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机器学习（2）——逻辑回归

news 来源：原创 2025/9/11 8:01:40

文章目录

  • 1. 什么是逻辑回归?
  • 2. 核心思想
  • 3. 逻辑回归模型的训练：
  • 4. 参数估计（损失函数与优化）
    • 4.1. **损失函数：**
    • 4.2. 极大似然估计（MLE）
    • 4.3. 优化方法
  • 5. 决策边界
  • 6. 模型评估指标
  • 7 . 假设与适用条件
  • 8. 逻辑回归的优缺点：
  • 9. 逻辑回归的常用应用：
  • 10. 示例代码

1. 什么是逻辑回归?

逻辑回归（Logistic Regression） 是一种用于分类问题的统计方法，特别是用于二分类问题。尽管其名字中有“回归”二字，但逻辑回归实际上是一种分类模型。它通过一个线性模型来预测一个事件的发生概率，输出值在0到1之间。

2. 核心思想

逻辑回归的核心是通过一个线性模型来预测某个类别的概率。为了确保输出的结果在0到1之间，通过Sigmoid函数将线性回归的输出映射到概率空间（0到1之间），从而实现对类别的概率预测。

Sigmoid函数（Logistic函数）公式：
σ ( z ) = 1 1 + e − z σ(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} σ(z)=1+e−z1​

  • 输入 z z z（线性组合）： z = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β p x p z=β_0+β_1x_1+β_2x_2+···+β_px_p z=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋅⋅⋅+βp​xp​
  • 输出 σ ( z ) σ(z) σ(z)：表示 P ( y = 1 ∣ x ) P(y=1|x) P(y=1∣x)，即样本属于类别1的概率。

概率输出：
P ( y = 1 ∣ x ) = σ ( z ) , P ( y = 0 ∣ x ) = 1 − σ ( z ) P(y = 1 | x) = \sigma(z), \quad P(y = 0 | x) = 1 - \sigma(z) P(y=1∣x)=σ(z),P(y=0∣x)=1−σ(z)

3. 逻辑回归模型的训练：

逻辑回归的目标是通过训练数据找到最佳的权重和偏置，使得模型输出的概率能够尽可能准确地预测样本的类别。

训练逻辑回归模型通常使用 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE） 来估计参数。对于每个训练样本，模型会计算它属于某个类别的概率，然后通过这些概率来调整参数，使得预测结果与真实标签尽可能匹配。

4. 参数估计（损失函数与优化）

4.1. 损失函数：

逻辑回归的损失函数通常使用交叉熵损失函数（cross-entropy loss），也叫做对数损失函数，用来衡量预测概率与实际类别之间的差距。

对于二分类问题，交叉熵损失函数的公式为：
L ( y , y ^ ) = − [ y log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − y ^ ) ] L(y,\hat y)=-[y\log(\hat y)+(1-y)\log(1-\hat y)] L(y,y^​)=−[ylog(y^​)+(1−y)log(1−y^​)]

其中， y y y是真实标签（0或1）， y ^ \hat y y^​是模型预测的概率。

4.2. 极大似然估计（MLE）

  • 目标：最大化观测数据的似然函数（即找到使当前数据最可能出现的参数）。

  • 损失函数（对数损失/交叉熵损失）：
    J ( β ) = − 1 n ∑ i = 1 n [ y i log ⁡ ( σ ( z i ) ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − σ ( z i ) ) ] J(\beta) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i \log(\sigma(z_i)) + (1 - y_i) \log(1 - \sigma(z_i)) \right] J(β)=−n1​i=1∑n​[yi​log(σ(zi​))+(1−yi​)log(1−σ(zi​))]

    • y i y_i yi​ ：真实标签（0或1）。
    • σ ( z i ) σ(z_i) σ(zi​)：模型预测的概率。

4.3. 优化方法

  • 梯度下降：通过迭代更新参数 β β β 最小化损失函数：
    β j : = β j − α ∂ J ( β ) ∂ β j \beta_j := \beta_j - \alpha \frac{\partial J(\beta)}{\partial \beta_j} βj​:=βj​−α∂βj​∂J(β)​

    • α：学习率。

    • 偏导数（梯度）：
      ∂ J ( β ) ∂ β j = 1 n ∑ i = 1 n ( σ ( z i ) − y i ) x i j \frac{\partial J(\beta)}{\partial \beta_j} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \sigma(z_i) - y_i \right) x_{ij} ∂βj​∂J(β)​=n1​i=1∑n​(σ(zi​)−yi​)xij​

5. 决策边界

  • 阈值：通常设为0.5（可调整）。
    • 若 σ ( z ) ≥ 0.5 σ(z)≥0.5 σ(z)≥0.5，预测 y=1；
    • 若 σ ( z ) < 0.5 σ(z)<0.5 σ(z)<0.5，预测 y=0。
  • 边界形状：线性决策边界（在特征空间中是超平面）。

6. 模型评估指标

  • 准确率（Accuracy）：正确分类的比例。
  • 精确率（Precision）：预测为正类中实际为正类的比例。
  • 召回率（Recall）：实际为正类中被正确预测的比例。
  • F1分数：精确率和召回率的调和平均。
  • ROC-AUC：模型区分正负类的能力（AUC越接近1越好）。

7 . 假设与适用条件

  • 二元输出：目标变量是二分类的。
  • 线性关系：自变量与Logit（对数几率）呈线性关系。
  • 独立性：样本间相互独立。
  • 无多重共线性：自变量之间相关性不宜过高。

8. 逻辑回归的优缺点：

  • 优点：
    • 简单易懂，易于实现。
    • 计算效率高，适合处理大规模数据。
    • 可以输出概率，具有一定的解释性。
    • 可通过正则化（L1/L2）防止过拟合。
  • 缺点：
    • 只能用于线性可分的数据，无法处理复杂的非线性关系。
    • 对异常值比较敏感。
    • 在特征之间存在高度相关性的情况下表现较差（多重共线性问题）。

9. 逻辑回归的常用应用：

  • 二分类问题：
    • 垃圾邮件分类（垃圾邮件或正常邮件）
    • 疾病预测（有病或无病）
    • 信贷风险评估（违约或不违约）等。
  • 多分类问题：通过扩展为多项式逻辑回归（Multinomial Logistic Regression）或一对多（One-vs-Rest）方法，也可以处理多分类问题。

10. 示例代码

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score# 示例数据
X = [[1.2], [2.4], [3.1], [4.8]]  # 特征
y = [0, 0, 1, 1]                   # 标签# 训练模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y)# 预测概率
prob = model.predict_proba([[3.0]])  # 输出[[P(y=0), P(y=1)]]
print("Probability:", prob)# 预测类别
pred = model.predict([[3.0]])
print("Predicted class:", pred)

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编程日记 2025/9/10 1:25:53

C#MQTT协议服务器与客户端通讯实现（客户端包含断开重连模块）

C#MQTT协议服务器与客户端通讯实现 1 DLL版本2 服务器3 客户端 1 DLL版本 MQTTnet.DLL版本-2.7.5.0 基于比较老的项目中应用的DLL&#xff0c;其他更高版本变化可能较大&#xff0c;谨慎参考。 2 服务器 开启服务器 关闭服务器 绑定事件【客户端连接服务器事件】 绑定事件【客户…...

编程日记 2025/9/5 11:30:40

GGML源码逐行调试（上）

目录 前言1. 简述2. 环境配置3. ggml核心概念3.1 gguf3.2 ggml_tensor3.3 ggml_backend_buffer3.4 ggml_context3.5 backend3.6 ggml_cgraph3.7 ggml_gallocr 4. 推理流程整体梳理4.1 时间初始化与参数设置4.2 模型加载与词汇表构建4.3 计算图与内存分配4.4 文本预处理与推理过…...

编程日记 2025/9/11 0:13:29

智能测试用例生成：老旧平台页面查询功能的大模型改造

引言 由于GUI小工具【Deepseek APIPython 测试用例一键生成与导出】的不断升级实践&#xff0c;发现大模型的需求文档解析生成测试用例的可直接复用率不太理想&#xff0c;因此萌生了对老旧系统升级改造的想法。旧测试用例生成平台主要在于采集用户输入的字段名称、字段类型及…...

编程日记 2025/9/9 4:09:01

使用Python解决Logistic方程

引言 在数学和计算机科学中，Logistic 方程是描述人口增长、传播过程等现象的一种常见模型。它通常用于表示一种有限资源下的增长过程，比如动物种群、疾病传播等。本文将带领大家通过 Python 实现 Logistic 方程的求解，帮助你更好地理解这一经典数学模型。 1.什么是 Logist…...

编程日记 2025/9/8 13:32:35