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【天外之物】叉乘（向量积）的行列式表示方法

news 来源：原创 2025/8/14 19:05:17

叉乘（向量积）的行列式表示方法如下：

步骤说明：

  1. 构造3×3矩阵：
    将三维向量叉乘转换为行列式的形式，需构造一个包含单位向量 i , j , k \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} i,j,k 和原向量分量的矩阵：
    A × B = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} A×B= ​ia1​b1​​ja2​b2​​ka3​b3​​ ​
    其中 A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3) A=(a1​,a2​,a3​) 和 B = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3) B=(b1​,b2​,b3​)。

  2. 按第一行展开行列式：
    使用行列式展开规则（拉普拉斯展开），沿第一行展开：
    A × B = i ⋅ ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ − j ⋅ ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ + k ⋅ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} A×B=i⋅ ​a2​b2​​a3​b3​​ ​−j⋅ ​a1​b1​​a3​b3​​ ​+k⋅ ​a1​b1​​a2​b2​​ ​

  3. 计算2×2子行列式：
    分别计算三个子行列式的值：

    • 第一项（对应 i \mathbf{i} i）：
      ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ = a 2 b 3 − a 3 b 2 \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = a_2 b_3 - a_3 b_2 ​a2​b2​​a3​b3​​ ​=a2​b3​−a3​b2​
    • 第二项（对应 j \mathbf{j} j，注意符号为负）：
      ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ = a 1 b 3 − a 3 b 1 ⇒ − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) = a 3 b 1 − a 1 b 3 \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} = a_1 b_3 - a_3 b_1 \quad \Rightarrow \quad - (a_1 b_3 - a_3 b_1) = a_3 b_1 - a_1 b_3 ​a1​b1​​a3​b3​​ ​=a1​b3​−a3​b1​⇒−(a1​b3​−a3​b1​)=a3​b1​−a1​b3​
    • 第三项（对应 k \mathbf{k} k）：
      ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 ​a1​b1​​a2​b2​​ ​=a1​b2​−a2​b1​

  4. 合成结果向量：
    将各分量组合成最终结果向量：
    A × B = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} + \left( a_3 b_1 - a_1 b_3 \right) \mathbf{j} + \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k} A×B=(a2​b3​−a3​b2​)i+(a3​b1​−a1​b3​)j+(a1​b2​−a2​b1​)k
    即：
    A × B = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3, \ a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) A×B=(a2​b3​−a3​b2​, a3​b1​−a1​b3​, a1​b2​−a2​b1​)

示例演示：
计算向量 A = ( 2 , 1 , − 3 ) \mathbf{A} = (2, 1, -3) A=(2,1,−3) 和 B = ( 4 , − 2 , 5 ) \mathbf{B} = (4, -2, 5) B=(4,−2,5) 的叉乘。

  1. 构造行列式：
    A × B = ∣ i j k 2 1 − 3 4 − 2 5 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix} A×B= ​i24​j1−2​k−35​ ​

  2. 展开行列式：
    = i ⋅ ∣ 1 − 3 − 2 5 ∣ − j ⋅ ∣ 2 − 3 4 5 ∣ + k ⋅ ∣ 2 1 4 − 2 ∣ = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} =i⋅ ​1−2​−35​ ​−j⋅ ​24​−35​ ​+k⋅ ​24​1−2​ ​

  3. 计算子行列式：

    • i \mathbf{i} i 项： 1 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ ( − 2 ) = 5 − 6 = − 1 1 \cdot 5 - (-3) \cdot (-2) = 5 - 6 = -1 1⋅5−(−3)⋅(−2)=5−6=−1
    • j \mathbf{j} j 项： 2 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ 4 = 10 + 12 = 22 ⇒ − 22 2 \cdot 5 - (-3) \cdot 4 = 10 + 12 = 22 \quad \Rightarrow \quad -22 2⋅5−(−3)⋅4=10+12=22⇒−22
    • k \mathbf{k} k 项： 2 ⋅ ( − 2 ) − 1 ⋅ 4 = − 4 − 4 = − 8 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 = -4 - 4 = -8 2⋅(−2)−1⋅4=−4−4=−8

  4. 合成结果：
    A × B = − 1 i − 22 j − 8 k = ( − 1 , − 22 , − 8 ) \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -1 \mathbf{i} - 22 \mathbf{j} -8 \mathbf{k} = (-1, -22, -8) A×B=−1i−22j−8k=(−1,−22,−8)

验证正确性：

  • 正交性验证：结果向量应与原两向量正交：
    • 点乘 A ⋅ ( A × B ) = 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ ( − 22 ) + ( − 3 ) ⋅ ( − 8 ) = − 2 − 22 + 24 = 0 \mathbf{A} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-22) + (-3) \cdot (-8) = -2 -22 +24 = 0 A⋅(A×B)=2⋅(−1)+1⋅(−22)+(−3)⋅(−8)=−2−22+24=0
    • 点乘 B ⋅ ( A × B ) = 4 ⋅ ( − 1 ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 22 ) + 5 ⋅ ( − 8 ) = − 4 + 44 − 40 = 0 \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-22) +5 \cdot (-8) = -4 +44 -40 = 0 B⋅(A×B)=4⋅(−1)+(−2)⋅(−22)+5⋅(−8)=−4+44−40=0
      结果满足正交性，叉乘正确。

总结：
通过行列式形式，叉乘的计算变得系统化且易于操作，无需单独记忆各分量的计算公式。此方法适用于所有三维向量，并可通过扩展至更高维度（如七维叉乘，需更复杂的结构）保持一致性。

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编程日记 2025/8/1 14:08:14

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GCD算法的学习 学习了前辈wzx15927662183的文章GCD算法精讲-CSDN博客 介绍 GCD通常用来求两个数的最大公约数 算法的核心&#xff1a;gcd(a,b) gcd(b,a % b) 证明的思路&#xff1a; 证明 gcd(a, b) gcd(b, a % b) 的思路&#xff1a; 设 a > b 1. 构造 a % b : 设 …...

编程日记 2025/8/1 14:08:12

完美解决浏览器不能复制的问题(比如赛氪网的中题库练习题)

仅供复制题库题目进行打印学习使用&#xff01; 最近想把赛氪网题库中的题目打印出来做练习&#xff0c;发现题库中的题目不能复制&#xff0c;不能在试卷上勾画标记太难受了&#xff0c;而且不能留作材料以后复习&#xff0c;故出此策。 而且CtrlP打印出的pdf会缺少题目。(我…...

编程日记 2025/8/8 17:16:12

Java 爬虫按关键字搜索淘宝商品：实现与优化

在电商领域&#xff0c;获取淘宝商品信息对于市场分析、价格监控和竞争情报等方面具有重要意义。Java 爬虫技术为我们提供了一种高效、自动化的方式来按关键字搜索淘宝商品。本文将详细介绍如何使用 Java 爬虫按关键字搜索淘宝商品&#xff0c;并提供完整的代码示例。 一、准备…...

编程日记 2025/8/1 14:08:08

build.gradle task copyJarToDesktop

build.gradle task copyJarToDesktop 构建完&#xff0c;拷贝jar包到指定文件夹AAA&#xff0c;例如&#xff1a;桌面&#xff0c;方便拉到宝塔发布 build.gradle plugins {id org.springframework.boot }jar {enabled false // 不生成 plain.jar }bootJar {archiveFileNa…...

编程日记 2025/8/11 12:50:42

Git合并分支的两种常用方式`git merge`和`git cherry-pick`

Git合并分支的两种常用方式git merge和git cherry-pick 写在前面1. git merge用途工作方式使用git命令方式合并使用idea工具方式合并 2. git cherry-pick用途工作方式使用git命令方式合并使用idea工具方式合并 3. 区别总结 写在前面 一般我们使用git合并分支常用的就是git mer…...

编程日记 2025/8/10 6:35:16

基于n8n的AI应用工作流原理与技术解析

基于n8n的AI应用工作流原理与技术解析 在AI技术深度融入企业数字化转型的今天&#xff0c;开源工作流自动化工具n8n凭借其灵活的架构和强大的集成能力&#xff0c;成为构建智能自动化流程的核心引擎。本文将从技术原理、AI融合机制、典型应用场景三个维度&#xff0c;解析n8n在…...

编程日记 2025/8/4 21:52:20