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大连理工大学选修课——机器学习笔记（5）：EMK-Means

news 来源：原创 2025/7/2 19:12:22

EM&K-Means

无监督学习

  • 什么是无监督学习

    • 模型从无标签的数据中自动发现隐藏的模式或结构
    • 聚类是最常用的方法

  • 为什么要研究无监督学习

    • 标记样本代价太大
    • 分类模式不断变化，标记易过时

  • 数据的分布

    • 参数方法
      • 高斯分布、伯努利分布、多指分布等
    • 非参数方法
      • 局部模型，在足够小的区域做分布模型假设
    • 半参数方法
      • 数据在空间聚集成不同的分组/簇
      • 簇内的模型分布相同，簇之间可以不同

  • 混合密度

    p ( x ) = ∑ i = 1 k p ( x ∣ G i ) P ( G i ) p(x)=\sum_{i=1}^kp(x|G_i)P(G_i) p(x)=∑i=1k​p(x∣Gi​)P(Gi​)

    • 对不同的区域采用不同的分组
    • p(x|Gi)：成分密度；P(Gi)：混合比例；共k个分组。

    实践中常采用混合分布模型：

    • 不同的类具有不同的概率模型，采用不同的协方差矩阵
    • 概率参数可以通过最大似然估计计算。

  • 无监督学习的问题描述

    • 没有类别信息
    • 完成以下两个任务
      • 估计类别的标记
      • 估计给定实例所属簇的概率参数

  • 无监督学习的方法

    • 聚类
      • 根据数据对象的相似性大小，把数据分为不同的类
      • 常用作分类的预处理

  • 常用的聚类分析方法

    • 划分方法
      • 对于指定K个组的数据分组任务通过迭代的方法来实现
        • 每次迭代，把数据集划分为K个分组，每一轮的划分质量都比上一轮更好
        • 基于距离准则
        • 采用启发式算法，得到局部最优解
      • 常用方法
        • K-means

  • 其它聚类方法

    • 层次方法
    • 基于密度的方法
    • 谱聚类

K-Means

从一个实例问题讲起

  • 色彩量化问题

    • 从连续空间向离散空间映射，例如，将24位真彩色（1600万种色）映射到256色彩空间

  • 问题

    • 如何保证图像清晰度
    • 如何让失真度尽可能小

  • 处理思路

    • 按照色彩相似度，把色彩分为256个簇
    • 通过聚类实现

  • K-Means聚类算法过程

    • 色彩空间为三维，每个像素点为三维向量
    • 随机选择K个像素的色彩向量作为聚类初值
    • 初值为聚类中心mi，k = 256，按照与聚类中心的相似程度，把所有像素分为K个簇。

  • 分组方法：最小距离法

    与聚类中心距离近（相似度大）的像素聚成一个簇

    ∣ ∣ x t − m i ∣ ∣ = m i n ∣ ∣ x t − m j ∣ ∣ ||xt − mi|| = min||xt − mj|| ∣∣xt − mi∣∣ = min∣∣xt − mj∣∣

  • 数据重构

    • 重构误差公式

      ∗ E ( { m i } i = 1 k ∣ X ) = ∑ l ∑ i b i l ∣ ∣ x t − m i ∣ ∣ 2 ∗ *E(\{m_i\}_{i = 1}^k|X) = ∑_l∑_ib_i^l||x^t − m_i||^2* ∗E({mi​}i = 1k​∣X) = ∑l​∑i​bil​∣∣xt − mi​∣∣2∗

    • 对于每个数据点，找到最近的聚类中心

    • 误差计算：计算其与所属的聚类中心的距离平方相加，作为误差。

  • 极小化误差函数

    • 通过求导可知，各个分组的均值向量是误差最小聚类中心。

  • 重复进行迭代，直至聚类中心不再改变，或者低于某一个阈值。

在这里插入图片描述

K-medoids（K-中心聚类）

  • K-Means的初值是实际存在的样本点。
    • 但迭代过程的聚类中心是虚拟的样本点（Means）
  • K-Medoids就是在聚类过程中，仍然选择真实的样本点。
    • 选择与Means最近的样本点为代表点。

聚类算法的评价

CHI指标

s ( k ) = t r ( B k ) t r ( W k ) m − k k − 1 s(k)=\frac{tr(B_k)}{tr(W_k)}\frac{m-k}{k-1} s(k)=tr(Wk​)tr(Bk​)​k−1m−k​

  • m：训练集样本数

  • k：簇数目

  • BK：簇间的协方差矩阵

  • WK：簇内协方差矩阵

  • tr：矩阵的迹

    S越大，聚类效果越好

轮廓系数

S ( i ) = b ( i ) − a ( i ) m a x { a ( i ) , b ( i ) } S(i)=\frac{b(i)-a(i)}{max\{a(i),b(i)\}} S(i)=max{a(i),b(i)}b(i)−a(i)​

  • a ( i ) a(i) a(i): i i i向量到簇内其它所有点的平均距离。

  • b ( i ) b(i) b(i): i i i向量到簇外其它所有点的最小距离。

  • 介于 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]

  • 将所有点的轮廓系数求平均，是聚类结果的总轮廓系数。

    S越大，聚类效果越好

K-Means优缺点

  • 优点
    • 原理简单，实现容易，易收敛
    • 聚类效果较优
    • 算法可解释度强
  • 缺点
    • 对于非凸数据集难收敛
    • 对于不平衡数据效果不佳
    • 聚类结果为局部最优
    • 噪声敏感

处理大数据

K-Means算法复杂度与维度成正比

数据规模很大，维度很高时，算法会很慢

解决方案

抽样

Mini Batch K-Means

  • 按比例抽取小规模样本做k-means
  • 多次抽样，检查聚类效果

提高算法效率

  • 距离优化算法
    • 设法减少计算距离的次数，不要每个点都计算一边
  • elkan K-Means

    • 利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

    • 例如： d （ x , c 1 ) = 5 , d ( c 1 , c 2 ) = 10 d（x,c_1)=5,d(c_1,c_2)=10 d（x,c1​)=5,d(c1​,c2​)=10

      则不用计算 d ( x , c 2 ) d(x,c_2) d(x,c2​)，可知 d ( x , c 2 ) d(x,c_2) d(x,c2​)大于等于5。

EM算法

  • 改变数据划分的方法

    例如，采用完全版本的贝叶斯学习和预测思想

  • 模型的输出从硬标签改为软标签。

    直接输入后验概率（连续变量），称为软标签

过程简介

假设数据由k个高斯分布混合生成，每个高斯分布表示一个潜在的子群或簇。我们不知道样本点x属于哪个簇，因此需要 P ( G i ) P(G_i) P(Gi​)表示该点属于某个簇的概率。

目标：估计模型参数 m i , S i , P ( G i ) m_i,S_i,P(G_i) mi​,Si​,P(Gi​)

挑战：存在隐变量Z（样本所属簇的标签），直接最大化似然函数困难。

似然函数：

  • 不完全似然（未观测到隐变量Z（数据点所属的高斯分布））

    L ( θ ∣ X ) = ∑ i l o g ∑ j = 1 k P ( G j ) ⋅ p ( x i ∣ G j ) L(\theta|X)=\sum_i log\sum_{j=1}^kP(G_j)\cdot p(x^i|G_j) L(θ∣X)=i∑​logj=1∑k​P(Gj​)⋅p(xi∣Gj​)

    P ( G i ) : P(G_i): P(Gi​):第j个高斯分布的权重

    p ( x i ∣ G j ) p(x^i|G_j) p(xi∣Gj​)：第j个高斯分布生成数据点 x i x^i xi的概率密度

    外层 ∑ \sum ∑：连乘转加法，避免下溢

    内层 ∑ \sum ∑：对所有可能的隐变量求和，表示 x i x^i xi可能由任意高斯分布生成。

    该式直接优化困难，无法求解我们需要的三个参数。

  • 完全数据似然（已经知道属于哪类）:

    假设已经知道数据点所属的高斯分布，那么似然函数就不需要 P ( G i ) P(G_i) P(Gi​),可以简化为下式：

    L C = ( θ ∣ X , Z ) = ∑ i l o g p ( x i , z i ∣ θ ) L_C=(\theta|X,Z)=\sum_ilog\ p(x^i,z^i|\theta) LC​=(θ∣X,Z)=i∑​log p(xi,zi∣θ)

    由于对数内部无求和，可求解。

    现实情况可能为不完全似然，即不知道样本属于哪类，因此需要通过EM方法迭代求解。

  • 初值

    • 高斯分布的参数
      • **均值向量 m i m_i mi​😗*每个高斯分布的均值（簇中心）
      • **协方差矩阵 ∑ i ( S i ) \sum_i(S_i) ∑i​(Si​)：**描述簇的形状和分布
      • 混合系数 P ( G i ) P(G_i) P(Gi​)：每个高斯分布的权重

  • E步

    目标：根据当前参数，计算每个 x i x^i xi属于各个 G i G_i Gi​的概率。

    计算隐变量的后验概率（数据点x属于第i个高斯分布的概率）

    γ i ( x ) = P ( G i ) ⋅ N ( x ∣ m i , ∑ i ) ∑ j = 1 k P ( G j ) ⋅ N ( x ∣ m j , ∑ j ) \gamma_i(x)=\frac{P(G_i)\cdot N(x|m_i,\sum_i)}{\sum_{j=1}^kP(G_j)\cdot N(x|m_j,\sum_j)} γi​(x)=∑j=1k​P(Gj​)⋅N(x∣mj​,∑j​)P(Gi​)⋅N(x∣mi​,∑i​)​

    N为高斯分布概率密度函数

    数学形式：

    在这里插入图片描述

  • M步

    目标：基于E步的隐变量分布，更新三个参数。

    更新参数，最大化对数似然函数

    在这里插入图片描述

    • 混合系数 P ( G i ) P(G_i) P(Gi​)：

      P ( G i ) = ∑ x γ i ( x ) N P(G_i)=\frac{\sum_x\gamma_i(x)}{N} P(Gi​)=N∑x​γi​(x)​

      (N为总样本数)

  • 迭代与收敛：

    • 循环执行 E 步和 M 步，直至似然对数变化小于阈值或收敛：

      L ( θ ∣ X ) = ∑ l o g ∑ j = 1 k P ( G j ) ⋅ p ( x i ∣ G j ) L(\theta|X)=\sum log\sum_{j=1}^kP(G_j)\cdot p(x^i|G_j) L(θ∣X)=∑logj=1∑k​P(Gj​)⋅p(xi∣Gj​)

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编程日记 2025/6/29 8:12:04

品牌网站建设与高端网站定制：塑造企业独特形象

在当今数字化时代，企业品牌网站建设、高端网站定制、多语言外贸网站开发以及网站安全运维已成为企业不可或缺的一部分。它们不仅是企业展示形象、推广产品的重要窗口，更是企业实现数字化转型、提升市场竞争力的关键环节。本文将围绕这些主题，…...

编程日记 2025/7/1 23:53:31

canvas动画：点随机运动 距离内自动连接成线 鼠标移动自动吸附附近的点

思路/实现步骤 创建canvas元素 获取canvas的上下文ctx 初始化点的信息（数量、初始坐标、移动方向、移动速度、大小、颜色） 绘制点 绘制点之间的连线 点有规律的动起来 动画循环 鼠标移动相关逻辑 点鼠标之间连线 鼠标吸附逻辑 添加配置项 重绘…...

编程日记 2025/7/2 1:42:28

算法竞赛进阶指南.沙漠之王

目录 题目算法标签: 01 01 01分数规划, 最小生成树思路代码 题目 348. 沙漠之王 算法标签: 01 01 01分数规划, 最小生成树 思路 看题目有要求是构建的渠道的总长度和总成本的比值最小, 形式化的表示 k ∑ L ∑ S k \frac {\sum L}{\sum S} k∑S∑L​ 可以转化为 k ⋅…...

编程日记 2025/6/29 7:17:53

第四章：走向共产主义社会

第四章：走向共产主义社会 1. 全球无阶级社会的形成 随着生产力的高度发展和社会资源的极大丰富，资本主义的最后残余彻底消失。全球范围内实现了按需分配的社会制度，所有国家都废除了货币体系和私有财产制度，进入了真正的共产主义…...

编程日记 2025/7/2 14:54:55

K8S - HPA + 探针实战 - 实现弹性扩缩与自愈

引言 在分布式系统中，弹性扩缩容与 服务自愈是保障业务高可用的核心能力。Kubernetes 通过自动化机制实现两大关键功能： • 动态扩缩容：基于 CPU/内存负载自动调整 Pod 副本数量，应对流量波动。 • 故障自愈：通过健…...

编程日记 2025/7/2 16:22:19

永磁同步电机控制算法--线性ADRC转速环控制器（一阶、二阶）

一、原理介绍 搭建一阶、二阶线性ADRC转速环控制器，通常一阶ADRC包括一阶LTD、二阶LESO、LSEF，二阶ADRC包括二阶LTD、三阶LESO、LSEF。 原理部分参考了这篇知乎自抗扰控制-ADRC - 知乎。 二、仿真验证 在MATLAB/simulink里面验证所提算法&#xff0c…...

编程日记 2025/7/2 15:46:10

泰迪杯特等奖案例学习资料：基于多模态数据融合与边缘计算的工业设备健康监测与预测性维护系统

（第十三届泰迪杯数据挖掘挑战赛特等奖案例解析） 一、案例背景与核心挑战 1.1 应用场景与行业痛点 在智能制造领域，工业设备（如数控机床、风力发电机）的健康状态直接影响生产效率和运维成本。传统维护方式存在以下问题： 故障响应滞后：依赖定期检修，突发故障导致停机损…...

编程日记 2025/7/2 1:42:29

4.29[Q]NLP-Exp2

我正在完成自然语言处理作业，？阅读文档，详细解释，越细节越好 class TextCNN(object): def __init__(self, config): self.config config self.preprocessor Preprocessor(config) self.class_name {0: 负面, 1: 正面} def buil…...

编程日记 2025/6/28 22:03:24