数学复习笔记 3
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《有人懂你》赵十三
前言
也别开始强化吧,复盘前面复习过的内容,可能是更稳的方式。
无穷级数
写无穷级数的例题。感觉自己真的学会了么,我生怕一写一个不吱声了。呜呜呜。这一章有 27 个例题。我从最后一个例题开始写吧。感觉从头开始写总是写不到后面就没有时间了。今天把这 27 个例题写完再睡觉。不管写到几点。
27
求幂级数的收敛域,判断幂级数是否缺项,只要系数不是零,就表示不缺项,然后就可以用系数之比的极限算出 ρ \rho ρ ,然后根据 ρ \rho ρ 的情况判断收敛域。
( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) | R = 1 ρ , ( − R , R ) R=\frac{1}{\rho},(-R,R) R=ρ1,(−R,R) |
---|---|
ρ = 0 \rho=0 ρ=0 | R = + ∞ , ( − ∞ , + ∞ ) R=+\infty,(-\infty,+\infty) R=+∞,(−∞,+∞) |
ρ = + ∞ \rho=+\infty ρ=+∞ | R=0,{0} |
还需要单独考虑端点。判断端点的敛散性,还有点难度。。。我服了。判断收敛发散我忘光了。我还是从第一个题开始写比较好。我可能属于那种学得快忘得快的类型,好吧其实不是,我属于那种学得慢,忘得快的废物类型。得多努力了。不然废完了真的。
1
多写几项,裂项相消,然后求个极限就是最后的级数的和。比较简单。
2
利用对数的性质,可以消除几项,然后算出来最后的一项是发散的,整体就是发散的。奥,看了答案,直接不拆开,直接算,然后合起来,更加直观。
3
写完这个题睡觉了。还得是白天努力。晚上熬夜努力算啥啊。早睡早睡早睡!!!这题有点蒙了。总结的结论是,等比级数,|q| < 1 时收敛,其他情况发散。熬夜能明显感受到脑子转不动。早睡。。。
4
今天晚上十点就睡觉。早睡。极端一点好了。这题主要是考察加括号和一些简单的性质。假设一个级数收敛,加括号之后还是收敛的。但是反过来不行。也就是说,假设原级数收敛是 A ,级数加括号之后收敛是 B, 那么 A ⇒ B A\Rightarrow B A⇒B, 但是 B ⇏ A B \nRightarrow A B⇏A。前面的有限项不影响级数的敛散性,这个实际上反映到现实生活中,就是哪怕过往不堪回首,我们还是有机会,可以发挥我们自己的能力,过得精彩。两个发散的级数的和,可能是收敛的。反过来说,两个级数的和是收敛的,那么拆开可能两个级数都是发散的。准备连续刷三遍这章的例题。本来想极端一点,刷十遍,但是感觉边际效应太明显。算了,疯狂一把,还是刷十遍吧,没什么大不了的,别矫情,干就完了。
5
比较审敛法
大的收敛,小的收敛,小的发散,大的发散。害,当时确实五种充分条件记得非常非常清楚,现在确实忘掉了。注意这里的充分条件都是针对正项级数而言的。
极限审敛法
是上面比较审敛法的极限形式,还是大的收敛,小的收敛,小的发散,大的发散,假设两者的通项的比值的极限是一个常数,假设这个常数属于 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) ,那么两个级数的敛散性一致。
常用级数
∑ n = 1 ∞ 1 n l n p n \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nln^pn} n=1∑∞nlnpn1,p > 1 时收敛。
几何级数
等比级数, ∑ n = 0 ∞ a q n \sum_{n=0}^{\infty}aq^n n=0∑∞aqn
|q| < 1, 级数收敛。
总结
这两天看了《兄弟》,有些感慨,家里也有一些事,让我有点烦恼。和朋友交流了一下,还是得多花时间在初试上面,其他的事情,对我来说都不是最重要的事儿。尤其是现阶段。好好复习初试。
6
用等价无穷小,抓大头,放缩等方法,就可以证明级数的敛散性。
7
七种未定式是否记得,就是零比零,无穷比无穷,零乘以无穷大,无穷大减去无穷大,一的无穷,无穷的零次方,零的零次方。无穷乘以一个数字,只有乘以零是未定式,未定式可能是任何结果,假设结果是零,表示乘的数字是零,但是一个级数的通项是零,不是级数收敛的充分条件,只是级数收敛的必要条件。
级数收敛蕴涵最后的通项为零,然后未定式的结果是未知的。无穷大乘以零是未定式。
比值判别法
后面一项比上前面一项,假设小于一,收敛,大于一,发散,除此之外都是不确定。
根值判别法
对通项公式开 n 次方,小于一收敛,大于一发散,除此之外未知。凝练的信息还是比较不错的。我实际上不是追求做多少题,健身也不是追求推多大的重量,做题是为了总结一些经验,提升自己的解题能力,健身是为了控制肌肉让肌肉在锻炼的过程中变得健美。
8
比值判别法秒了。
第二问稍微求了一下极限。也没啥难度。
积分判别法
注意这几个部分都是正项级数。积分判别法就是级数和变限积分的敛散性一致。
9
用积分判别法,然后就是求变限积分,变限积分和级数的敛散性一致。
交错级数
除了系数,正项级数部分要求单调递减,并且最后的通项的极限为零,实际上所有的收敛的级数都有通项的极限为零这个要求。
10
证明单调直接求导看导数的正负就好了。非常简单。
11
做任何重要漫长的事,都要稍微放慢速度,仔细做,慢工出细活,以前看一部电影,《生死狙击》,主角说,慢才能稳,稳才能快。非常有道理。这题比较复杂,首先要化简级数,然后拆开,一个直接看出来发散,另一个根据交错级数的方法算出来收敛,收敛 + 发散是发散,所以最后的答案是发散。总结就是结合两种方法。交错级数的算法和两个级数的和的敛散性的判断。
12
现在专业课进度不算快,然后数学的进度还算不错。政治英语的进度有点没跟上。但是不重要,可能英语还算比较重要,英语数学和专业课。好好学。明天再加一个英语笔记。每篇笔记要求至少三千字,不然就硬憋到三千字以上再上传。绝对收敛表示原来级数,还有加个绝对值,都是收敛的,条件收敛就是原来级数是收敛的,但是加个绝对值是发散的。还有一条性质,加上绝对值之后收敛,原来的级数也是收敛的。
13
这个题实际上就是给原来的级数加个绝对值。加绝对值之后是正项级数,然后放缩,假设算出来收敛,就是绝对收敛,绝对值收敛,原来的级数也是收敛的。放缩是利用了正弦函数的函数值小于一这个性质。
14
这题比较巧妙,加减法可以拆开来看。前面部分可以判断绝对收敛,那么原来的级数也是收敛的,另一个部分是发散的,收敛 + 发散是发散的。前面判断绝对收敛还是使用了上题的放缩,总结就是以后看到正弦函数,可以考虑放缩。放缩之后可以用比较审敛法,大的收敛,小的收敛。小的发散,大的发散。
15
求导这块我遇到点困难,实际上这题交错级数不是用求导来解决问题。。。实际上是考虑等价无穷小来解决问题。我有点懵逼了,交错级数不用看单调性和极限值了么,直接等价无穷小,然后 p 级数就完事?这是什么操作。奥我明白了,这个表面上是交错级数,实际上加了绝对值之后,负号没了,我自己做的时候只在正项级数部分加了绝对值,实际上是所有部分都要加绝对值。这算是一个精美的包装吧。然后算出来绝对值收敛之后,就是绝对收敛,就结束了。
16
这题秒不了。乍一看蒙了。算是前十六个题里面最难的一题。操作太秀了。 a n < b n , ∑ n = 1 ∞ a n , ∑ n = 1 ∞ b n 均收敛 a_n<b_n,\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\sum_{n=1}^{\infty} b_n\text{均收敛} an<bn,n=1∑∞an,n=1∑∞bn均收敛
可以推导出 ∑ n = 1 ∞ b n − a n 绝对收敛,实际上就是因为是正的,加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。 \sum_{n=1}^{\infty}b_n-a_n\text{绝对收敛,实际上就是因为是正的,加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。} n=1∑∞bn−an绝对收敛,实际上就是因为是正的,加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。
数学题就是有点喜欢藏,有点中国的含蓄美。
最后
明天开始好好复习数学,专业课,英语。每篇笔记争取三千字以上。凑到三千字就上传。
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