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foc控制 - clarke变换和park变换

news 来源：原创 2025/5/20 10:02:53

1. foc控制框图

下图是foc控制框图，本文主要是讲解foc控制中的larke变换和park变换
clarke变换将静止的 $ab c$ 坐标系变换到静止的 $α β$ 坐标系，本质上还是以定子为基准的坐标系
park变换则将 $α β$ 坐标系变换到随转子旋转的 $d q$ 旋转坐标系，本质是以转子为基准的坐标系，方便计算和分析

2. clarke变换

2.1 理解clarke变换是要做什么

答案就是下面这张图，无论是 $ab c 坐标系$ 还是 $α β 坐标系$ , 其实是在同一个平面坐标系中（定子所构成的平面），其实就是将 $ab c 三相$ 的合成矢量重新分解到 $α β 两相$ 中。

2.2 abc坐标系合成矢量的计算

三相对称正弦电流大小的计算公式（标量，只有大小没有方向）

$\begin{cases}I_\mathrm{a}=I_\mathrm{m}\cos\omega t\\\\I_\mathrm{b}=I_\mathrm{m}\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{3}\right)\\\\I_\mathrm{c}=I_\mathrm{m}\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)\end{cases}\\ w:角速度(单位时间内转过的角度)； t:时间； wt:转过的角度\\ --类比一下--\\ v:速度； t:时间； vt:走过的距离\\ -------\\ w = 2\pi f //2\pi：360^o; f = \frac{周期}{秒}$
$ab c 三相电流$ 合成矢量的计算公式为： $\overrightarrow{I_s}=\overrightarrow{I_\mathrm{a}}+\overrightarrow{I_\mathrm{b}}+\overrightarrow{I_\mathrm{c}}$ , 将上述方程组中的标量加上方向就是矢量
$\overrightarrow{I_s}=\overrightarrow{I_\mathrm{a}}+\overrightarrow{I_\mathrm{b}}+\overrightarrow{I_\mathrm{c}}\\ --\\ \overrightarrow{I_s}=I_\text{m}\cos(\omega t)e^{j0}+I_\text{m}\cos\Bigg(\:\omega t-\frac{2\pi}{3}\Bigg)e^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}}+I_\text{m}\cos\Bigg(\:\omega t+\frac{2\pi}{3}\Bigg)e^{-\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} \\ 理解一下这个公式$
带入欧拉公式，关于欧拉公式，可以参考我的另外一篇文章《理解欧拉公式》
$欧拉公式\\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ ---------------------------$
$\begin{aligned}\overline{I}_{\mathrm{s}}&=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t)+I_{\mathrm{m}}\cos\Bigg(\omega t-\frac{2\pi}{3}\Bigg)\Bigg(\cos\frac{2\pi}{3}+\text{j}\sin\frac{2\pi}{3}\Bigg)\\&+I_{\mathrm{m}}\cos\Bigg(\omega t+\frac{2\pi}{3}\Bigg)\Bigg(\cos\frac{2\pi}{3}-\text{j}\sin\frac{2\pi}{3}\Bigg)\end{aligned} \\ 进一步计算\\ \begin{aligned}\overrightarrow{I}_{\mathrm{s}}&=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t)+I_{\mathrm{m}}\Bigg[\cos\left(\omega t\right)\cos\frac{2\pi}{3}+\sin\left(\omega t\right)\sin\frac{2\pi}{3}\Bigg]\Bigg(-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)\\&+I_{\mathrm{m}}\Bigg[\cos\left(\omega t\right)\cos\frac{2\pi}{3}-\sin\left(\omega t\right)\sin\frac{2\pi}{3}\Bigg]\Bigg(-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)\end{aligned}\\ 带入三角函数的值\\ \begin{aligned}\overline{I}_{\mathrm{s}}&=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t)+I_{\mathrm{m}}\Bigg[-\frac{1}{2}\cos\left(\omega t\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\omega t\right)\Bigg]\Bigg(-\frac{1}{2}+\:\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)\\&+I_{\mathrm{m}}\Bigg[-\frac{1}{2}\cos\left(\omega t\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(\omega t\right)\Bigg]\Bigg(-\frac{1}{2}-\:\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)\end{aligned}\\ 进一步计算\\ \begin{aligned}\overrightarrow{I}_{s}&=I_{\mathrm{m}}\cos(\omega t)+I_{\mathrm{m}}\left[\frac{1}{4}\cos\left(\omega t\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}\sin\left(\omega t\right)-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{4}\cos\left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\sin\left(\omega t\right)\right]\\&+I_{\mathrm{m}}\biggl[\frac{1}{4}\cos\left(\omega t\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin\left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\cos\left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\sin\left(\omega t\right)\biggr]\end{aligned}\\ -------------------------\\$
$\overline{I}_{\mathrm{s}}=\frac{3}{2}I_{\mathrm{m}}\cos\left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{2}I_{\mathrm{m}}\sin\left(\omega t\right)\\ 至此公式变成了复数的表达形式，还可以写成如下的等价形式\\ \overrightarrow{I_s}=\frac{3}{2}I_\text{m}e^{\mathrm{j}\omega t}$
由此可以看出，空间上互差120°的三相对称正弦电流的合成矢量是一个角速度为ω且绕中心点旋转的矢量，因此能形成旋转磁场。它的幅值是 $I_m$ 的 $\frac{3}{2}$ 倍。
从最终推导出的公式可以看出来 $\overline{I}_{\mathrm{s}}=\frac{3}{2}I_{\mathrm{m}}\cos\left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{2}I_{\mathrm{m}}\sin\left(\omega t\right)$ ， $α β 轴$ 变成了如下形式

2.3 clarke变换和反clarke变换 $i_a, i_b, i_c]<==> [i_α, i_β]$

2.3.1 计算

这部分相对较为简单，如下图所示，用最简单的三角函数就可以计算，就直接写答案了

在这里插入图片描述
$i_{\alpha}=I_{\mathrm{a}}-I_{\mathrm{b}}\cos\frac{\pi}{3}-I_{\mathrm{c}}\cos\frac{\pi}{3}\\ i_{\beta}=I_{\mathrm{b}}\cos\frac{\pi}{6}-I_{\mathrm{c}}\cos\frac{\pi}{6}\\ -----------\\ i_{\alpha}=I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}I_{\mathrm{b}}\:-\frac{1}{2}I_{\mathrm{c}}\:\\i_{\beta}\:=\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{b}}\:\:-\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{c}}\:\\ -----------\\ 写成矩阵的形式\\ \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_\mathrm{a}\\I_\mathrm{b}\\I_\mathrm{c}\end{bmatrix}$

2.3.2 等幅值clarke变换

依据第2.2节的计算 $I_{\alpha}, I_{\beta}$ 的值最大为 $\frac{3}{2}倍的I_a， I_b ，I_c$ ，所以在 4.1节 的基础上乘以 $\frac{2}{3}$ 使得变换前后的幅值相等，一般将这种变换称为 等幅值变换
$clarke等伏值变换\\ i_{\alpha}=\frac{2}{3}(I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}I_{\mathrm{b}}\:-\frac{1}{2}I_{\mathrm{c}}\:)\\i_{\beta}\:=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{b}}\:\:-\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{c}}\:)\\ ----------------\\ 矩阵形式\\ \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}=\frac{2}{3}\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_\mathrm{a}\\I_\mathrm{b}\\I_\mathrm{c}\end{bmatrix}\\$
在电机控制中 $I_{\mathrm{a}}+I_{\mathrm{b}}+I_{\mathrm{c}} = 0$ , 所以可以对上述公式进行化简
$i_{\alpha}=\frac{2}{3}(I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}I_{\mathrm{b}}\:-\frac{1}{2}I_{\mathrm{c}}\:)\\i_{\beta}\:=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{b}}\:\:-\frac{\sqrt{3}}{2}I_{\mathrm{c}}\:)\\ ----------------\\ I_{a}+I_{b}+I_{c}=0 ==> I_{c}=-I_{a}-I_{b}目标是消掉I_c\\ i_{\alpha}=\frac{2}{3}\left(I_{a}-\frac{1}{2}I_{b}-\frac{1}{2}\left(-I_{a}-I_{b}\right)\right)=I_{a}\\ i_{\beta}=\frac{2}{3}\left(0\:+\:\frac{\sqrt{3}}{2}I_{b}-\frac{\sqrt{3}}{2}(-I_{a}-I_{b})\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}I_{a}+\frac{2}{\sqrt{3}}I_{b}$
$i_{\alpha}==I_{a}\\ i_{\beta}==\frac{1}{\sqrt{3}}I_{a}+\frac{2}{\sqrt{3}}I_{b}\\ -------------------\\ 矩阵形式\\ \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\\frac1{\sqrt3}&\frac2{\sqrt3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_a\\I_b\end{bmatrix}$

2.3.3 等幅值clarke反变换

$I_{a}=i_{\alpha}\\ I_{b}=-\frac{1}{2}i_{\alpha}+\frac{\sqrt{3}}{2}i_{\beta}\\ I_{c}=-\frac{1}{2}i_{\alpha}-\frac{\sqrt{3}}{2}i_{\beta}\\ ------------------------------\\ 矩阵形式\\ \begin{bmatrix}I_a\\I_b\\I_c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-\frac12&\frac{\sqrt3}2\\-\frac12&-\frac{\sqrt3}2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}$

在这里插入图片描述

3. park变换

3.1 说明

clarke变换将静止的 $ab c$ 坐标系变换到静止的 $α β$ 坐标系，本质上还是以定子为基准的坐标系
park变换则将 $α β$ 坐标系变换到随转子旋转的 $d q$ 旋转坐标系，本质是以转子为基准的坐标系，方便计算和分析
park的方法如下图所示

3.2 park变换公式

$i_{\mathrm{d}}=i_{\alpha}\cos\theta+i_{\beta}\sin\theta \\ i_{\mathrm{q}}=-i_{\alpha}\sin\theta+i_{\beta}\cos\theta \\ -------------------------------------\\ 矩阵形式\\ \begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}$

3.3 park反变换公式

$i_{\alpha}=i_{d}\cos\theta-i_{q}\sin\theta \\ i_{\beta}=i_{d}\sin\theta+i_{q}\cos\theta \\ ---------\\ 矩阵形式\\ \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}$