程技术中，有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件，即不满足条件：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt<\infty \tag{27} \]

例如，常数函数、符号函数、单位阶跃函数以及正、余弦函数等，然而它们的广义Fourier变换也是存在的，利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换。所谓广义是相对于古典意义而言的，在广义意义下，同样可以说，像函数\(F(\omega)\)和像原函数\(f(t)\)的已构成一个Fourier变化对；