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装甲PPT习题

news 来源：原创 2025/7/27 23:56:53

装甲PPT习题

第一章

将 $42.195$ ， $0.0375551$ ， $8.00033$ ， $2.71828$ 按四舍五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数。
考察三位有效数字重力加速度 $g$ ，若以 $m/s^2$ 为单位， $\approx 9.80 \, m/s^2$ ， $\leq \frac{1}{2} \times 10^{-2}$ 。按定义， $m = 0$ 。若以 $km/s^2$ 为单位， $\approx 0.00980 \, km/s^2$ ， $\leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$ 。按定义， $m = - 3$ 。相对误差限相同： $\varepsilon_r^* = \frac{0.005}{9.80} = \frac{0.000005}{0.00980}$ 。注：相对误差是无量纲的。
用 $x^* = 2.72$ 表示 $e$ 具有三位有效数字的近似值，则其相对误差限 $\varepsilon_r(x^*) \leq \frac{1}{2a_1} \times 10^{-(n-1)}$ ，其中 $a_1 = 2$ ， $n = 3$ ，故 $\varepsilon_r(x^*) \leq 0.25\%$ 。
已测得某场地长 $l$ 的值为 $l^* = 110 \, m$ ，宽 $d$ 的值为 $d^* = 80 \, m$ ，已知 $l^*| \leq 0.2 \, m$ ， $d^*| \leq 0.1 \, m$ 。面积 $\cdot d$ 的绝对误差限为 $\Delta S \approx 110 \cdot 0.1 + 80 \cdot 0.2 = 27 \, m^2$ ，相对误差限为 $\varepsilon_r(S) = \frac{27}{8800} \approx 0.307\%$ 。
求 $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$ 的值。当 $x = 1000$ 时， $y$ 的准确值为 $0.01580$ 。
计算 $\ln 2$ 。

第二章

例

某地测得某种物质浓度 $y$ 与水温 $x$ 数据如下表所示，用二次牛顿插值多项式，并由此较合适地估计出其它温度的水温。
$\begin{array}{c|ccc} x & 0.5 & 1 & 3 \\ \hline y & 0.19 & 0.26 & 0 \\ \end{array}$

第三章

求 $e^x$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最佳平方逼近。
已知实测数据表
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y_i & 4 & 4.5 & 6 & 8 & 8.5 \\ \omega_i & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$
试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合.
试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合.

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x_i & 1.00 & 1.25 & 1.50 & 1.75 & 2.00 \\ \hline y_i & 5.10 & 5.79 & 6.53 & 7.45 & 8.46 \\ \hline \ln y_i & 1.625 & 1.756 & 1.876 & 2.008 & 2.135 \\ \hline \end{array}$

第四章

例

确定下面公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式所具有的代数精度
$\int_{-h}^{h} f(x)dx \approx A f(-h) + B f(x_1)$

例

确定下面公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式所具有的代数精度
$\int_{0}^{1} f(x)dx \approx A f(0) + B f(x_1) + C f(1)$

例

试确定下面的求积公式的余项表达式
$\int_{0}^{1} f(x)dx \approx \frac{2}{3} f(0) + \frac{1}{3} f(1) + \frac{1}{6} f'(0)$

例

运用梯形公式、辛普森公式分别计算积分 $\int_{0}^{1} e^x \text{d}x$ ，并估计误差。

例

计算定积分 $\int_{0}^{1} e^x \text{d}x$ ，用复合梯形公式和复合 $S im p so n$ 公式时， $n$ 分别取多大时才能使得误差不超过 $0.5 \times 10^{-5}$ 。

例

已知函数 $\text{ 在 } x = 1.0, 1.1, 1.2$ 处的函数值，应用三点公式计算这些点处的导数值。

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & 1.0 & 1.1 & 1.2 \\ \hline f(x_i) & 0.250000 & 0.226757 & 0.206612 \\ \hline \end{array}$

第五章

例

求矩阵的特征值及谱半径

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}$

解

矩阵 $A$ 的特征方程为

$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda + 2 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda + 2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda + 7) = 0$
$A$ 的特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$ ， $\lambda_3 = 7$ ，谱半径 $\rho(A) = 7$ 。

例

用消去法解线性方程组
$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 4x_2 - x_3 = 5 \\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \end{cases}$

第七章

例

对于 $f (x) = 0$ 的牛顿迭代公式 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}$ ,证明

$\lim _{k\rightarrow \infty}\frac{x_{k}-x_{k-1}}{(x_{k-1}-x_{k-2})^2}=-\frac{f^{\prime\prime}(x^*)}{2f^{\prime}(x^*)}$

$x^*$ 为 $f (x) = 0$ 的根。

例

求解

$y^{\prime}=x^2+100y^2,y(0)=0$

取步长 $h = 0.1$ ,计算到 $x = 0.3$

装甲PPT习题

第一章

第二章

例

第三章

第四章

例

例

例

例

例

例

第五章

例

例

第七章

例

例

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