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数学二常用公式（高等数学+线性代数）

news 来源：原创 2025/7/15 1:08:31

目录

  • 高等数学
    • 第一章 函数、极限和连续
    • 第二章 一元函数微分学
    • 第三章 一元函数积分学
    • 第四章 多元函数微分学
    • 第五章 多元函数积分学
    • 第六章 常微分方程
  • 线性代数
  • 线性代数篇章涉及的知识内容及常用公式
    • 第一章 行列式
    • 第二章 矩阵
    • 第三章 向量
    • 第四章 线性方程组
    • 第五章 矩阵的相似化简
    • 第六章 二次型

高等数学

第一章 函数、极限和连续

  • 常用公式：
    • 极限性质： lim ⁡ x → a f ( x ) = L \lim_{x \to a} f(x) = L limx→a​f(x)=L 表示当 x x x 趋近于 a a a 时， f ( x ) f(x) f(x) 趋近于 L L L。
    • 无穷小量： o ( 1 ) o(1) o(1) 表示比 1 1 1 高阶的无穷小量。
    • 连续性： f ( x ) f(x) f(x) 在 x = a x = a x=a 连续 ⇔ lim ⁡ x → a f ( x ) = f ( a ) \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ⇔limx→a​f(x)=f(a)。

第二章 一元函数微分学

  • 常用公式：
    • 导数定义： f ′ ( a ) = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} f′(a)=limh→0​hf(a+h)−f(a)​。
    • 四则运算法则： ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u \pm v)' = u' \pm v' (u±v)′=u′±v′， ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' (uv)′=u′v+uv′， ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (vu​)′=v2u′v−uv′​。
    • 链式法则： ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)。
    • 微分中值定理： ∃ c ∈ ( a , b ) , such that  f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a \exists c \in (a, b), \text{ such that } f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ∃c∈(a,b), such that f′(c)=b−af(b)−f(a)​。
    • 洛必达法则： lim ⁡ x → a f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} limx→a​g(x)f(x)​=limx→a​g′(x)f′(x)​（对于不确定形式 0 0 \frac{0}{0} 00​ 或 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​）。

第三章 一元函数积分学

  • 常用公式：
    • 不定积分： ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x) \, dx = F(x) + C ∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数。
    • 定积分： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)。
    • 微积分基本定理： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)，其中 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数。
    • 换元积分法： ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du，其中 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x)。
    • 分部积分法： ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u \, dv = uv - \int v \, du ∫udv=uv−∫vdu。

第四章 多元函数微分学

  • 常用公式：
    • 偏导数： f x = ∂ f ∂ x f_x = \frac{\partial f}{\partial x} fx​=∂x∂f​， f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} fxy​=∂x∂y∂2f​。
    • 全微分： d f = f x d x + f y d y df = f_x \, dx + f_y \, dy df=fx​dx+fy​dy。
    • 多元函数的链式法则： ( f ( g ( x , y ) ) ) ′ = f x g x + f y g y (f(g(x, y)))' = f_x g_x + f_y g_y (f(g(x,y)))′=fx​gx​+fy​gy​。
    • 梯度： ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) ∇f=(∂x∂f​,∂y∂f​)。

第五章 多元函数积分学

  • 常用公式：
    • 二重积分： ∬ D f ( x , y ) d A = ∫ x 1 x 2 ∫ y 1 y 2 f ( x , y ) d y d x \iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f(x, y) \, dy \, dx ∬D​f(x,y)dA=∫x1​x2​​∫y1​y2​​f(x,y)dydx。
    • 三重积分： ∭ V f ( x , y , z ) d V = ∫ z 1 z 2 ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint_V f(x, y, z) \, dV = \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz ∭V​f(x,y,z)dV=∫z1​z2​​∫y1​y2​​∫x1​x2​​f(x,y,z)dxdydz。
    • 格林公式： ∮ C ( L d x + M d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A \oint_C (L \, dx + M \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA ∮C​(Ldx+Mdy)=∬D​(∂x∂M​−∂y∂L​)dA。
    • 高斯公式（散度定理）： ∬ S F ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ F d V \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV ∬S​F⋅dS=∭V​∇⋅FdV。

第六章 常微分方程

  • 常用公式：
    • 一阶微分方程： y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y' + P(x)y = Q(x) y′+P(x)y=Q(x)。
    • 齐次方程： y ′ = f ( y / x ) y' = f(y/x) y′=f(y/x)。
    • 线性微分方程的通解： y = e ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x ) d x d x + C ) y = e^{\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{-\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dxdx+C)。
    • 伯努利方程： y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n y' + P(x)y = Q(x)y^n y′+P(x)y=Q(x)yn，转化为线性方程后求解。
    • 常系数齐次线性微分方程： a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay′′+by′+cy=0，解为 y = e r 1 x , e r 2 x y = e^{r_1 x}, e^{r_2 x} y=er1​x,er2​x，其中 r 1 , r 2 r_1, r_2 r1​,r2​ 是特征方程的根。

线性代数

线性代数篇章涉及的知识内容及常用公式

第一章 行列式

  • 行列式的定义：

    • 二阶行列式： det ⁡ ( A ) = ∣ a b c d ∣ = a d − b c \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc det(A)= ​ac​bd​ ​=ad−bc
    • 三阶行列式： det ⁡ ( A ) = ∣ a b c d e f g h i ∣ = a ( e i − f h ) − b ( d i − f g ) + c ( d h − e g ) \det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) det(A)= ​adg​beh​cfi​ ​=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)

  • 行列式的性质：

    • 转置行列式： det ⁡ ( A T ) = det ⁡ ( A ) \det(A^T) = \det(A) det(AT)=det(A)
    • 行列式乘积： det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) ⋅ det ⁡ ( B ) \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) det(AB)=det(A)⋅det(B)

  • 行列式的计算：

    • 按行（列）展开： det ⁡ ( A ) = ∑ j = 1 n a i j C i j \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} det(A)=∑j=1n​aij​Cij​，其中 C i j C_{ij} Cij​是余子式。

第二章 矩阵

  • 矩阵的定义以及常见的特殊矩阵：

    • 单位矩阵： I n I_n In​
    • 对角矩阵： d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) diag(a_1, a_2, \ldots, a_n) diag(a1​,a2​,…,an​)
    • 三角矩阵： L L L（下三角）或 U U U（上三角）

  • 矩阵的运算：

    • 矩阵加法： A + B A + B A+B
    • 矩阵乘法： A B AB AB
    • 矩阵幂： A k A^k Ak
    • 矩阵转置： A T A^T AT

  • 矩阵的逆：

    • 逆矩阵： A − 1 A^{-1} A−1，满足 A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1} = A^{-1}A = I AA−1=A−1A=I

  • 矩阵的秩：

    • 矩阵的秩： rank ( A ) \text{rank}(A) rank(A)

第三章 向量

  • 向量组及其线性相关性：

    • 线性组合： c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} c1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​=0
    • 线性无关：向量组中不存在非平凡的线性组合等于零向量。

  • 向量组的极大线性无关组与秩：

    • 向量组的秩： rank ( { v 1 , v 2 , … , v n } ) \text{rank}(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}) rank({v1​,v2​,…,vn​})

  • 向量空间：

    • 基： { e 1 , e 2 , … , e n } \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\} {e1​,e2​,…,en​}
    • 维数： dim ( V ) \text{dim}(V) dim(V)

  • n 维欧几里得空间：

    • 内积： u ⋅ v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} u⋅v
    • 范数： ∥ u ∥ \|\mathbf{u}\| ∥u∥

第四章 线性方程组

  • 线性方程组的表示及相关概念：

    • 齐次线性方程组： A x = 0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
    • 非齐次线性方程组： A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b

  • 线性方程组的解：

    • 解的存在性： det ( A ) ≠ 0 \text{det}(A) \neq 0 det(A)=0时，方程组有唯一解。

第五章 矩阵的相似化简

  • 特征值与特征向量：

    • 特征值： λ \lambda λ满足 A v = λ v A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} Av=λv
    • 特征向量： v \mathbf{v} v对应于特征值 λ \lambda λ

  • 相似矩阵：

    • 相似矩阵： A A A和 B B B相似，如果存在可逆矩阵 P P P使得 A = P B P − 1 A = PBP^{-1} A=PBP−1

  • 矩阵的相似对角化：

    • 对角化： A A A可对角化，如果存在 P P P使得 P − 1 A P = D P^{-1}AP = D P−1AP=D，其中 D D D是对角矩阵。

第六章 二次型

  • 二次型及其矩阵表示：

    • 二次型： Q ( x ) = x T A x Q(x) = x^T A x Q(x)=xTAx
    • 矩阵表示： A A A是对称矩阵

  • 可逆线性变换：

    • 可逆变换： P P P可逆，如果 det ⁡ ( P ) ≠ 0 \det(P) \neq 0 det(P)=0

  • 二次型的标准形：

    • 标准形： Q ( x ) = ∑ i = 1 n λ i x i 2 Q(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 Q(x)=∑i=1n​λi​xi2​

  • 正定二次型：

    • 正定： Q ( x ) > 0 Q(x) > 0 Q(x)>0对所有非零 x x x

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编程日记 2025/7/10 3:15:23

棋牌项目Go的日志打印问题

棋牌项目Go的日志打印问题 项目使用 go work 管理模块 github.com/spf13/viper 通过 application.yml 加载配置 $ tree . ├── README.md ├── common │ ├── application.yml │ ├── config │ │ └── config.go │ ├── go.mod │ ├── go.su…...

编程日记 2025/7/12 20:38:04

基于SpringBoot校园台球厅人员与设备管理系统设计与实现

1.1课题背景与意义 在Internet高速发展的今天，计算机的应用几乎完全覆盖我们生活的各个领域，互联网在经济，生活等方面有着举足轻重的地位，成为人们资源共享，信息快速传递的重要渠道。在中国，网上管理的兴起…...

编程日记 2025/7/15 3:57:24

样品前处理工作站自动化操作

样品前处理工作站通过集成多种技术和自动化模块，实现了对样品的高效、精准处理。以下是实现自动化操作的关键步骤和原理： 1、集成多种技术：工作站通常集成了液体处理、固相萃取、离心、过滤等多种技术。这些技术的结合使得工作站能够完成从样…...

编程日记 2025/7/12 21:43:51

在 Vue 3 中实现点击按钮后禁止浏览器前进或后退

在 Vue 3 中实现点击按钮后禁止浏览器前进或后退&#xff0c;我们可以通过 ref 和 watch 来管理状态&#xff0c;同时使用 onBeforeUnmount 来清理事件监听。 使用 Vue 3 实现&#xff1a; <template><div><button click"disableNavigation">点击…...

编程日记 2025/7/14 8:54:28

【Redis集群】使用docker compose创建docker集群，并暴露外部接口

使用 Docker Compose 创建一个 Redis 集群并暴露外部接口需要配置 docker-compose.yml 文件。以下是一个基本的步骤&#xff0c;包括 Redis 集群的创建和外部接口的暴露。 1、创建 docker-compose.yml 首先&#xff0c;您需要创建一个 docker-compose.yml 文件&#xff0c;配…...

编程日记 2025/7/13 7:52:07

RabbitMq 基础

文章目录 一、初识 MQ1.1 同步调用&#xff1a;1.2 异步调用&#xff1a; 二、RabbitMQ三、SpringAMQP3.1 依赖和配置文件3.2 消息发送和接收&#xff1a;3.2.1 消息发送&#xff1a;3.2.2 消息接收&#xff1a; 3.3 WorkQueues 模型&#xff1a;3.4 交换机类型&#xff1a;3.4…...

编程日记 2025/7/13 12:23:36

类文件结构详解

一、引言 Java 类文件是 Java 虚拟机执行的基本单元。它包含了 Java 程序的字节码以及其他重要的元数据信息。了解类文件结构可以帮助我们更好地理解 Java 程序的编译过程、运行机制以及如何进行优化。 二、类文件结构概述 Java 类文件采用一种紧凑的二进制格式&#xff0c;主…...

编程日记 2025/7/15 5:04:37

01_Linux

一.Linux简介 1.1 Linux介绍 Linux是一套免费使用和自由传播的操作系统。说到操作系 统&#xff0c;大家比较熟知的应该就是Windows和MacOS操作系统&#xff0c; 我们今天所学习的Linux也是一款操作系统 1.2 Linux发展历史 时间&#xff1a;1991年 地点&#xff1a;芬兰赫尔…...

编程日记 2025/7/12 17:03:31

区块链与AI结合：驱动Web3的未来发展

Web3作为下一代互联网的核心理念&#xff0c;强调去中心化、用户主权和透明性。而区块链技术和人工智能&#xff08;AI&#xff09;则是推动Web3发展的两大关键力量。两者的结合不仅为Web3带来了新的可能性&#xff0c;还推动了智能化、透明化、自治化等特点的实现。本文将探讨…...

编程日记 2025/7/14 14:55:46

如何解决 docker 容器中 “-bash: ping: command not found” 错误 ？

在 Docker 的世界里&#xff0c;遇到错误是学习曲线的一部分&#xff0c;其中一个常见的错误是&#xff1a; -bash: ping: command not found。当您在 Docker 容器中尝试使用 ping 命令来测试与其他网络机器或服务的连接&#xff0c;但该命令在您的容器环境中不可用时&#xff…...

编程日记 2025/7/12 20:57:48

Leetcode 每日一题 242.有效的字母异位词

目录 问题描述 示例 题目要求 解决方案 算法思路 过题图片 代码实现 算法分析 优化思路 优化后的代码实现 优化后的算法分析 题目链接 问题描述 给定两个字符串 s 和 t&#xff0c;我们需要编写一个函数来判断 t 是否是 s 的字母异位词。字母异位词指的是两个字符串…...

编程日记 2025/7/15 16:43:41

centos7搭建FTP详细讲解

文章目录 1、ftp服务1、工作原理2、工作模式3、身份验证模式4、ftp服务器配置5、ftp客户端操作 1、ftp服务 1、工作原理 ![img](https://img2023.cnblogs.com/blog/3210480/202412/ 3210480-20241208224333047-141845069.png) 是一个cs架构 2个通道&#xff0c;21端口为控制…...

编程日记 2025/7/15 11:23:58

YOLOv8-ultralytics-8.2.103部分代码阅读笔记-build.py

build.py ultralytics\data\build.py 目录 build.py 1.所需的库和模块 2.class InfiniteDataLoader(dataloader.DataLoader): 3.class _RepeatSampler: 4.def seed_worker(worker_id): 5.def build_yolo_dataset(cfg, img_path, batch, data, mode"train"…...

编程日记 2025/7/15 4:33:09

JAVA-动态代理

文章目录 概要两种主要方式JDK 动态代理Proxy 类作用&#xff1a;常用方法&#xff1a; InvocationHandler 接口作用&#xff1a; 目标对象、代理对象、被代理对象JDK 动态代理工作原理 cjlib 动态代理demo 对比 概要 Java 动态代理利用 Java 的反射机制&#xff0c;可以在运行…...

编程日记 2025/7/15 1:33:26

【前端】React_Next.js

定期更新&#xff0c;建议关注、收藏&#xff01; 安装 要使用react的框架&#xff0c;都应当安装node.js conda install nodejs选择Next.js 并创建项目 npx create-next-applatest可以看到目录结构生成如下 作为网页中的一个子路由 想让其嵌入已经写好的项目中&#xf…...

编程日记 2025/7/15 1:24:09

深入理解malloc与vector：内存管理的对比

引言‌ 在编程中&#xff0c;内存管理是一个至关重要的环节。无论是C语言中的malloc函数&#xff0c;还是C标准库中的vector容器&#xff0c;它们都在内存分配和释放上扮演着关键角色。然而&#xff0c;它们的设计理念和用法有着显著的不同。本文将深入探讨malloc和vector的区…...

编程日记 2025/7/2 10:45:52

LeetCode题练习与总结：四数相加 Ⅱ --454

一、题目描述 给你四个整数数组 nums1、nums2、nums3 和 nums4 &#xff0c;数组长度都是 n &#xff0c;请你计算有多少个元组 (i, j, k, l) 能满足&#xff1a; 0 < i, j, k, l < nnums1[i] nums2[j] nums3[k] nums4[l] 0 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;n…...

编程日记 2025/7/14 6:46:37