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算法设计：回溯法的基础原理与应用

news 来源：原创 2025/7/14 20:14:29

目录

 

一、基本概念

二、适用问题

三、基本步骤

四、算法模式

递归回溯算法模式（求一个解）

非递归回溯算法模式（求一个解）

非递归回溯算法模式（求所有解）

五、经典应用

1数字组合问题

2数字排列问题

3 着色问题

8 皇后问题

PARTITION 问题

0 - 1 背包问题

六、时间复杂度

七、总结

 

一、基本概念

回溯法作为一种重要的算法设计策略，在处理组合与排列等复杂问题上展现出独特的优势。其核心在于采用深度优先搜索（DFS）的方式，构建状态空间树，对所有潜在的解进行系统性探索。在这一过程中，通过精心设计的剪枝函数，回溯法能够敏锐地识别并避开那些注定无法产生有效解的搜索路径，极大地提升了算法的执行效率，避免了在庞大解空间中进行盲目搜索。

二、适用问题

回溯法适用于那些可清晰界定为特定状态空间 E 的问题类型。这类问题通常存在一套约束集 D，目标是从中找出所有满足 D 条件的 n 元组。元组中的每个元素均来自有限集合 Si。值得注意的是，问题的解空间往往存在多种表述形式，此时需审慎抉择，挑选出最为简洁且高效的表达方式，这对后续算法的性能起着至关重要的影响。

三、基本步骤

  1. 定义解空间：精准定义问题的解向量为 n 元组（x₁，x₂，…，xₙ），详细明确每个 xi 的取值范围，并梳理出完整的问题约束集 D。这一步骤如同为算法绘制了一张精确的地图，明确了搜索的边界与方向。
  2. 确定解空间结构：将解空间巧妙地具象化为一棵高为 n 的带权有序树 T，即状态空间树。树中的每一个节点都对应着问题求解过程中的一个特定状态，而叶子节点则代表着可能的最终解。这种树形结构为深度优先搜索提供了清晰的遍历框架。
  3. 深度优先搜索：以深度优先的方式有条不紊地遍历状态空间树。在搜索进程中，充分借助剪枝函数的强大功能，及时摒弃那些明显无效的搜索分支。常用的剪枝函数主要包括约束函数和目标函数。约束函数负责剪掉那些不满足既定约束条件的子树，而目标函数则针对优化类问题，剪掉那些无论如何都无法导向最优解的子树，从而显著减少不必要的计算量。

四、算法模式

递归回溯算法模式（求一个解）

  1. 初始化阶段，将解向量 v 设置为空，同时将标志位 flag 设为 false，以此作为算法执行的起始状态。
  2. 发起对递归函数 advance (k) 的调用，从解向量的第 k 个元素开始逐步构建解。
  3. 在 advance (k) 函数内部，针对集合 Xk 中的每一个元素 x，依次将其纳入解向量 v 中进行尝试。
  4. 一旦 v 构成了最终解，立即将 flag 设置为 true，并终止递归过程；若 v 仅为部分解，则递归调用 advance (k + 1)，持续推进解的构造工作。
  5. 最终，依据 flag 的值输出相应的结果，若 flag 为 true，表明成功找到解，反之则表示未找到符合要求的解。

非递归回溯算法模式（求一个解）

  1. 初始化解向量 v 为空，flag 设为 false，k 赋值为 1，为非递归回溯过程做好准备。
  2. 借助外层 while 循环把控整个回溯流程，内层 while 循环则专注于遍历集合 Xk 中的元素。
  3. 针对每个遍历到的元素 x，将其加入 v 中进行判断。若形成最终解，即刻将 flag 置为 true 并跳出循环；若为部分解，则令 k 自增 1，继续下一位置元素的构造。
  4. 若遍历完所有元素仍未找到解，执行回溯操作，即 k 减 1，并重置相关元素，以便重新探索其他可能路径。
  5. 根据 flag 的最终取值输出结果，判断是否成功寻得解。

非递归回溯算法模式（求所有解）

此模式与求一个解的非递归模式大致相仿，关键区别在于，当成功找到一个最终解时，直接将其输出，既不设置 flag，也不退出循环，而是继续在状态空间树中深入搜索，力求找出所有可能的解，全面覆盖问题的解空间。

五、经典应用

1数字组合问题

  • 问题描述：从自然数 1、2、……、n 中任取 r 个数，生成所有可能的组合。
  • 状态空间：E={（x₁，x₂，...，x_r）∣xi∈S ，i=1，2，...，r}，其中 S={1，2，3，...，n}，约束集为 x₁ <x₂<... <x_r。
  • 递归算法：通过循环结构为组合中的每个位置精准赋值，实时判断当前组合是否为合法解或部分解，借助递归机制层层深入，构建出所有符合条件的组合。
  • INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
    OUTPUT: n个数的所有r组合。
  • 1. for k =1to r
2. c[k] =0
3. end for
4. Com(1)
过程 Com(k)
1. for m=1 to n
2. c[k] =m
3. if c为合法的解then得到一个r组合，输出c数组
4. else if c是部分的解 then Com(k+1)
5. end for

     

  • 非递归算法：运用 while 循环模拟递归过程，通过巧妙的回溯操作，有条不紊地生成所有可能的数字组合，实现对解空间的全面遍历。
  • INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
    OUTPUT: n个数的所有r组合。
  •  1. for k =1 to r2. c[k] =03. end for4. k =15. while k≥16. while c[k]≤n-17. c[k] =c[k]+18. if c为合法的 then得到一个r组合，输出c数组9. else if c是部分解 then k =k+110. end while11. c[k] =012. k =k-113. end while

     

2数字排列问题

  • 问题描述：生成数字 1,2,…,n 的所有排列。
  • 状态空间：E={（x₁，x₂，...，x_n）∣xi∈S ，i=1，2，...，n}，其中 S={1，2，3，...，n}，约束集为 xi≠xj (i≠j)。
  • 非递归算法：采用回溯策略，借助循环和条件判断，在满足约束条件的前提下，逐一生成所有可能的数字排列，充分展现了回溯法在排列问题上的高效求解能力。
  • INPUT: n个数分别为{1，2，…n} 。
    OUTPUT: n个数的一个排列。
     
  • 1. for k =1 to n2. c[k] =03. end for4. flag=false，k =15. while k≥16. while c[k]≤n-17. c[k] =c[k]+18. if c为合法的 then flag=true，退出两层循环9. else if c是部分解 then k =k+110. end while11. c[k] =012. k =k-113. end while 14. if flag then output c15. else output “no solution”

     

3 着色问题

  • 问题描述：为无向图 G=(V,E) 的顶点分配三种颜色之一，确保相邻顶点颜色不同。
  • 状态空间：用 n 元组 (c₁,c₂,…,c_n) 表示顶点的着色方案，其中 ci∈{1,2,3}。所有可能的着色方案构成一棵完全三叉树。
  • 递归算法：依次为每个顶点尝试三种颜色，依据相邻顶点颜色不同的约束条件，判断当前着色是否为合法或部分着色，通过递归调用不断构建合法的着色方案。
  • INPUT:无向图G=(V,E)
    OUTPUT:G的顶点的3着色c[1…n],其中每个c[j]为
    1,2,3 
     1. For k ←1to n2. c[k] ←03. End for4. flag ←false5. Graphcolor(1)6. If flag then output c7. Else output “no solution”
过程 graphcolor(k)1. For color=1 to 32. c[k] ←color3. If c为合法着色 then set flag ←true and exit4. Else if c是部分的 then graphcolor(k+1)5. End for

     

  • 非递归算法：利用 while 循环模拟递归过程，通过回溯操作在庞大的解空间中精准定位所有合法的着色方案，有效解决了图的着色难题。
  • 输入：无向图G=(V,E)。
    输出：G的顶点的3着色c[1…n],其中每个c[j]为
    1,2,3。 
     1. For k ←1 to n2. c[k] ←03. End for 4. flag ←false5. k ←16. While k≥17. While c[k]≤28. c[k] ←c[k]+19. If c为合法着色 then set flag←true且从两个while循环退出10. Else if c是部分解 then k ←k+111. End while12. c[k] ←013. k ←k-114. End while 15. If flag then output c16. Else output “no solution”

     

8 皇后问题

  • 问题描述：在 8×8 国际象棋棋盘上合理放置 8 个皇后，使其彼此不能相互攻击。
  • 状态空间：以完全四叉树形象地表示皇后的可能放置情况，树的每一层节点对应皇后在该行的不同放置列。
  • 算法思想：以深度优先搜索遍历状态空间树，巧妙运用皇后不能相互攻击的约束条件进行剪枝操作，高效找出所有满足要求的合法放置方案，是回溯法解决约束性布局问题的经典范例。
  • 算法步骤：INPUT:空
    OUTPUT:对应于4皇后问题的解向量c[1…4] 
     1.for k ←1 to 42. c[k] ←03. endfor4.flag ←false5.k ←1 6.while k≥17. While c[k]≤38. c[k] ← c[k] +19. If c为合法 then set flag ←true且从两个while循环退出10. Else if c是部分解 then k ←k+111. End while12. c[k] ←013. k ←k-114. End while15. If flag then output c16. Else output “no solution”

     

PARTITION 问题

  • 问题描述：将自然数 n 拆分成若干数之和，或给定整数集合 X 和整数 y，找出和为 y 的子集 Y。
  • 回溯策略：将问题的解巧妙表示为特定形式的元组，运用回溯法对所有可能的组合进行系统搜索，依据问题条件判断是否满足拆分或子集求和要求，从而成功求解。
  • 算法步骤：INPUT:X集合(数组), 整数y
    OUTPUT:X集合对应的n元布尔向量，使得对应的
    元素为1的xi之和为y。 
     1. 初始化n元布尔向量c[n]，值为-1；s=02. k ←1 3. while k≥ 14. while c[k]≤05. c[k] ← c[k] +16. if c[k]=1 then s=s+X[k] end if7. if s=y then c[k+1]~c[n]←0 输出c[ ]8. if(k=n) then break endif 9. else if (s<y)&&(k<n) then k ←k+110. endif11. endwhile12. s=s-X[k] 13. c[k] ← -114. k ←k-115. end while

     

0 - 1 背包问题

  • 问题描述：在给定背包容积限制下，合理选择物品放入背包，使总价值达到最大。
  • 状态空间：用 n 元组 (c₁,c₂,…,c_n) 表示物品是否被放入背包，其中 ci∈{0,1}。
  • 回溯算法：全面生成所有可能的物品选择组合，精确计算每个组合的价值和体积。通过精心设计的剪枝策略，如基于目标函数估计，有效优化搜索过程，快速定位能实现最大价值的解，为背包问题提供了高效解决方案。
  • 算法步骤：INPUT: n个物品的体积s[n]和价值v[n],背包容积C
    OUTPUT: 所放物品的体积不超过背包容积C的条件下，最
    大价值及其所放物品。 
     1. 初始化n元布尔向量c[n]，值为2；S ← C; V ← 0; maxv ← 02. k ←1 3. while k≥ 14. while c[k]>05. c[k] ← c[k] -16. if c[k]=1 then S=S-s[k]; V=V+v[k] endif7. if c[k]=0 then S=S+s[k]; V=V-v[k] endif8. if c为合法解 then9. if V>maxv then maxv ←V，记录当前c[] endif
10. else if c为部分解 then k k+1
11. endif
12. endwhile
13. c[k] ← 2
14. k ←k-1
15. end while
16. 输出maxv和解元组c[]

     

六、时间复杂度

在最坏情况下，回溯算法面临着极为庞大的计算量。以数字组合问题和排列问题为例，其算法可能生成 O (n^r) 和 O (n^n) 个节点。在处理每个节点时，分别需要执行 O (r) 或 O (n) 的检查工作，这直接导致算法的运行时间高达 O (rn^r) 和 O (n^n)。不同问题的时间复杂度受到多种因素影响，包括问题解空间的规模大小、约束条件的严苛程度以及剪枝策略的实际效果。例如，若约束条件足够严格，剪枝策略能够高效发挥作用，及时削减大量无效搜索分支，那么算法的实际运行时间将显著缩短，反之则可能趋近于最坏时间复杂度。

七、总结

回溯法作为一种极具威力的算法设计技术，在各类组合与排列问题的求解中占据着重要地位。其核心在于深度优先搜索状态空间树，并借助剪枝函数大幅减少不必要的搜索开销，显著提升算法效率。在实际应用场景中，根据问题的独特特性，合理定义解空间、准确确定约束集以及精心设计高效的剪枝策略，是充分发挥回溯法优势的关键所在。尽管在最坏情况下，回溯法的时间复杂度可能较高，但通过巧妙运用剪枝技巧，在众多实际问题中仍能获得令人满意的解决方案。无论是判定类问题（如判断是否存在解、寻找一个或所有解），还是最优化问题（追求最优解），回溯法都能大显身手。然而，随着问题规模的不断膨胀以及复杂性的持续提升，回溯法的效率与可行性将面临一定挑战。不过，在解决中等规模问题以及对解的准确性要求极高的场景中，回溯法依然具有不可替代的重要价值 。

 

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编程日记 2025/7/14 19:09:58

AWS MSK 集群升级前配置检查:保障升级平稳进行的关键步骤

在 AWS Managed Streaming for Apache Kafka (MSK) 集群升级之前,进行全面的配置检查至关重要。本文将介绍一个用于 MSK 升级前配置检查的 Bash 脚本,帮助您识别潜在的风险点,确保升级过程的顺利进行。 为什么需要升级前检查? AWS MSK 提供了自动升级功能,但在升级过程中,不…...

编程日记 2025/7/14 19:31:56

leetcode 2516. 每种字符至少取 K 个

题目描述 滑动窗口问题 可以转化为求按照题目要求从两端取走字符后&#xff0c;中间部分的最大长度。中间部分就是一个滑动窗口。 class Solution { public:int takeCharacters(string s, int k) {vector<int> count(3,0);int n s.size();for(int i 0;i <n;i){cou…...

编程日记 2025/7/14 19:41:40

通信原理第七版与第六版区别附pdf

介绍 我用夸克网盘分享了「通信原理 第7版》樊昌信」&#xff0c;链接&#xff1a;https://pan.quark.cn/s/be7c5af4cdce 《通信原理&#xff08;第7版&#xff09;》是在第6版的基础上&#xff0c;为了适应当前通信技术发展和教学需求&#xff0c;并吸取了数十所院校教师的反…...

编程日记 2025/7/14 19:26:16

CPU 空转解析

在编程中&#xff0c;“避免 CPU 空转” 指的是防止程序在等待某个条件满足时&#xff0c;无意义地消耗 CPU 资源。以下是对这一问题的详细解释&#xff1a; 1. 什么是 CPU 空转&#xff1f; 当代码中出现类似以下逻辑时&#xff1a; while not condition_met: # 循环检查条…...

编程日记 2025/7/14 19:17:14

云蝠智能大模型智能呼叫：赋能零售行业服务，助力客户增长

在数字化浪潮席卷全球的今天&#xff0c;零售行业正面临前所未有的变革压力。消费者需求日益个性化、市场竞争愈发激烈&#xff0c;传统的人工客服模式已难以满足企业对高效触达、精准营销和极致体验的需求。而云蝠智能大模型智能呼叫系统&#xff0c;凭借其突破性的AI技术和深…...

编程日记 2025/7/14 18:39:10

Consul安装部署（Windows环境）

部署资料链接&#xff1a;https://download.csdn.net/download/ly1h1/90722829​​​​​ 1.下载 Consul 1.访问 Consul 官方下载页面&#xff1a;Install | Consul | HashiCorp Developer 2.选择适合 Windows 的版本&#xff08;如 consul_1.16.1_windows_amd64.zip&#xff…...

编程日记 2025/7/14 18:43:02

Sql刷题日志（day7）

面试&#xff1a; 1、怎么样的数据挖取能真正对业务起到指导作用&#xff1f; 明确的业务目标&#xff1a;开始之前明确你想通过数据挖掘解决的业务问题。这些问题应具体、可量化&#xff0c;并与业务战略紧密相关。正确的数据集&#xff1a;确保使用的数据与你的业务问题相关…...

编程日记 2025/7/14 18:37:07

【MuJoCo仿真】开源SO100机械臂导入到仿真环境

主要参考&#xff1a;https://github.com/jpata/gym-so100/tree/integration/gym_so100/assets/trs_so_arm100 参考&#xff1a;&#xff08;八&#xff09;lerobot开源项目扩展so100的仿真操控&#xff08;操作记录&#xff09;_so100机械臂 仿真-CSDN博客 下载&#xff1a;…...

编程日记 2025/7/14 19:18:03

redis 有序集合zrange和zrangebyscore的区别

起因是查询数据&#xff0c;用了zrangebyscore 但是一直显示没数据 具体命令zrangebyscore key 0 -1 withscores, 原有印象中一直是这么用的&#xff0c;但是突然查不出来了&#xff0c; 于是搜了下问题所在。 通过分数查看 不能用0和-1表示最小和最大&#xff0c;只能用分数来…...

编程日记 2025/7/8 21:29:57

基于C#窗体+GDI+绘图实现分形树

实验&#xff1a;分形树 一. 引言 实验目的:继续学习C#窗体应用程序的图形化界面设计以及GDI绘图的一些基本指示,通过制作各种类型的分形树增强对于递归的理解,在创造分形图形的过程中感受编程的快乐 Tutorial任务 1.制作不同类型的分形图形(本次演示的是两种不同类型的分…...

编程日记 2025/7/9 21:58:44

使用Langchain+DeepSeep进行测试相关工作

1.使用BaseChatModel实现自定义DeepSeekLLM import json import typing from typing import Optional, Any, List, Dict, Union, Sequence, Callable, Literalimport requests from langchain_core.callbacks import CallbackManagerForLLMRun from langchain_core.language_m…...

编程日记 2025/7/12 10:43:26

Java练习6

一.题目 数字加密与解密 需求: 某系统的数字密码&#xff08;大于 0&#xff09;&#xff0c;比如 1983&#xff0c;采用加密方式进行传输。 规则如下: 先得到每位数&#xff0c;然后每位数都加上 5&#xff0c;再对 10 求余&#xff0c;最后将所有数字反转&#xff0c;得到一…...

编程日记 2025/7/9 1:33:35

二叉树知识点

1、树形结构 1.1概念 二叉树属于树形结构&#xff0c;所以先了解树形结构之后&#xff0c;再学习二叉树。 树形结构是一种非线性的数据结&#xff0c;是由n个有限节点组成的一个具有层次关系的集合&#xff0c;其形状就像一棵到这的树&#xff0c;跟朝上&#xff0c;叶子朝下…...

编程日记 2025/7/5 9:32:23

neo4j暴露公网ip接口——给大模型联通知识图谱

特别鸣谢 我的领导&#xff0c;我的脑子&#xff0c;我的学习能力&#xff0c;感动了 1. 搭建知识图谱数据库&#xff08;见上一章博客&#xff09; 这里不加赘述了&#xff0c;请参考上一篇博客搭建 2. FastApi包装接口 这里注意&#xff1a;NEO4J_URI不得写http:,只能写…...

编程日记 2025/7/8 22:58:42

在阿里云实例上部署通义千问QwQ-32B推理模型

通义千问QwQ-32B是阿里云开源的320亿参数推理模型，通过大规模强化学习在数学推理、编程及通用任务中实现性能突破，支持消费级显卡本地部署，兼顾高效推理与低资源消耗。 本文将介绍如何利用vLLM作为通义千问QwQ-32B模型的推理框架，在一台阿里云GPU实例上构建通义千问QwQ-32…...

编程日记 2025/7/14 8:17:11

GEE进行Theil-Sen Median斜率估计和Mann-Kendall检验

介绍一下Theil-Sen Median斜率估计和Mann-Kendall趋势分析&#xff0c;这两种方法经常结合使用&#xff0c;前者用于估计趋势的斜率&#xff0c;后者用于检验趋势的显著性。如多年NPP或者NDVI的趋势分析。 主要介绍使用GEE实现这一内容的代码方法&#xff0c;若使用python&…...

编程日记 2025/7/10 1:25:22

WSL2下Docker desktop的Cadvisor容器监控

由于WSL2的Docker存放是在Linux的docker-desktop目录下&#xff0c;需要从这里面挂载到WSL2里的/var/lib/docker&#xff0c;并且正确挂载启动&#xff0c;才能使 Cadvisor 识别到docker容器并且监控资源。 首先需要在WSL2终端进行挂载操作&#xff1a; sudo mount -t drvfs \…...

编程日记 2025/7/11 9:42:22

深度学习---pytorch搭建深度学习模型（附带图片五分类实例）

一、PyTorch搭建深度学习模型流程 1. 环境准备 安装PyTorch及相关库&#xff1a; pip install torch torchvision numpy matplotlib2. 数据准备 数据集加载&#xff1a;使用内置数据集&#xff08;如CIFAR-10&#xff09;或自定义数据集。数据预处理&#xff1a;包括归一化…...

编程日记 2025/7/14 0:40:40

基于 STM32 的智慧图书馆智能控制系统设计与实现

一、系统架构概述 智慧图书馆智能控制系统集成环境调控、安全监控、借阅管理与信息推送功能，通过 STM32 主控芯片联动传感器、执行器及云平台，实现图书馆智能化管理。系统架构分为感知层（传感器）、控制层（STM32 主控）、执行层（继电器 / 显示屏）及云端层（数据交互），…...

编程日记 2025/7/11 21:04:57