微积分复习(微分方程)
1,一阶微分方程
可分离的微分方程:
可以把x和y分列等号两边,然后求积分可以解决
齐次方程和准齐次方程
要求是 :y'=f(y/x),也就是没有单独的x项,我们可以通过设t=y/x来统一变量方便我们运算
准齐次方程就是常数项不统一,我们可以将X=x+a,Y=y+b来消灭常数项进而转化为齐次形式
一阶线性齐次/非齐次微分方程 :
这些是通用的解题方法:
对于齐次的来说,我们可以利用可分离的微分方程的办法解出其通解
如果是非齐次的,我们可以先求出他的齐次的通解y1,然后令Y=c(x)*y1代回方程计算其非齐次解
伯努利方程
是对于一阶非线性的微分方程的解法,我们可以尝试将通过变换未知数的方式让高次项转化为1次
全微分方程
一个特殊的方程,通常用积分和路径无关来求其原函数
一阶隐方程 f(x,y,y')=0
一般都是让p=y',之后来简化我们的运算
1,参数形式的解
通常我们让y=tx, sint , tant , t来帮助我们运算,最后x和y表示为t的形式
2,y=f(x,y')
我们通常也是让y'=t,让后对两边同时求导,左边的y就变为了t,方程就变为了t',t,x的一个方程
我们先求出t,然后再求出y
3,x=f(y,y')
也是让y'=p,但是经过我们的化简,可以化为p和y的一个方程,具体的操作如下
总结,
3个方法都是让y'变为t,具体用哪个方法要看具体的题,
比如x的系数少,那就可以是第三个,
如果y系数少,那就可以是第2个,
如果y'所在的部分有根号,或者次数高,很复杂,或者x/y可以直接表示为p的形式,我们可以尝试用第一个方法
2,高阶微分方程
可降阶的微分方程
1,y^(n)=f(x)
就是简单的积分就可以了
2,y''=f(x,y')
也是让p=y',然后把y''降低为p',这样就变成了p'=f(x,p)
3,y''=f(y,y')
也是让p=y',但是y无法降阶了,所以尝试吧y''用y,p来表示
y''=p*(dp/dy)
线性相关:
高阶常系数齐次/非齐次方程
齐次:
本质就是找特征根,然后根据解的形式对应的写出齐次方程的通解
非齐次:
就是齐次通解+一个特解
所以这里比较特殊的是特解的求法:
(需要注意的是叠加原理,比如f(x)=x^2 + cosx,就是求两个非齐次的解然后组合相加)
通常的解法
求完齐次通解后,拓展常数C->C(x)
然后利用雅可比行列式求出对应的C'(x),再去特解
就是下面两个方程的解:(j==0的话无解)
根据f(x)来分
1,f(x)=Rm(x)*e^(ax)
根据齐次通解的根和a的重复度来带入公式计算
注意这里的Qm是一个待定洗漱的方程 如果m=2,就是(a*x^2+b*x+c)
2,f(x)=e^(ax)*(pl(x)*cosbx,pm(x)*cosbx)
就是一个虚数形式,规则其实和上面的差不多,只是这里的待定系数变为了max(l,m)
非常熟系数的通解求法:
置换法:
常用于已经知道一个解y1,我们让y2=u(x)*y1回代方程算出y2来求出解的一个办法
最后的解是c1y1+c2y2
幂级数法:
设y是幂级数的形式来求解
更高阶的常系数方程(>2)
欧拉方程
一个特殊的方程
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