当前位置：首页 > news >正文

概率多假设跟踪（PMHT）：多目标跟踪中的概率软关联与高效跟踪算法解析

news 来源：原创 2025/8/15 12:31:28

一、PMHT 的起源与核心定位

（一）背景

在多目标跟踪中，传统算法面临以下瓶颈：

JPDA：单帧局部最优关联，无法处理跨帧长时间断联，且假设目标数固定（如雷达跟踪中预设目标数范围）。
MHT：通过多帧假设集实现全局最优，但假设数随时间呈指数增长（如K帧后假设数达 $NM)^K$ ），计算复杂度极高。 PMHT于 1997 年由 Singer 和 Kashyap 提出，基于期望最大化（EM）算法，通过概率分配隐式管理多帧关联，避免显式假设生成，在精度与效率间取得平衡，适用于目标数变化、中等杂波场景（如空中交通、智能监控）。

（二）核心定位

PMHT 是一种基于概率软关联的多帧迭代跟踪算法，核心是通过 EM 框架联合优化：

关联概率：观测与目标的归属概率（软决策，非硬分配）；
目标状态：通过加权最小二乘估计，融合多帧观测信息。

核心优势：跨帧关联鲁棒性优于 JPDA，计算复杂度低于 MHT（线性增长而非指数），支持目标数动态变化。

二、PMHT 理论基础：概率模型与 EM 框架

1. 基础假设与符号定义

（1）系统模型

时间序列： $k=1,2,\dots,K$ （共K帧）。
目标状态：第i个目标在帧k的状态为 $x_k^{(i)} \in \mathbb{R}^d$ ，服从状态转移模型： $x_k^{(i)} = F_k x_{k-1}^{(i)} + w_k^{(i)}, \quad w_k^{(i)} \sim \mathcal{N}(0, Q_k)$ 其中 $F_k$ 为状态转移矩阵， $Q_k$ 为过程噪声协方差。
观测模型：帧k的观测 $z_k^{(m)} \in \mathbb{R}^r$ ，若来自目标i，则： $z_k^{(m)} = H_k x_k^{(i)} + v_k^{(m)}, \quad v_k^{(m)} \sim \mathcal{N}(0, R_k)$ 其中 $H_k$ 为观测矩阵， $R_k$ 为观测噪声协方差；若为杂波，则均匀分布于观测空间 $\mathcal{Z}$ ，密度为 $\lambda = \frac{C}{\text{Vol}(\mathcal{Z})}$ （C为杂波数期望， $\text{Vol}(\mathcal{Z})$ 为观测空间体积）。

（2）关联变量

定义软关联概率 $\gamma_{k,m,i}$ ：观测 $z_k^{(m)}$ 来自目标i的概率（ $\leq \gamma_{k,m,i} \leq 1$ ），满足：

$\sum_{i=0}^{N_k} \gamma_{k,m,i} = 1, \quad \gamma_{k,m,0} = \text{杂波关联概率}$

其中 $N_k$ 为帧k的目标数， $\gamma_{k,m,0} = 1 - \sum_i \gamma_{k,m,i}$ 表示观测属于杂波的概率。

2. 与对比算法的核心区别

特性	JPDA	MHT	PMHT
关联方式	单帧硬分配（概率最大）	多帧显式假设树	多帧软关联（概率迭代）
目标状态更新	单帧滤波（如卡尔曼）	假设集贝叶斯更新	多帧加权最小二乘
目标数适应性	固定范围	灵活但高计算量	动态（需初始化）
数据利用效率	单帧局部最优	全局最优	多帧次优但高效

三、PMHT 算法详解：基于 EM 的迭代优化

PMHT 通过 E 步（计算关联概率）和M 步（更新目标状态） 交替迭代，收敛至最大似然解（MLE）。假设初始目标数为 $N_0$ ，初始状态 ${x_1^{(i)}\}$ 由检测或先验知识给出。

1. 期望步骤（E-Step）：关联概率计算

对每帧k、观测m、目标i（ $\geq 1$ ， $i = 0$ 代表杂波），计算：

$\gamma_{k,m,i} = \frac{p_d \cdot p(z_k^{(m)}|x_k^{(i)}) \cdot p(x_k^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\lambda V + \sum_{j=1}^{N} p_d \cdot p(z_k^{(m)}|x_k^{(j)}) \cdot p(x_k^{(j)}|x_{k-1}^{(j)})}$

关键项展开：

检测概率： $p_d$ （目标被检测到的概率，未检测时不生成观测）；
观测似然： $p(z_k^{(m)}|x_k^{(i)}) = \mathcal{N}(z_k^{(m)}; H_k x_k^{(i)}, R_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^r |R_k|}} \exp\left(-\frac{1}{2}(z_k^{(m)} - H_k x_k^{(i)})^\top R_k^{-1} (z_k^{(m)} - H_k x_k^{(i)})\right)$
状态转移先验： $p(x_k^{(i)}|x_{k-1}^{(i)}) = \mathcal{N}(x_k^{(i)}; F_k x_{k-1}^{(i)}, Q_k)$
杂波项： $\lambda V$ 为帧内杂波数期望（ $\text{Vol}(\mathcal{Z})$ ），确保分母为全概率归一化因子。

2. 最大化步骤（M-Step）：目标状态更新

对每个目标i，利用加权最小二乘估计更新状态 $x_k^{(i)}$ ，权重为关联概率 $\gamma_{k,m,i}$ ：

$\hat{x}_k^{(i)} = \arg\min_{x_k^{(i)}} \sum_{k=1}^K \sum_{m=1}^{M_k} \gamma_{k,m,i} \cdot \left\| z_k^{(m)} - H_k x_k^{(i)} \right\|_{R_k^{-1}}^2$

其中 $\|a\|_P^2 = a^\top P a$ 为马氏距离平方。对于线性高斯系统，最优解为：

$\hat{x}_k^{(i)} = \left( \sum_{k=1}^K H_k^\top R_k^{-1} \sum_{m=1}^{M_k} \gamma_{k,m,i} \right)^{-1} \sum_{k=1}^K H_k^\top R_k^{-1} \sum_{m=1}^{M_k} \gamma_{k,m,i} z_k^{(m)}$

递推形式（结合状态转移）：引入先验估计 $\bar{x}_k^{(i)} = F_k \hat{x}_{k-1}^{(i)}$ ，协方差 $\bar{P}_k^{(i)} = F_k \hat{P}_{k-1}^{(i)} F_k^\top + Q_k$ ，则更新后状态：

$\hat{x}_k^{(i)} = \bar{x}_k^{(i)} + K_k^{(i)} \left( z_k^{(m)} - H_k \bar{x}_k^{(i)} \right)$

其中卡尔曼增益 $K_k^{(i)} = \bar{P}_k^{(i)} H_k^\top (H_k \bar{P}_k^{(i)} H_k^\top + R_k)^{-1}$ ，权重由 $\gamma_{k,m,i}$ 调制。

3. 目标存在性判决

通过关联概率之和估计目标存在概率：

$P_{\text{exist}}^{(i)} = \sum_{k=1}^K \sum_{m=1}^{M_k} \gamma_{k,m,i}$

若 $P_{\text{exist}}^{(i)} < \tau$ （阈值，如 0.5），则剔除该目标；新增目标由检测初始化（如未关联到现有目标的高似然观测）。

4. EM 迭代流程

初始化：设定N个目标初始状态 ${x_1^{(i)}\}$ 、参数 $\{F_k, H_k, Q_k, R_k, p_d, \lambda\}$ ；
E-Step：对所有 $k, m, i$ 计算 $\gamma_{k,m,i}$ ；
M-Step：更新所有目标状态 $\{\hat{x}_k^{(i)}\}$ ；
收敛判断：若 $\max_i \|\hat{x}_k^{(i)} - \hat{x}_k^{(i,\text{old})}\| < \epsilon$ ，终止；否则返回步骤 2。

四、关键变形：线性高斯 PMHT（LG-PMHT）

当系统为线性高斯时，PMHT 可简化为卡尔曼滤波框架下的加权更新，显著提升计算效率。

1. 状态转移与观测模型

状态转移： $x_k = F x_{k-1} + w_k, \ w_k \sim \mathcal{N}(0, Q)$
观测模型： $z_k = H x_k + v_k, \ v_k \sim \mathcal{N}(0, R)$

2. 关联概率简化

$\gamma_{k,m,i} = \frac{p_d \cdot \mathcal{N}(z_k^{(m)}; H \bar{x}_k^{(i)}, S_k^{(i)})}{\lambda V + \sum_j p_d \cdot \mathcal{N}(z_k^{(m)}; H \bar{x}_k^{(j)}, S_k^{(j)})}$

其中 $S_k^{(i)} = H \bar{P}_k^{(i)} H^\top + R$ 为创新协方差。

3. 状态协方差更新

后验协方差为：

$\hat{P}_k^{(i)} = \left( \sum_{m=1}^{M_k} \gamma_{k,m,i} R^{-1} \right)^{-1} + \bar{P}_k^{(i)} - \bar{P}_k^{(i)} H^\top (S_k^{(i)})^{-1} H \bar{P}_k^{(i)}$

反映观测对状态估计不确定性的修正。

有关PMHT的matlab代码见https://m.tb.cn/h.6Rx9Zmm?tk=FsQ4V1J4GTC

五、典型应用场景与实现细节

1. 空中交通管制（ATC）

挑战：多航空器匀速 / 机动混合（需切换 $F_k$ 矩阵）、雷达杂波（ $\lambda$ 动态估计）。
实现
1. 初始化：通过首次检测的航迹点聚类生成初始目标；
2. 迭代优化：每 5 帧运行一次 EM（平衡实时性， $I = 5$ 次迭代）；
3. 目标删除：连续 3 帧 $P_{\text{exist}}^{(i)} < 0.3$ 则剔除。

2. 自动驾驶：多车辆跟踪

观测模型：融合视觉检测框（中心坐标 $(u, v)$ ）和雷达测距（r），构建混合观测： $\begin{bmatrix} u \\ v \\ r \end{bmatrix}, \ H = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \end{bmatrix}$ （ $\theta$ 为雷达方位角，状态 $\dot{x}, \dot{y}]^\top$ ）。
优化：使用 GPU 并行计算所有目标的 $\gamma_{k,m,i}$ ，加速 E-Step（单帧处理时间 < 10ms）。

六、技术演进与前沿挑战

1. 理论扩展

（1）非线性 PMHT

结合无迹变换（UT）**或**粒子滤波处理非线性状态转移 / 观测模型，如： $p(z_k|x_k^{(i)}) = \int p(z_k|y) p(y|x_k^{(i)}) dy \quad (\text{非高斯观测})$
代价：计算复杂度提升

（2）贝叶斯 PMHT（BPMHT）

引入目标数的先验分布（如泊松分布），通过边缘化目标数实现贝叶斯推理：

$p(N|Z_{1:K}) = \frac{p(Z_{1:K}|N) p(N)}{p(Z_{1:K})}$

支持完全未知目标数场景。

2. 工程化挑战

（1）初始化敏感性

问题：初始目标数和状态误差会导致关联概率发散（如误将杂波初始化为目标）。
解决方案：结合检测置信度筛选初始观测（如仅使用置信度 > 0.9 的检测框），或通过密度聚类（如 DBSCAN）生成初始目标。

（2）计算复杂度优化

稀疏化：仅保留 $\gamma_{k,m,i} > \epsilon$ （如 0.1）的关联对，减少无效计算；
近似 EM：固定迭代次数（如 $I = 3$ ），用启发式方法提前终止（如关联概率变化 < 1%）。

七、总结

PMHT 通过EM 框架下的概率软关联，在多目标跟踪中实现了三大突破：

跨帧鲁棒性：利用多帧观测迭代优化，比 JPDA 更抗遮挡和漏检；
效率优势：隐式处理关联假设，复杂度随目标数线性增长，适合实时系统；
模型兼容性：支持线性 / 非线性系统，易与卡尔曼滤波、粒子滤波结合。

其核心公式 —— 关联概率 $\gamma_{k,m,i}$ 和状态更新 $\hat{x}_k^{(i)}$ —— 构成了从观测到目标状态的概率映射桥梁。未来研究需聚焦动态目标数自适应、低计算成本的非线性建模及与深度学习的深度融合（如用神经网络近似 EM 迭代），推动 PMHT 在复杂场景下的规模化应用。