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考研数据结构之二叉树（一）（包含真题及解析）

news 来源：原创 2025/8/29 4:22:08

考研数据结构之二叉树（一）

下期预告：后续文章将深入探讨二叉树的遍历算法与高频考点（如平衡二叉树、线索二叉树）。

二叉树是数据结构中的核心内容之一，也是考研高频考点。本文将从定义和存储结构两方面展开，结合具体示例帮助读者建立系统的知识框架。

一、二叉树的定义

二叉树（Binary Tree） 是每个节点最多有两个子树的树形结构，子树分为左子树和右子树，其顺序不可颠倒。具体特点包括：

  1. 递归性：二叉树由一个根节点和两棵互不相交的左、右子树构成，子树本身也是二叉树。
  2. 节点限制：每个节点的度（子节点数量）不超过2，且子树有明确的左右之分。
  3. 特殊形态：二叉树可以是空树（节点数为0），或仅含根节点的单节点树。

示例：

      A/ \B   C/ \D   E

该二叉树中，A为根节点，B为左子树根，C为右子树根，D和E是B的左右子节点。

二、二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为顺序存储和链式存储两种，二者在实现方式和适用场景上有显著差异。

1. 顺序存储结构

使用一维数组按层序遍历顺序存储节点，通过数组下标隐式表达节点间的逻辑关系。

  • 存储规则：
    • 根节点位于数组下标 0（或 1，视具体实现而定）。
    • 若某节点位于下标 i，其左子节点位于 2i+1（或 2i），右子节点位于 2i+2（或 2i+1）。
  • 适用场景：
    适合完全二叉树（如堆结构），此时空间利用率高；但对非完全二叉树可能导致大量空间浪费。

示例：

数组存储完全二叉树：
层序遍历顺序：A, B, C, D, E
数组索引：[A, B, C, D, E]

2. 链式存储结构

通过链表动态分配节点空间，每个节点包含数据域和两个指针域（左、右子节点指针）。

  • 节点定义（C语言示例）：
    typedef struct BiTNode {int data;struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
  • 适用场景：
    适合任意形态的二叉树，空间灵活性高，但需额外存储指针域。

示例：

链式存储结构：
A节点的lchild指向B，rchild指向C；
B节点的lchild指向D，rchild指向E。

三、存储结构对比

特性顺序存储链式存储
空间效率非完全二叉树浪费空间灵活，无空间浪费
实现复杂度简单，直接通过数组操作需要管理指针，复杂度较高
适用场景完全二叉树、堆结构一般二叉树、动态变化的树结构

考研数据结构之二叉树（一）：定义、存储结构与真题解析

四、真题解析

1. 选择题考点（完全二叉树节点数计算）

题目（改编自）：

高度为h的完全二叉树最多和最少分别包含多少个节点？

解析：

  • 最多节点数：当完全二叉树为满二叉树时，节点数为 2^h - 1。
  • 最少节点数：当最后一层仅有一个节点时，节点数为 2^(h-1)。
    答案：最多 2^h - 1，最少 2^(h-1)。

2. 综合应用题（二叉树的数组存储与遍历）

题目（2022年真题，）：

已知二叉树的数组存储结构如下（下标从1开始）：
A B C D E # #
请写出其中序遍历序列。

解析：

  • 数组存储规则：下标 i 的左子节点为 2i，右子节点为 2i+1。
  • 还原二叉树：
        A/ \B   C/ \
D   E
  • 中序遍历：左子树 → 根 → 右子树，结果为 D B E A C。
    答案：D B E A C。

3. 算法设计题（二叉树的繁茂度）

题目（严蔚敏题集，）：

定义二叉树的繁茂度为各层节点数的最大值与树的高度的乘积。设计算法计算二叉树的繁茂度。

解析：

  • 关键步骤：
    1. 层次遍历统计每层节点数，记录最大值 maxWidth。
    2. 计算树的高度 height。
    3. 繁茂度 = maxWidth * height。
  • 代码框架（C语言）：
    int茂度(BiTree T) {if (!T) return 0;Queue Q;InitQueue(Q);EnQueue(Q, T);int maxWidth = 0, height = 0;while (!IsEmpty(Q)) {int levelSize = Q.size;maxWidth = max(maxWidth, levelSize);height++;for (int i = 0; i < levelSize; i++) {BiTree node = DeQueue(Q);if (node->lchild) EnQueue(Q, node->lchild);if (node->rchild) EnQueue(Q, node->rchild);}}return maxWidth * height;
}

4. 还原二叉树（遍历序列应用）

题目（经典真题，）：

已知二叉树的前序序列为 ABDCE，中序序列为 DBAEC，画出该二叉树并写出后序序列。

解析：

  1. 前序：A为根节点，左子树前序为 BD，右子树前序为 CE。
  2. 中序：A左侧为左子树 DB，右侧为右子树 EC。
  3. 递归构建：
        A/ \B   C/   /
D   E
  4. 后序序列：D B E C A。

五、总结

通过真题解析可见：

  1. 定义类题目需熟悉完全二叉树、满二叉树的性质（如节点数计算）。
  2. 存储结构常结合遍历算法（如中序遍历）或数组/链表操作。
  3. 综合题需灵活运用遍历序列还原二叉树。

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