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动态规划求解leetcode300.最长递增子序列（LIS）详解

news 来源：原创 2025/6/18 8:49:26

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

关键点

  • 双重循环结构：外层循环遍历每个元素作为子序列结尾，内层循环检查所有可能的前驱元素

  • 递增条件：只有当 nums[j] < nums[i] 时才考虑状态转移

  • 时间复杂度：O(n²)，因为有两层嵌套循环

核心思路

  1. 定义状态：

    • dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度

    • 初始时每个元素本身就是一个长度为1的子序列，所以初始化 dp 数组全为1

  2. 状态转移：

    • 对于每个 i（当前元素），检查所有 j < i（前面的元素）

    • 如果 nums[j] < nums[i]（满足递增条件），则尝试更新 dp[i]：

      dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)

      这表示如果接在 nums[j] 后面能形成更长的子序列，就更新 dp[i]

  3. 记录结果：

    • 在计算过程中持续维护一个全局最大值 res

    • 最终 res 就是整个数组的最长递增子序列长度

// Dynamic programming.
class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {if(nums.length == 0) return 0;int[] dp = new int[nums.length];int res = 0;Arrays.fill(dp, 1);for(int i = 0; i < nums.length; i++) {for(int j = 0; j < i; j++) {if(nums[j] < nums[i]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}
}

示例数组

nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]

算法步骤解析

  1. 初始化：

    • 创建dp数组，长度与nums相同，初始值全为1（因为每个元素本身就是一个长度为1的子序列）

    dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

  2. 双重循环处理：

    • 外层循环：i从0到n-1

    • 内层循环：j从0到i-1

  3. 逐步计算过程：

    i=0 (nums[0]=10):

    • j无（因为i=0时j从0到-1）

    • dp保持不变：[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

    • res=1

    i=1 (nums[1]=9):

    • j=0: nums[0]=10 > nums[1]=9 → 不更新

    • dp保持不变：[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

    • res=1

    i=2 (nums[2]=2):

    • j=0: nums[0]=10 > nums[2]=2 → 不更新

    • j=1: nums[1]=9 > nums[2]=2 → 不更新

    • dp保持不变：[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

    • res=1

    i=3 (nums[3]=5):

    • j=0: nums[0]=10 > nums[3]=5 → 不更新

    • j=1: nums[1]=9 > nums[3]=5 → 不更新

    • j=2: nums[2]=2 < nums[3]=5 → dp[3] = max(dp[3], dp[2]+1) = max(1, 2) = 2

    • dp更新为：[1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1]

    • res=2

    i=4 (nums[4]=3):

    • j=0: nums[0]=10 > nums[4]=3 → 不更新

    • j=1: nums[1]=9 > nums[4]=3 → 不更新

    • j=2: nums[2]=2 < nums[4]=3 → dp[4] = max(dp[4], dp[2]+1) = max(1, 2) = 2

    • j=3: nums[3]=5 > nums[4]=3 → 不更新

    • dp更新为：[1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1]

    • res=2

    i=5 (nums[5]=7):

    • j=0: nums[0]=10 > nums[5]=7 → 不更新

    • j=1: nums[1]=9 > nums[5]=7 → 不更新

    • j=2: nums[2]=2 < nums[5]=7 → dp[5] = max(dp[5], dp[2]+1) = max(1, 2) = 2

    • j=3: nums[3]=5 < nums[5]=7 → dp[5] = max(dp[5], dp[3]+1) = max(2, 3) = 3

    • j=4: nums[4]=3 < nums[5]=7 → dp[5] = max(dp[5], dp[4]+1) = max(3, 3) = 3

    • dp更新为：[1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1]

    • res=3

    i=6 (nums[6]=101):

    • j=0: nums[0]=10 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[0]+1) = max(1, 2) = 2

    • j=1: nums[1]=9 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[1]+1) = max(2, 2) = 2

    • j=2: nums[2]=2 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[2]+1) = max(2, 2) = 2

    • j=3: nums[3]=5 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[3]+1) = max(2, 3) = 3

    • j=4: nums[4]=3 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[4]+1) = max(3, 3) = 3

    • j=5: nums[5]=7 < nums[6]=101 → dp[6] = max(dp[6], dp[5]+1) = max(3, 4) = 4

    • dp更新为：[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 1]

    • res=4

    i=7 (nums[7]=18):

    • j=0: nums[0]=10 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[0]+1) = max(1, 2) = 2

    • j=1: nums[1]=9 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[1]+1) = max(2, 2) = 2

    • j=2: nums[2]=2 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[2]+1) = max(2, 2) = 2

    • j=3: nums[3]=5 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[3]+1) = max(2, 3) = 3

    • j=4: nums[4]=3 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[4]+1) = max(3, 3) = 3

    • j=5: nums[5]=7 < nums[7]=18 → dp[7] = max(dp[7], dp[5]+1) = max(3, 4) = 4

    • j=6: nums[6]=101 > nums[7]=18 → 不更新

    • dp更新为：[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]

    • res=4

最终结果

最长递增子序列的长度为4。对应的子序列可以是：

  • [2, 3, 7, 101]

  • 或 [2, 5, 7, 101]

  • 或 [2, 3, 7, 18]

  • 或 [2, 5, 7, 18]

 

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编程日记 2025/6/1 7:12:40

游戏状态管理：用Pygame实现场景切换与暂停功能

游戏状态管理：用Pygame实现场景切换与暂停功能 在开发游戏时，管理游戏的不同状态（如主菜单、游戏进行中、暂停等）是非常重要的。这不仅有助于提升玩家的游戏体验，还能使代码结构更加清晰。本文将通过一个简单的示例，展示如何使用Pygame库来实现游戏中的场景切换和暂停功…...

编程日记 2025/5/30 6:50:12

数据资产价值及其实现路径-简答题回顾

1. 简述数据资产的定义及其特征。 答案&#xff1a;数据资产是指企业或组织所拥有的、具有经济价值的数据资源。它具有以下特征&#xff1a;可复制性&#xff08;数据可以多次使用&#xff09;、价值潜力&#xff08;数据经过处理、分析可以创造经济价值&#xff09;、流动性&…...

编程日记 2025/5/30 22:49:01

Docker化HBase排错实录：从Master hflush启动失败到Snappy算法未支持解决

前言 在容器化时代&#xff0c;使用 Docker 部署像 HBase 这样复杂的分布式系统也比较方便。社区也提供了许多方便的 HBase Docker 镜像&#xff0c;没有找到官方的 apache的&#xff0c;但有包含许多大数据工具的 harisekhon/hbase 或用于学习目的的 bigdatauniversity/hbase…...

编程日记 2025/6/1 8:09:19

端到端自动驾驶的数据规模化定律

25年4月来自Nvidia、多伦多大学、NYU和斯坦福大学的论文“Data Scaling Laws for End-to-End Autonomous Driving”。 自动驾驶汽车 (AV) 栈传统上依赖于分解方法&#xff0c;使用单独的模块处理感知、预测和规划。然而&#xff0c;这种设计在模块间通信期间会引入信息丢失&am…...

编程日记 2025/6/4 16:31:19

桌面端开发技术栈选型：开启高效开发之旅

在数字化浪潮中&#xff0c;桌面端应用依然占据重要地位&#xff0c;而选择合适的技术栈是打造优质桌面端应用的关键一步。以下是多种主流桌面端开发技术栈的介绍与对比&#xff0c;希望能为大家提供有价值的参考。 基于 Web 技术的跨平台框架 • Electron&#xff1a; • 特…...

编程日记 2025/6/4 9:57:57

C++模拟Java C#的 finally

在 Java 和 C# 中&#xff0c;finally 是一个与异常处理&#xff08;try-catch&#xff09;配合使用的关键字&#xff0c;用于确保一段代码无论是否发生异常都会被执行。它通常用于释放资源&#xff08;如文件句柄、数据库连接、锁等&#xff09;&#xff0c;避免内存泄漏或状态…...

编程日记 2025/6/3 10:40:54

Spring Boot安装指南

&#x1f516; Spring Boot安装指南 &#x1f331; Spring Boot支持两种使用方式&#xff1a; 1️⃣ 可作为常规Java开发工具使用 2️⃣ 可作为命令行工具安装 ⚠️ 安装前提&#xff1a; &#x1f4cc; 系统需安装 Java SDK 17 或更高版本 &#x1f50d; 建议先运行检查命令…...

编程日记 2025/6/1 20:12:20