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泰勒展开概念解释（图优化SLAM中非线性系统的线性处理）

news 来源：原创 2025/6/18 8:15:04

1. 泰勒展开

泰勒展开是一种用多项式近似复杂函数的数学方法，其核心思想是通过函数在某一点的各阶导数信息，构建一个多项式来逼近原函数，即通过函数在某一点x0的各阶导数值，构造一个多项式 P(x)，使得该多项式在 x0 附近与原函数 f(x) 的值及其导数尽可能匹配，数学形式为：
f ( x ) = ∑ 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x)=\sum_0^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f(x)=∑0∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

1. 意义与用途

  • 意义：泰勒展开的核心思想是用多项式逼近复杂函数，阶数越高精度越好，但计算复杂度也增加。不同场景下选择适当阶数的展开（如一阶用于梯度下降，二阶用于牛顿法），并需结合余项分析误差范围。
  • 简化复杂函数 ：将指数函数、三角函数等难以计算的函数转化为多项式形式，便于数值计算。
  • 局部近似 ：将非线性问题线性化。
  • 误差估计 ：通过余项（如拉格朗日余项）量化近似误差，确保计算精度。
  • 唯一性 ：在相同阶数和展开点下，泰勒多项式是唯一的。

2. 展开公式

  • 直接展开法 ：计算函数在展开点 x0 的各阶导数 f(x0)，代入泰勒公式，逐项写出多项式
  • 间接展开法 ：利用已知展开式，通过代数运算或复合函数展开。
  • 指数函数： e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + . . . = ∑ 0 ∞ x n n ! e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...=\sum_0^\infty\frac{x^n}{n!} ex=1+x+2!x2​+3!x3​+4!x4​+...=∑0∞​n!xn​
  • 正弦函数： s i n ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . = ∑

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