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洛谷P1014（Cantor 表[NOIP 1999 普及组]）题解

news 来源：原创 2025/5/7 8:44:35

题目大意：求Cantor表（按照Z字形排列（如第一项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2））的第N项。

那么，我们需要找出Cantor表的排列规律。根据题目中的Z字形描述，可能这个表是按照斜线方向来编号的。例如，第一条斜线只有一个数：1/1；第二条斜线有两个数：1/2、2/1；第三条斜线有三个数：3/1、2/2、1/3；第四条斜线有四个数：1/4、2/3、3/2、4/1，依此类推。不过这样排列的话，可能每个斜线上的元素数目等于斜线的层数。比如第k层有k个元素。或者可能每层的元素数目是递增的？

或者，另一种可能的模式是：按照斜线的层数，奇数层和偶数层的方向不同。比如，奇数层（第1层、第3层等）是向右上到左下，而偶数层（第2层、第4层等）是向左下到右上。或者反过来？比如，第1层是1/1，方向是向右；第2层是向下，然后第3层是向右下，等等。这可能需要更仔细的分析。

比如，原题中的例子，第7项是1/4。假设按斜线分层，每层的元素数目等于层数。那么总元素数目是1+2+3+4+...，直到总和超过或等于N。例如，前k层的总元素数目是k*(k+1)/2。这可能类似于三角形数的结构。例如，第1层是1个，第2层是2个，总共有3个；第三层是3个，总共有6个；第四层是4个，总共有10个。而样例输入是7，那么应该在第4层中的第1个元素，因为第1到3层共有6个，所以第7个是第4层的第一个元素。但第4层的元素顺序如何？

假设层数的奇偶性决定排列方向。例如，第1层（总共有1项）是奇数层，方向是分子递增分母递减吗？或者相反？

比如，层数k的斜线方向是：当k是奇数时，该层的元素是分子从k递减到1，分母从1递增到k？或者当k是奇数时，方向是右上到左下，每个元素的分子加分母等于k+1？

比如，层数的确定可以通过找到最大的k，使得k*(k+1)/2 <N。因为总元素数目到k层是k*(k+1)/2。例如，当k=3时，总共有6个元素，那么当N=7时，属于第4层（因为3*(3+1)/2=6 <7）。那么，第4层的元素数目是4个，且属于第k+1=4层。此时，在该层中的位置是N - k*(k+1)/2，即7-6=1，即第1个元素。

然后，层的奇偶性决定了元素的排列方向。比如，奇数层的元素是分母从1到k，而偶数层的元素是分母从k到1？或者相反？

例如，第1层（k=1）是奇数，元素是1/1。第2层（k=2）是偶数，元素是1/2，2/1。第3层（k=3）是奇数，元素是3/1，2/2，1/3。第4层（k=4）是偶数，元素是1/4，2/3，3/2，4/1。这样，样例中的第7项是第4层的第1个元素，即1/4。这与样例输出一致。

那这样的话，解题步骤应该是：

1. 找到层数k，使得k*(k-1)/2 < N ≤k*(k+1)/2。或者说，找到最大的k，使得k*(k+1)/2 <N。或者，可能需要重新计算层数的确定方式。

或者，另一种方式：每一条斜线i（i从1开始）上有i个元素。例如，i=1有1个元素，i=2有2个，依此类推。总元素数目到第i层是i*(i+1)/2。例如，i=3时总共有6个元素。因此，当N=7时，属于第i=4层，因为在i=3层时总共有6个元素，i=4层时总共有10个。那么在i=4层中，第7项的位置是该层的第1个元素（7-6=1）。

接下来，i层的奇偶性决定了元素的排列方向。比如，当i是奇数时，该层的元素是从上到下（或者从右上到左下），分子递减，分母递增？或者相反？

例如，当i是奇数时，该层的元素是：分子从i到1，分母从1到i。比如i=3层，元素是3/1, 2/2, 1/3。这样，当i是奇数时，每个元素的分子+分母=i+1。例如，3+1=4，2+2=4，1+3=4。这可能是一个规律。对于i是偶数层的情况，比如i=2层，元素是1/2, 2/1。它们的分子+分母=3。i=4层的元素是1/4，2/3，3/2，4/1，它们的分子+分母=5。这说明，无论i是奇数还是偶数，该层的元素的分子+分母等于i+1。这可能是一个关键点。

因此，无论i的奇偶性如何，每个元素的分子和分母之和是i+1。例如，第i层的每个元素满足分子+分母 = i+1。那在i层中，每个元素的位置j（从1到i）的不同，会导致分子和分母的具体数值不同。而i的奇偶性决定了分子和分母的递增或递减方式。

例如，当i是奇数时，分子是i-j+1，分母是j。例如i=3层，j=1时，分子是3-1+1=3，分母是1 →3/1；j=2时，分子是3-2+1=2，分母是2→2/2；j=3时，分子是3-3+1=1，分母是3→1/3。这样，当i是奇数时，分子递减，分母递增。

当i是偶数时，分子是j，分母是i-j+1。例如，i=4层，j=1时，分子是1，分母是4-1+1=4 →1/4；j=2时，分子是2，分母是3→2/3；j=3时，3分母是2→3/2；j=4时，4分母是1→4/1。这符合样例中的结果，第i=4层，j=1时，得到1/4，对应的样例输出。

所以，确定层数i和该层中的位置j是关键。步骤可能如下：

1. 找到i，使得 (i-1)*i/2 < N ≤i*(i+1)/2。例如，i的确定可以通过解二次方程。或者，可以循环累加直到总和超过N。

例如，当N=7时，i的确定方式是找到i使得i*(i+1)/2 >=7，并且(i-1)*i/2 <7。例如，i=4时，4*5/2=10 >=7，(3*4)/2=6 <7。所以i=4。

那么，在该层中的位置j是N - (i-1)*i/2。例如，7-6=1，所以j=1。

2. 根据i的奇偶性，确定分子和分母：

- 如果i是奇数，则分子为i - j +1，分母为j。

- 如果i是偶数，则分子为j，分母为i -j +1。

这样，就能得到对应的分数。

验证样例输入：

样例输入是7，i=4，偶数。j=1。所以分子是1，分母是4-1+1=4 →1/4。正确。

另一个例子，比如N=3。i*(i+1)/2 >=3，i=2的话，2*3/2=3 >=3，那么i=2。此时，j=3 - (1*2/2) =3-1=2。i=2是偶数，所以分子=j=2，分母=2-2+1=1 →2/1。这对应第三项，正确。

再比如，N=5。i*(i+1)/2 >=5 →i=3。因为3*4/2=6 >=5，而之前的i=2时总和是3。所以i=3。j=5-3=2？ 3*(3-1)/2=3 →5-3=2。i=3是奇数，分子=3-2+1=2，分母=2 →2/2，即第五项是2/2。正确吗？原例子中的第五项是2/2吗？原题中的样例输入是7输出1/4，而原给出的前几项是：

第1项1/1，第2项1/2，第3项2/1，第4项3/1，第5项2/2，第6项1/3，第7项1/4。所以第五项是2/2，确实是的。

因此，这个方法是可行的。

所以，总结解题步骤：

1. 找到i，使得i是满足 (i-1)*i/2 < N ≤i*(i+1)/2 的最大整数。这可以通过循环或数学公式求解。

2. 计算j = N - (i-1)*i/2.

3. 根据i的奇偶性：

- i为奇数：分子是 i - j +1，分母是j.

- i为偶数：分子是j，分母是 i -j +1.

然后输出分子/分母即可。

现在，如何高效地找到i？

比如，对于较大的N，例如1e7，循环可能比较慢。但是用数学方法，解方程：

i*(i+1)/2 >= N →i² +i -2N >=0.

解这个方程的正根：i = [-1 + sqrt(1 +8N)] / 2.

然后取i的上界整数。例如，比如N=7时，sqrt(1+56)=sqrt(57)=~7.546，除以2得~3.77，所以取i=4.

所以，我们可以用数学方法计算i：

i = floor( (sqrt(8*N +1) -1)/2 )

然后检查是否i*(i+1)/2 >=N。如果不够，则i+1.

或者，直接取i = ceil( (sqrt(8*N +1) -1)/2 )

例如，N=7：

sqrt(8*7+1) = sqrt(57)=~7.546 →7.546-1=6.546 →除以2得3.273。ceil(3.273)=4 →i=4.

这可能更高效。

所以，具体步骤：

计算i = ceil( (sqrt(8*N +1) -1)/2 )

然后验证是否i*(i-1)/2 <N <=i*(i+1)/2。例如，可能i需要调整。例如，假设i=ceil(x)是否正确？

或者，正确的i是满足 (i-1)*i/2 <N <=i*(i+1)/2。比如，当i=4时，(3*4)/2=6 <7 <=4*5/2=10 →是的。

所以，计算i的正确方法是找到最大的i满足 i*(i+1)/2 >=N，并且 (i-1)*i/2 <N。

或者，可以用二分法来找i，或者用数学公式计算。

对于代码实现来说，数学方法可能更高效，尤其是当N很大时。例如，用数学公式计算i的值：

i = floor( (sqrt(8*N +1) -1)/2 )

然后，如果 (i+1)*(i+2)/2 >=N，可能需要i+1。或者，可能需要调整。

举个例子：

当N=6时：

sqrt(49) =7 →(7-1)/2=3 →i=3.

此时，i*(i+1)/2=3*4/2=6 >=N=6 →满足。而(i-1)*i/2=3 →3<6 ≤6 →是的。所以i=3。正确，因为N=6属于i=3层。

当N=7时，如前所述，i=4.

当N=3：

sqrt(25)=5 →(5-1)/2=2 →i=2. i*(i+1)/2=3 >=3 →是的。正确。

所以，这个公式是正确的。因此，i的计算方式是：

i = floor( (sqrt(8*N +1) -1)/2 )

或者，在代码中，可以用数学函数计算。

例如，在Python中：

import math

i = int( (math.sqrt(8*N +1) -1 ) // 2

但是，需要检查i*(i+1)/2是否 >=N。例如，当N=6时：

sqrt(8*6+1)=sqrt(49)=7 →7-1=6 →6//2=3 →i=3，正确。

当N=7时，sqrt(57)=~7.546 →7.546-1=6.546 →6.546//2=3 →i=3 →此时，3*(3+1)/2=6 <7 →需要i+1。所以需要调整i的值，当i*(i+1)/2 <N时，i+=1.

所以，正确的计算步骤应该是：

计算i = (sqrt(8*N +1) -1)/2 →取整数部分，然后判断如果i*(i+1)/2 <N，则i+=1.

例如：

初始i = floor( (sqrt(8*N+1)-1)/2 )

如果 i*(i+1)/2 <N →i+=1.

例如，对于N=7：

初始i=3，因为 (sqrt(57)-1)/2≈ (7.546-1)/2=3.273 →floor(3.273)=3.

然后 i*(i+1)/2=3*4/2=6 <7 →i需要增加到4.

所以，正确的i的确定方式是：

i = floor( (sqrt(8*N+1)-1)/2 )

if i*(i+1)/2 <N:

i +=1

然后，得到正确的i.

这样，就可以确定层数i.

然后，j = N - (i-1)*i//2

例如，当i=4，j=7-3*4//2 →7-6=1.

接下来，根据i的奇偶性判断分子分母：

如果i是偶数，分子是j，分母是i-j+1.

如果i是奇数，分子是i-j+1，分母是j.

例如，i=4是偶数，所以分子是1，分母是4-1+1=4 →1/4.

另一个例子：N=5.

计算i：

8*5+1=41 →sqrt(41)=6.403 →(6.403-1)/2=5.403/2=2.7 →floor是2.

i=2 →i*(i+1)/2=3 <5 →需要i=3.

i=3 →3*4/2=6 ≥5 →是的。

j=5- (3-1)*3//2=5-3=2.

i=3是奇数，所以分子=3-2+1=2，分母=2 →2/2.

正确。

这样，这个方法是正确的。

综上所述，解题步骤可以总结为：

1. 输入N.

2. 计算i的初始值为floor( (sqrt(8*N +1)-1)/2 )

3. 如果i*(i+1)/2 <N，i +=1.

4. 计算j = N - (i-1)*i//2.

5. 根据i的奇偶性，确定分子和分母：

- 偶数：分子j，分母i-j+1.

- 奇数：分子i-j+1，分母j.

6. 输出分子/分母.

现在，关于如何处理大数的计算？例如，当N=1e7时，sqrt(8e7+1)的计算不会有问题，因为Python的math.sqrt可以处理大数。同时，整数运算也不会溢出。

现在，编写代码实现这个逻辑。

测试样例：

输入7，输出1/4.

输入3，输出2/1.

输入5，输出2/2.

输入6，输出1/3.

输入4，输出3/1.

例如，输入4：

i的初始计算：

sqrt(8*4+1)=sqrt(33)=5.744 →(5.744-1)/2=2.372 →i=2.

i*(i+1)/2=2*3/2=3 <4 →i+=1 →i=3.

i=3，是奇数。j=4- (3-1)*3//2=4-3=1.

分子=3-1+1=3，分母=1 →3/1.正确。

所以，输入4，输出3/1.

所以，代码正确。

综上，这个问题的解题思路是找到对应的层数i和位置j，然后根据i的奇偶性确定分子分母的排列方式。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;double sqrt_val = sqrt(8.0 * n + 1.0);int i = (sqrt_val - 1.0) / 2;if (i * (i + 1) / 2 < n) {i++;}int j = n - (i - 1) * i / 2;int numerator, denominator;if (i % 2 == 0) {numerator = j;denominator = i - j + 1;} else {numerator = i - j + 1;denominator = j;}cout << numerator << "/" << denominator << endl;return 0;
}

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