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算法设计与分析（期末试卷）

news 来源：原创 2025/5/26 13:02:16

目录

一、频度计算（15 分）

二、项目工期问题（20 分）

三、TSP 问题的贪心算法（15 分）

四、“秤心如意”（15 分）

五、工作指派问题（20 分）

六、计算复杂度理论（15 分）

一、频度计算（15 分）

现有某小学 n 名小学生的身高数据（无序），校长想知道身高为 x 的学生有多少名，采用线性搜索时间复杂度为 O (n)，请你设计一个分治算法完成统计，并分析算法的时间复杂度，与线性搜索算法作比较。

  1. 对问题进行简单分析，给出算法设计的基本思想和步骤；(6 分)
  2. 给出算法的伪代码描述；(6 分)
  3. 对算法进行时间复杂度分析并与线性搜索算法进行比较。(3 分)

二、项目工期问题（20 分）

假设一个项目由 n 个子项目构成，已知每个子项目之间的依赖关系（前驱后继关系构成一个有向无回路图），每个子项目的完成时间 ti。请设计算法计算项目的工期并输出。

  1. 对问题进行简单分析，给出算法设计的基本思想和步骤；(8 分)
  2. 给出算法的伪代码描述；(9 分)
  3. 对算法进行时间复杂度分析。(3 分)

三、TSP 问题的贪心算法（15 分）

已知 n 个顶点的完全有向图 G=(V,E)，两点之间的边上权值为 wij，假设从 1 顶点出发，巡回走完剩余顶点再回到出发的 1 顶点，且每个顶点只经过一次，求最短的巡回路线长度。要求：

  1. 对问题进行简单分析，给出贪心策略；分析你的贪心算法能否找到问题的最优解；(5 分)
  2. 给出算法的伪代码描述；(8 分)
  3. 对算法进行时间复杂度分析。(2 分)

四、“秤心如意”（15 分）

小张应邀参加某频道的 “秤心如意” 节目环节，该环节要求嘉宾在有限的时间内从 n 款商品中选择若干，放在秤的一端，自己坐在秤的另一端，如果秤能保持平衡 (两边重量相等)，即为成功，嘉宾可以拿走所有的商品。

小张为了能赢得比赛，提前估计了每种商品的重量 wi，当然也自知自己的体重 W，请为小张设计算法，判断是否有保持平衡的一种商品选择的方案，如果有请给出。

  1. 对问题进行分析建模，分析并给出回溯算法的关键步骤；(9 分)
  2. 并给出算法描述，分析时间复杂度；(6 分)

五、工作指派问题（20 分）

设有 n 件工作，n 个人，每个人只能做一件工作，每件工作只能安排给一个人，已知每个人做每件工作的耗费，请设计分支限界算法求解最少耗费的工作指派。

  1. 对问题进行分析；(9 分)
  2. 给出分支限界算法的伪代码描述；(8 分)
  3. 分析以上算法的时间复杂度。(3 分)

六、计算复杂度理论（15 分）

  1. 说说你对 P 类问题、NP 类问题及 P 和 NP 是否相等这个难题的理解。（8 分）
  2. 现实生活中是否存在 NP 难题，如果存在，尝试举出几个例子，并说明在现实生活中是如何解决 NP 难题的。（7 分）

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