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数学复习笔记 2

news 来源：原创 2025/8/23 19:01:11

前言

朋友和我讨论了一个二重积分题，非常有意思。内容非常细致。整理如下：

二重积分

题目来源是 1000 上面的 16 题，积分区域是一个偏心圆，偏心圆的圆心在 y 轴上面，偏心圆是关于 y 轴对称的，可以看关于 x 的被积函数是否是偶函数，假设是偶函数，直接缩小积分区域，偶倍奇零，皆大欢喜。这题就是偶函数。所以我们只需要看第一象限的情况。然后简单积分就结束了。但是我们最开始没有这个经验，直接算的是极坐标，角度从 $(0,\pi)$ ，貌似计算过程也没啥问题，最后算出来的答案还挺像那么回事儿。

主要问题是要考虑点火公式使用的时候要广义的奇偶性。中间有一步骤，是 $(1-sin^2\theta)^{\frac32}=(cos^2\theta)^{\frac32}$ 关于 $\frac{\pi}{2}$ 这个点是偶函数， $cos^3\theta$ 关于 $\frac{\pi}{2}$ 是奇函数。计算问题就出现在这里。好吧。实际上这个手法太秀了。下次能用对称性优先用对称性。这就是我的总结和吸取的经验。

无穷级数

感觉思路还是复盘和练习。然后复习的时候一定要注重质量。就像健身动作一定要注重肌肉的泵感和自己对动作的控制。

收敛域

所有收敛点的集合称为函数项级数的收敛域。数学的概念其实不多。用得多了，很多概念实际上也有比较深刻的理解了。坦率地说，要是三本练习题和讲义上面的每道题都搞清楚了，我不知道该怎么输。确实是这样。

幂级数

计划

之后学习线代和概率论的时候，练习题要跟上。现在主要是跟上了讲义，练习题没有怎么跟上。可以先跟上作业的练习题。学有余力再跟上其他的练习题。这也是总结出来的经验。提升实力是靠一遍一遍地复盘和练习。而不是看第一遍。

单词

beat 打败，打，有节奏地敲打，节拍，拍打
punch 力量，拳打，打孔机，拳打，给……打孔
hit 击，击中，按，打击，到达，去，遇到，击中，受欢迎的人，流行歌曲，搜索结果，点击
hitherto 迄今
beauty 美丽，美人
become 成为，变成
beg 乞讨，乞求
begin 开始
behalf 利益
behave 表现，运转，守规矩，起作用
belong 属于
beloved 爱人，心爱的，挚爱的
benign 良性的，亲切的，有益的
malign 恶性的，有害的，诽谤，中伤
bet 打赌，打赌，断定，打赌，赌注
bulk 体积，容积，大部分
burglar 盗贼
theft 盗窃
bulb 灯泡
ceiling 天花板，上限
bias 偏见，使存在偏见

单词的理解

讲道理应该尽可能每天背单词的。我深刻反思自己。。

心态

心态放平，最重要的就是考研初试。

线性代数

现在开始复习线性代数。高数还剩三重积分的内容没有复习。到时候基础和强化和放在一块儿复习。考研初试就是考察熟练度。我需要做的就是把熟练度刷上来。目标就是网课，讲义，作业，这个流程。笔记整理的框架就是数学，英语，专业课，算法题。算法题主要是做二叉树和二叉搜索树的内容。系统有体系地学习，肯定可以让自己的应试能力得到一个巨大的提升。

线性代数和方程组的问题

实际上我之前复习期末考试复习过一遍线性代数，后来因为科研需要，也复习了一遍张宇的线代的例题，现在重新开始复习线代，感觉没啥印象了。这。。方程组问题，可以转换为，矩阵的问题，方程的变量的系数，可以认为是矩阵的基本元素，然后利用一定的矩阵变换，可以把方程组解出来。线性代数分为六个章节，行列式，矩阵，向量，方程组，特征值，二次型。

二阶行列式

$a_{ij}$ 表示第 i 行，第 j 列的元素。从左上到右下的对角线称为主对角线，右上到左下的对角线是副对角线。这个基本的计算我是知道的。实际上我的线代和概率论的基本还是很不错的。线代学了一遍了，概率论期末考试 90 + .方程的解可能可以表示为行列式的形式。实际上这个就是克拉默法则。就是后面方程组章节需要学习的内容。

排列

几个不同的数字排成一排，就是排列。从小到大排列就是标准排列。从非标准排列换成标准排列需要的最少的次数就是逆序数。？？？逆序数不唯一？？？可能和算法题不一致的。算法题里面经常出现逆序数的问题。冒泡法，我真是服了，这个就是算法题，冒泡排序了。

$\tau$

用这个来表示逆序数。\tau 。这个希腊字母。有点意思呢。算逆序数就是看前面有多少个比当前数字大的数字，计数。然后累加。

二阶行列式

D 表示行列式。对角线法则就是，主对角线减去副对角线，流沙法，比较简单，一般就是二阶和三阶。

行列式的定义

这么复杂。。。行顺排，列算逆序数，这样可以表示前面的正负的系数。每一行每一列只能取一个元素。核心步骤是把行顺排。做题很简单，就是画线就可以了。博客的笔记排名 2331 ，希望有一天可以到 100.把时间花在应用上面就好了。

行列式的性质

互换两行，行列式变号。假设有两行完全相等，那么最后行列式的结果是零。行列式是一个数字么，假设是，那么就和定积分，二重积分一致，都是一个数字。行列式是方形的，行数一定等于列数。书上可以稍微少做一点笔记，可以多做一些电子笔记，草稿纸上面可以多写一些分析。保持书的干净整洁，方便多刷。那么极端一点，保持书的绝对的干净整洁。有任何一行或者一列全是零，那么整个行列式都是零。因为零可以作为公因子提出来，然后零乘以任何数都是零。

倍加

把某一行的若干倍加到另一行，行列式的结果是不变的。

高斯消元

把行列式转换为上三角行列式。转换为上三角，可以用主对角线的乘积来表示最后的答案。就是让上面的行尽可能简单。交换之后行列式前面加一个负号就好。用上面的主元把下面的行消除，直到变成上三角行列式。

行列式拆分

拆分只能是拆分一行或者一列，其余部分需要保持一致。行列式的行和列是一致的。这些知识太简单了。哎，上次学线性代数是 23 年年末，奥也不是， 23 年年末学线性代数是准备期末考试，24 年 9 月是上次复习线代。25 年 5 月是现在复习考研。高斯消元实际上就是把上面的行作为主元，然后消除下面的行。倍加就是高斯消元。把高斯消元练熟练，解行列式非常容易。

行列式

高斯消元，提取系数，实际上就这点东西，非常非常简单。

总结

高数基础结束，线性代数完美开篇，非常简单，这些知识，但是做题的熟练应用还得练。多练习和复盘。

前言

二重积分

无穷级数

收敛域

幂级数

计划

单词

单词的理解

心态

线性代数

线性代数和方程组的问题

二阶行列式

排列

τ \tau τ

二阶行列式

行列式的定义

行列式的性质

倍加

高斯消元

行列式拆分

行列式

总结

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$\tau$