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线性回归之归一化(normalization)

news 来源：原创 2025/8/3 15:39:42

文章目录

  • 归一化与梯度下降
  • 归一化的必要性：从特征量纲到梯度下降
    • 问题背景
    • 矛盾与低效
    • 归一化的作用
  • 归一化提高模型精度的原因
  • 归一化的本质
  • 常见归一化方法
    • 最大值最小值归一化
      • 示例说明
      • 优缺点分析
    • 标准归一化
      • 具体机制
      • 示例说明
  • 强调

归一化与梯度下降

在这里插入图片描述

  • 归一化与梯度下降 ：在多元线性回归中，损失函数（MSE）是凸函数，可类比为碗状曲面。梯度下降的目标是找到碗底（损失最小点）。

可视化说明

  • 左图：归一化后的损失函数（等高线均匀，利于梯度下降）

  • 右图：未归一化的损失函数（等高线狭长，收敛困难）
    在这里插入图片描述

  • 关键结论：归一化能优化损失函数的几何形态，使梯度下降更高效。

归一化的必要性：从特征量纲到梯度下降

问题背景

假设我们有两个特征：

  • 年龄（X₁）：数值较小（如 25、36、49）
  • 收入（X₂）：数值较大（如 10,000、50,000、30,000）
nameageincome
张三2510000
李四3650000
王五4930000
  • 在多元线性回归中，模型方程为： y = θ 1 X 1 + θ 2 X 2 y = \theta_1 X_1 + \theta_2 X_2 y=θ1​X1​+θ2​X2​

计算机无法理解特征的物理含义，仅视作数值计算。若未归一化：

  1. 初始参数（θ₁, θ₂）：通常随机初始化，数值相近（如 ~0.01）。
  2. 特征量级差异：由于 X 2 ≫ X 1 X_2 \gg X_1 X2​≫X1​，梯度更新时：
    • 梯度公式 ∇ θ j = ( h θ ( X ) − y ) X j \nabla_{\theta_j} = (h_\theta(X)-y)X_j ∇θj​​=(hθ​(X)−y)Xj​⇒ ∇ θ 2 ≫ ∇ θ 1 \nabla_{\theta_2} \gg \nabla_{\theta_1} ∇θ2​​≫∇θ1​​
    • 参数更新幅度： Δ θ 2 ≫ Δ θ 1 \Delta \theta_2 \gg \Delta \theta_1 Δθ2​≫Δθ1​

矛盾与低效

  1. 收敛速度不一致：
    • θ 2 \theta_2 θ2​ 因梯度大，快速收敛；
    • θ 1 \theta_1 θ1​因梯度小，收敛缓慢，拖慢整体优化。
  2. 优化路径曲折：如右图所示，梯度下降会先沿 θ 2 \theta_2 θ2​ 轴快速下降，再缓慢调整 θ 1 \theta_1 θ1​，形成“之字形”路径。
    在这里插入图片描述

归一化的作用

通过归一化（如 Z-score），使所有特征处于相近量级（如 μ=0, σ=1），从而：

  • 梯度均衡化：各维度参数的更新幅度相近。
  • 同步收敛：避免部分参数等待，提升优化效率。
  • 类比说明 ：未归一化（如“部分人先富”，导致优化不均衡）；归一化（如“共同富裕”，所有参数同步优化，步伐一致）。

归一化提高模型精度的原因

  1. 保证距离计算的合理性
  • 问题：在KNN等依赖距离的算法中，若某一特征数值过大（如收入 X 1 = 10 , 000 20 , 000 X₁=10,000~20,000 X1​=10,000 20,000），而另一特征过小（如年龄 X 2 = 1 2 X₂=1~2 X2​=1 2），距离计算会被大数值特征主导，导致结果失真。
  • 解决：归一化后，所有特征处于相近范围（如0~1），模型能更合理地综合各维度信息。
  1. 避免分类失效
  • 问题：若特征量纲差异极大（如X₁范围 1 万  2 万 1万~2万 1万 2万，X₂范围 1 2 1~2 1 2），数据点可能近似分布在一条直线上，导致分类器（如SVM、逻辑回归）无法找到有效的分界超平面。
  • 解决：归一化消除量纲影响，使分类边界更准确。
    在这里插入图片描述

归一化的本质

  • 归一化作用：将所有特征统一到相同数量级，实现“无量纲化”，使模型能公平对待每个特征。
  • 归一化通过数学变换消除特征间的量纲差异，是数据预处理中的“公平调节器”。

常见归一化方法

最大值最小值归一化

对每个特征 X i X_i Xi​进行数学变换，常见方法包括：

  • Min-Max归一化：压缩到 [0, 1] 区间
    X i , j ∗ = X i , j − X j m i n X j m a x − X j m i n X_{i,j}^* = \frac{X_{i,j} - X_{j}^{min}}{X_{j}^{max} - X_{j}^{min}} Xi,j∗​=Xjmax​−Xjmin​Xi,j​−Xjmin​​
    • x j m i n x_{j}^{min} xjmin​是对应X矩阵中第 j j j列特征值的最小值
    • x j m a x x_{j}^{max} xjmax​是对应 X X X矩阵中第 j j j列特征值的最大值
    • x i , j x_{i,j} xi,j​是X矩阵中第 i i i行第 j j j列的数值
    • X i , j ∗ X_{i,j}^* Xi,j∗​是归一化之后的 X X X矩阵中第 i i i行第 j j j列的数值

示例说明

正常数据归一化

  • 原始数据：[1, 2, 3, 5, 5]
  • 计算参数：
    • 最小值 x j m i n = 1 x_j^{min}=1 xjmin​=1
    • 最大值 x j m a x = 5 x_j^{max}=5 xjmax​=5
  • 归一化结果：[0, 0.25, 0.5, 1, 1]
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
import numpy as npdata = np.array([[1], [2], [3], [5], [5]])  # 注意需要二维数组
scaler = MinMaxScaler()
normalized = scaler.fit_transform(data)
print(normalized.flatten())  # 输出: [0.   0.25 0.5  1.   1.  ]

含离群值数据归一化

  • 原始数据：[1, 2, 3, 5, 50001]
  • 归一化结果：[0, 0.00002, 0.00004, 0.00008, 1]
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
import numpy as np
outlier_data = np.array([[1], [2], [3], [5], [50001]])
scaler = MinMaxScaler()
outlier_normalized = scaler.fit_transform(outlier_data)
print(outlier_normalized.flatten())  # 输出: [0.     0.00002 0.00004 0.00008 1.     ]

优缺点分析

特性说明
✅ 优点保证所有数值严格落在[0,1]区间
❌ 缺点对离群值敏感，会导致正常数据分布失衡

标准归一化

  • 标准归一化通常包含均值归一化和方差归一化。。经过处理的数据符合标准正态分
    布，即均值为0，标准差为1。
    X n e w = X i − 1 n ∑ i = 1 k f i x i 1 n ∑ i = 1 k f i ( x i − μ ) 2 X_{new}=\frac{X_i- \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \mu)^2} } Xnew​=n1​∑i=1k​fi​(xi​−μ)2 ​Xi​−n1​∑i=1k​fi​xi​​

X new = X i − μ σ X_{\text{new}} = \frac{X_i - \mu}{\sigma} Xnew​=σXi​−μ​

将原始数据转换为均值为0、标准差为1的标准正态分布

均值计算（μ）：
μ = 1 n ∑ i = 1 k f i x i \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i μ=n1​i=1∑k​fi​xi​

方差计算（σ²）：
σ 2 = 1 n ∑ i = 1 k f i ( x i − μ ) 2 \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \mu)^2 σ2=n1​i=1∑k​fi​(xi​−μ)2

标准差计算（σ）：
σ = σ 2 = 1 n ∑ i = 1 k f i ( x i − μ ) 2 \sigma = \sqrt{\sigma^2} =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \mu)^2} σ=σ2 ​=n1​i=1∑k​fi​(xi​−μ)2 ​

  • 除以方差的好处：标准归一化是除以的是标准差，而标准差的计算会考虑到所有样本数据，所以受到离群值的影响会小一些。但使用标准归一化不一定会把数据缩放到0到1之间。
  • 标准归一化减去均值的原因：减去均值（均值归一化）使数据分布中心移至原点（μ=0），打破特征同符号限制，为梯度下降提供更灵活的优化路径。 减去均值不仅使数据符合标准正态分布，更通过引入特征符号多样性，解决梯度下降的方向耦合问题，提升优化效率。

具体机制

  1. 问题根源：
    • 若特征均为正数（如年龄、收入），梯度公式中的 X j X_j Xj​ 始终为正，导致参数更新方向被锁定：
      Δ w j = − α ⋅ ( h w ( X ) − y ) ⋅ X j \Delta w_j = -\alpha \cdot (h_w(X)-y) \cdot X_j Δwj​=−α⋅(hw​(X)−y)⋅Xj​
  • 当所有 X j > 0 X_j > 0 Xj​>0时，梯度方向仅由残差 ( h w ( X ) − y ) (h_w(X)-y) (hw​(X)−y)决定，所有 ( w_j ) 更新方向一致（同时增或减），无法高效逼近最优解。
  1. 均值归一化的改进：
    • 通过 X new = X − μ σ X_{\text{new}} = \frac{X - \mu}{\sigma} Xnew​=σX−μ​，特征值围绕0对称分布（有正有负）。
    • 梯度方向多样化：不同样本的 X j X_j Xj​可能为正或负，使 w j w_j wj​更新方向可独立变化（如 w 1 w_1 w1​增、 w 2 w_2 w2​ 减），优化路径更接近直线（如蓝色最优路径），加速收敛。
      在这里插入图片描述

示例说明

  • 原始数据：年龄（ 25 50 25~50 25 50，全正数），收入（ 10 , 000 50 , 000 10,000~50,000 10,000 50,000，全正数）。
  • 归一化后：年龄（ − 1.2 1.5 -1.2~1.5 −1.2 1.5，有正负），收入（ − 0.8 1.3 -0.8~1.3 −0.8 1.3，有正负）。
  • 梯度更新时， X j X_j Xj​符号差异允许 w 1 w_1 w1​ 和 w 2 w_2 w2​ 反向调整，避免“之字形”路径。
pip install scikit-learn

from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 创建一个二维列表，表示原始数据
data = [[1], [2], [3], [4], [5]]# 初始化 StandardScaler 对象
# StandardScaler 是 scikit-learn 提供的一个工具，用于对数据进行标准化处理。
# 标准化是指将数据转换为均值为 0、标准差为 1 的分布，公式为：z = (x - μ) / σ
# 其中，μ 是数据的均值，σ 是数据的标准差。
scaler = StandardScaler()# 使用 fit 方法拟合数据
# fit 方法会计算数据的均值（mean_）和方差（var_），并存储在 scaler 对象中。
print(scaler.fit(data))# 打印数据的均值
# mean_ 是 scaler 对象的一个属性，表示数据的均值。
print(scaler.mean_)# 打印数据的方差
# var_ 是 scaler 对象的一个属性，表示数据的方差。
print(scaler.var_)# 使用 transform 方法对数据进行标准化
# transform 方法会根据 fit 方法计算出的均值和方差，将数据转换为标准正态分布。
print(scaler.transform(data))
# 执行结果
'''
[3.]
[2.]
[[-1.41421356][-0.70710678][ 0.        ][ 0.70710678][ 1.41421356]]
'''

强调

  • 特征工程，很多时候如果对训练集的数据进行预处理，比如这里讲的归一化，那么未来对测试集和模型上线来新的数据的时候，都要进行相同的数据预处理流程，而且所使用的均值和方差是来自当时训练集的均值和方差！因为人工智能就是从训练集数据中找规律，然后利用找到的规律去预测未来。这也就是说假设训练集和测试集以及未来新来的数据是属于同分布的！

  • 从代码上面来说如何去使用训练集的均值和方差呢？如果是上面代码的话，就需要把scaler对象持久化，模型上线再加载进来对新来的数据使用。

  • 代码案例

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import joblib# 创建一个二维列表，表示原始数据
data = [[1], [2], [3], [4], [5]]# 初始化 StandardScaler 对象
# StandardScaler 是 scikit-learn 提供的一个工具，用于对数据进行标准化处理。
# 标准化是指将数据转换为均值为 0、标准差为 1 的分布，公式为：z = (x - μ) / σ
# 其中，μ 是数据的均值，σ 是数据的标准差。
scaler = StandardScaler()# 使用 fit 方法拟合数据
# fit 方法会计算数据的均值（mean_）和方差（var_），并存储在 scaler 对象中。
print(scaler.fit(data))# 打印数据的均值
# mean_ 是 scaler 对象的一个属性，表示数据的均值。
print(scaler.mean_)# 打印数据的方差
# var_ 是 scaler 对象的一个属性，表示数据的方差。
print(scaler.var_)# 使用 transform 方法对数据进行标准化
# transform 方法会根据 fit 方法计算出的均值和方差，将数据转换为标准正态分布。
print(scaler.transform(data))# 持久化 scaler 对象
joblib.dump(scaler, 'scaler.pkl')# 创建新的测试数据
new_data = [[6], [7], [8]]# 加载 scaler 对象
loaded_scaler = joblib.load('scaler.pkl')# 使用加载的 scaler 对象对新数据进行标准化
print(loaded_scaler.transform(new_data))

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编程日记 2025/8/1 1:44:14

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&#x1f31f; ​大家好&#xff0c;我是摘星&#xff01;​ &#x1f31f; 今天为大家带来的是并发设计模式实战系列&#xff0c;第四章线程池&#xff08;Thread Pool&#xff09;​&#xff0c;废话不多说直接开始~ 目录 一、核心原理深度拆解 1. 线程池核心组件 2. 核心…...

编程日记 2025/7/29 7:20:11

大模型应用案例：主动提问式的 AI 面试官（接入 DeepSeek）

目录 核心逻辑 效果演示 技术选型 大模型应用开发框架&#xff1a;langchain-deepseek UI 展示框架—streamlit 代码获取 后续改进想法 本文附带详细的视频讲解&#xff0c;欢迎小伙伴们来支持—— 【代码宇宙017】大模型&#xff1a;主动提问式的 AI 面试官&#xff0…...

编程日记 2025/7/29 6:13:48

算法笔记—动态规划

1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; class Solution { public:int tribonacci(int n) {if(n0) return 0;if(n1||n2) return 1;vector<int> dp(4);//初始化dp[0]0; dp[1]1; dp[2]1;for(int i3;i<n1;i){//滚动数组优化需要循环dp[i%4]dp[…...

编程日记 2025/8/3 1:54:57

Vue3集成Element Plus完整指南：从安装到主题定制上

一、Element Plus简介 Element Plus是一套基于Vue 3.0的桌面端组件库&#xff0c;由饿了么前端团队开源维护。它提供了丰富的UI组件&#xff0c;能够帮助开发者快速构建企业级中后台产品。 1. 安装与卸载 bash 复制 下载 # 安装最新版本 npm install element-plus -S# 卸…...

编程日记 2025/8/1 8:53:47

初识javascript

1. JavaScript 基础语法 (1) 变量声明 JavaScript支持三种声明变量的方式&#xff1a; var&#xff1a;传统的变量声明方式&#xff0c;存在作用域问题&#xff08;函数作用域&#xff09;。 let&#xff1a;块级作用域变量声明方式&#xff0c;避免了var的作用域问题。 co…...

编程日记 2025/8/2 16:34:11

C++项目 —— 基于多设计模式下的同步异步日志系统（5）（单例模式）

C项目 —— 基于多设计模式下的同步&异步日志系统&#xff08;5&#xff09;&#xff08;单例模式&#xff09; 一个问题单例模式实现1. 单例模式&#xff1a;全局唯一实例功能&#xff1a;实现细节&#xff1a;作用&#xff1a; 2. 日志器的注册与查找功能&#xff1a;实现…...

编程日记 2025/7/29 7:20:05

rag搭建，是如何进行向量匹配检索的？

RAG 里为什么要“向量检索”？ 在 Retrieval-Augmented Generation (RAG) 中，我们的目标是让 LLM 能够“回答它本身不知道的内容”。做法是： 将知识（文本）进行向量化，存入向量数据库；用户提问后，也将问题向量化；去数据库里 找出与这个问题最相似的一批知识，返回喂给 …...

编程日记 2025/8/2 16:51:06

k8s 基础入门篇之开启 firewalld

前面在部署k8s时&#xff0c;都是直接关闭的防火墙。由于生产环境需要开启防火墙&#xff0c;只能放行一些特定的端口&#xff0c; 简单记录一下过程。 1. firewall 与 iptables 的关系 1.1 防火墙&#xff08;Firewall&#xff09; 定义&#xff1a; 防火墙是网络安全系统&…...

编程日记 2025/7/31 1:20:08

C++在VR/AR图形处理开发中的实战应用

&#x1f9d1; 博主简介&#xff1a;CSDN博客专家、CSDN平台优质创作者&#xff0c;高级开发工程师&#xff0c;数学专业&#xff0c;10年以上C/C, C#, Java等多种编程语言开发经验&#xff0c;拥有高级工程师证书&#xff1b;擅长C/C、C#等开发语言&#xff0c;熟悉Java常用开…...

编程日记 2025/7/29 6:14:17

Matlab 基于模型参考自适应法和SVPWM的异步电机控制

1、内容简介 Matlab 212-基于模型参考自适应法和SVPWM的异步电机控制 可以交流、咨询、答疑 2、内容说明 略 3、仿真分析 略 4、参考论文 略...

编程日记 2025/7/29 7:19:58

深入浅出讲解UDP检验中如何计算检验和

一、计算机中的进制&#xff1a;二进制与十六进制 1. 十进制&#xff08;Decimal&#xff09; 特点&#xff1a;用0-9表示&#xff0c;逢10进1。 例子&#xff1a;数字 123 表示 110221013100110221013100。 2. 二进制&#xff08;Binary&#xff09; 特点&#xff1a;用0和…...

编程日记 2025/8/2 22:10:39

Python类和对象一（十）

封装&#xff1a; 在创建对象之前&#xff0c;通过类将相关的属性和方法打包到一起&#xff0c;然后通过类来生成响应的对象 定义类&#xff1a; 创建对象&#xff1a; 方法里面有个参数self&#xff1a;new的对象 当我们调用类里面方法的时候&#xff0c;py是怎么知道是哪…...

编程日记 2025/7/29 7:19:54

jupyter切换存储路径

一、问题描述 当我采用官网提供的安装方式pip install jupyterlab&#xff0c;在Windows下的powershell里安装jupyterlab成功&#xff0c;并启动&#xff1a;jupyter lab 打开网页&#xff1a;http://localhost:8888/lab 显示如下&#xff1a;成功了&#xff0c;可是我发现这…...

编程日记 2025/7/28 23:28:44

PH热榜 | 2025-04-20

1. Checklist GG 标语&#xff1a;基于人工智能的清单管理工具 介绍&#xff1a;checklist.gg 是一款基于人工智能的检查清单管理工具&#xff0c;旨在帮助组织确保每次都能准确完成任务。 产品网站&#xff1a; 立即访问 Product Hunt&#xff1a; View on Product Hunt 关…...

编程日记 2025/8/2 9:35:01

YOLOv11改进——基于注意力机制和密集小目标增强型EVA模块的设计与实现

随着计算机视觉技术的快速发展&#xff0c;目标检测算法在实时性与检测精度间的平衡成为研究重点。YOLO&#xff08;You Only Look Once&#xff09;系列算法以其高效性和准确性&#xff0c;长期占据实时目标检测领域的前沿位置。然而&#xff0c;尽管最新版本在通用场景表现优…...

编程日记 2025/7/29 9:45:41

n8n 中文系列教程_04.半开放节点深度解析：Code与HTTP Request高阶用法指南

在低代码开发领域&#xff0c;n8n凭借其独特的半开放架构打破了传统自动化工具的边界。本文深度剖析两大核心节点——Code与HTTP Request&#xff0c;从底层原理到企业级实战&#xff0c;揭秘如何通过代码自由扩展与API无缝集成&#xff0c;突破平台限制。无论是对接国产生态&a…...

编程日记 2025/8/3 1:23:00

Linux学习——了解和熟悉Linux系统的远程终端登录

Linux学习——了解和熟悉Linux系统的远程终端登录 一.配置Ubuntu系统的网络和用户 1、设置虚拟机网络为桥接模式 打开VMWare&#xff0c;选择编辑虚拟机设置&#xff0c;在网络适配器设置中&#xff0c;选择“桥接模式”&#xff0c;保存设置并启动Ubuntu。 2、配置Ubuntu的…...

编程日记 2025/7/29 9:45:37