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NO.91十六届蓝桥杯备战|图论基础-图的存储和遍历|邻接矩阵|vector|链式前向星(C++)

news 来源：原创 2025/9/13 23:30:50

图的基本概念

图的定义

图G是由顶点集V和边集E组成，记为G = (V, E)，其中V(G)表⽰图G中顶点的有限⾮空集；E(G)表⽰图G中顶点之间的关系（边）集合。若 $\left\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \right\}$ ，则⽤ $∣ V ∣$ 表
⽰图G中顶点的个数，也称图G的阶， $\in V, v \in V}$ ，⽤ $∣ E ∣$ 表⽰图G中边的条数。
图是较线性表和树更为复杂的数据结构。

线性表中，除第⼀个和最后⼀个元素外，每个元素只有⼀个唯⼀的前驱和唯⼀的后继结点，元素和元素之间是⼀对⼀的关系；
在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，每个元素有唯⼀的双亲，但可能有多个孩⼦，元素和元素之间是⼀对多的关系；
⽽图形结构中，元素和元素之间的关系更加复杂，结点和结点之间的关系是任意的，任意两个结点之间都可能相关，图中元素和元素之间是多对多的关系

有向图和⽆向图

图根据边的类型，可以分为⽆向图和有向图
![[Pasted image 20250411211513.png]]

在图相关的算法中，我们可以将⽆向图中的边看成两条⽅向相反的有向边，从⽽将⽆向图转化为有向图
![[Pasted image 20250411211622.png]]

简单图与多重图

⾃环：⾃⼰指向⾃⼰的⼀条边
![[Pasted image 20250411211640.png]]

重边：图中存在两个或两个以上完全相同的边
![[Pasted image 20250411211811.png]]

简单图：若图中没有重边和⾃环，为简单图。
多重图：若图中存在重边或⾃环，为多重图。
![[Pasted image 20250411211832.png]]

稠密图和稀疏图

有很少条边(如e < nlog2 n )的图称为稀疏图，反之称为稠密图
![[Pasted image 20250411211857.png]]

顶点的度

顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。由该顶点发出的边称为顶点的出度，到达该顶点的边称为顶点的⼊度。

⽆向图中，顶点的度等于该顶点的⼊度(indev)和出度(outdev)，即deg(v)=indeg(v)=outdeg(v)。
有向图中，顶点的度等于该顶点的⼊度与出度之和，其中顶点v的⼊度indeg(v)是以v为终点的有向边的条数，顶点v的出度outdeg(v)是以v为起始点的有向边的条数，deg(v)=indeg(v)+outdeg(v)

路径

在图G=(V，E)中，若从顶点 $v_{i}$ 出发，沿⼀些边经过某些顶点 $v_{p1},v_{p2},\dots,v_{pm}$ ，到达顶点 $v_{j}$ 。则称顶点序列 $(v_{i},v_{p1},v_{p2},\dots,v_{pm},v_{j})$ 为从顶点 $v_{i}$ 到顶点 $v_{j}$ 的路径。
注意：两个顶点间的路径可能不唯⼀
![[Pasted image 20250411212248.png]]

简单路径与回路

若路径上各顶点 $v_{1},v_{2},\dots,v_{m}$ 均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第⼀个顶点 $v_{1}$ 和最后⼀个顶点 $v_{m}$ 相同，则称这样的路径为回路或环
![[Pasted image 20250411212403.png]]

路径⻓度和带权路径⻓度

某些图的边具有与它相关的数值，称其为该边的权值。这些权值可以表⽰两个顶点间的距离、花费的代价、所需的时间等。⼀般将该种带权图称为⽹络
![[Pasted image 20250411212509.png]]

对于不带权的图，⼀条路径的路径⻓度是指该路径上的边的条数。
对于带权的图，⼀条路径的路径⻓度是指该路径上各个边权值的总和。
![[Pasted image 20250411212521.png]]

⼦图

设图 $\left\{ V, E\right\}$ 和图 $\left\{ V',E' \right\}$ ，若 $V'\in V$ 且 $E'\in E$ ，则称 $G^{'}$ 是 $G$ 的⼦图。若有 $V (G^{'}) = V (G)$ 的⼦图 $G^{'}$ ，则称 $G^{'}$ 为 $G$ 的⽣成⼦图。
相当于就是在原来图的基础上，拿出来⼀些顶点和边，组成⼀个新的图。但是要注意，拿出来的点和边要能构成⼀个图才⾏
![[Pasted image 20250411212748.png]]

G1_1和G1_2为⽆向图G1的⼦图，G1_1为G1的⽣成⼦图。
G2_1和G2_2为有向图G2的⼦图，G2_1为G2的⽣成⼦图。

连通图与连通分量

在⽆向图中，若从顶点 $v_{1}$ 到顶点 $v_{2}$ 有路径，则称顶点 $v_{1}$ 与顶点 $v_{2}$ 是连通的。如果图G中任意⼀对顶点都是连通的，则图G称为连通图，否则称为⾮连通图。

假设⼀个图有n个顶点，如果边数⼩于n-1，那么此图⼀定是⾮连通图。
极⼤联通⼦图：⽆向图中，拿出⼀个⼦图，这个⼦图包含尽可能多的点和边。
连通分量：⽆向图中的极⼤连通⼦图称为连通分量

⽣成树

连通图的⽣成树是包含图中全部顶点的⼀个极⼩连通⼦图。若图中顶点数为n，则它的⽣成树含有n-1条边。对⽣成树⽽⾔，若砍去⼀条边，则会变成⾮连通图，若加上⼀条边则会形成⼀个回路
![[Pasted image 20250411213241.png]]

图的存储和遍历

图的存储有两种：邻接矩阵和邻接表：

其中，邻接表的存储⽅式与树的孩⼦表⽰法完全⼀样。因此，⽤vector数组以及链式前向星就能实现。
⽽邻接矩阵就是⽤⼀个⼆维数组，其中edges[i][j]存储顶点 i 与顶点 j 之间，边的信息。
图的遍历分两种：DFS和BFS，和树的遍历⽅式以及实现⽅式完全⼀样。因此，可以仿照树这个数据结构来学习

邻接矩阵

邻接矩阵，指⽤⼀个矩阵(即⼆维数组)存储图中边的信息(即各个顶点之间的邻接关系)，存储顶点之间邻接关系的矩阵称为邻接矩阵。
对于带权图⽽⾔，若顶点 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 之间有边相连，则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值，若顶点 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 不相连，则⽤ $\infty$ 来代表这两个顶点之间不存在边。
对于不带权的图，可以创建⼀个⼆维的bool类型的数组，来标记顶点vi 和vj 之间有边相连
![[Pasted image 20250411214010.png]]

矩阵中元素个数为nxn，即空间复杂度为O(n^2) ，n为顶点个数，和实际边的条数⽆关，适合存储稠密图

#include <iostream>  
#include <cstring>  
using namespace std;  
const int N = 1010;  
int n, m;  
int edges[N][N];  
int main()  
{  memset(edges, -1, sizeof edges);  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a - b 有⼀条边，权值为 c  edges[a][b] = c;  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b][a] = c;  }return 0;  
}

vector数组

和树的存储⼀模⼀样，只不过如果存在边权的话，我们的vector数组⾥⾯放⼀个结构体或者是pair即可。

#include <iostream>  
#include <vector>  using namespace std;  
typedef pair<int, int> PII;  
const int N = 1e5 + 10;  
int n, m;  
vector<PII> edges[N];  int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  edges[a].push_back({b, c});  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b].push_back({a, c});  }  return 0;  
}

链式前向星

和树的存储⼀模⼀样，只不过如果存在边权的话，我们多创建⼀维数组，⽤来存储边的权值即可

#include <iostream>  
using namespace std;  
const int N = 1e5 + 10;  
// 链式前向星  
int h[N], e[N * 2], ne[N * 2], w[N * 2], id;  
int n, m;  
// 其实就是把 b 头插到 a 所在的链表后⾯  
void add(int a, int b, int c)  
{  id++;  e[id] = b;  w[id] = c; // 多存⼀个权值信息  ne[id] = h[a];  h[a] = id;  
}  
int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  add(a, b, c); add(b, a, c);  }  return 0;  
}

DFS

和树的遍历⽅式⼀模⼀样，⼀条路⾛到⿊

⽤邻接矩阵的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <cstring>  
#include <queue>  
using namespace std;  
const int N = 1010;  
int n, m;  
int edges[N][N];  
bool st[N]; // 标记哪些点已经访问过  
void dfs(int u)  
{  cout << u << endl;  st[u] = true;  // 遍历所有孩⼦  for(int v = 1; v <= n; v++)  {  // 如果存在 u->v 的边，并且没有遍历过  if(edges[u][v] != -1 && !st[v])  {  dfs(v);  }  }  
}  int main()  
{  memset(edges, -1, sizeof edges);  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a - b 有⼀条边，权值为 c  edges[a][b] = c;  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b][a] = c;  }return 0;  
}

⽤vector数组的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <queue>  
using namespace std;  
typedef pair<int, int> PII;  
const int N = 1e5 + 10;  
int n, m;  
vector<PII> edges[N];  
bool st[N]; // 标记哪些点已经访问过  
void dfs(int u)  
{  cout << u << endl;  st[u] = true;  // 遍历所有孩⼦  for(auto& t : edges[u])  {  // u->v 的⼀条边，权值为 w  int v = t.first, w = t.second;  if(!st[v])  {  dfs(v);  }  }  
}  int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++){  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  edges[a].push_back({b, c});  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b].push_back({a, c});  }  return 0;  
}

⽤链式前向星的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <queue>  
using namespace std;  
const int N = 1e5 + 10;  
// 链式前向星  
int h[N], e[N * 2], ne[N * 2], w[N * 2], id;  
int n, m;  
// 其实就是把 b 头插到 a 所在的链表后⾯  
void add(int a, int b, int c)  
{  id++;  e[id] = b;  w[id] = c; // 多存⼀个权值信息  ne[id] = h[a];  h[a] = id;  
}  bool st[N];  void dfs(int u)  
{  cout << u << endl;  st[u] = true;// 遍历所有的孩⼦  for(int i = h[u]; i; i = ne[i])  {  // u->v 的⼀条边  int v = e[i];  if(!st[v])  {  dfs(v);  }  }  
}  
int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  add(a, b, c); add(b, a, c);  }  return 0;  
}

BFS

⽤邻接矩阵的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <cstring>  
#include <queue>  
using namespace std;  
const int N = 1010;  
int n, m;  
int edges[N][N];
bool st[N]; // 标记哪些点已经访问过  
void bfs(int u)  
{  queue<int> q;  q.push(u);  st[u] = true;  while(q.size())  {  auto a = q.front(); q.pop();  cout << a << endl;  for(int b = 1; b <= n; b++)  {  if(edges[a][b] != -1 && !st[b])  {  q.push(b);  st[b] = true;  }  }  }  
}  int main()  
{  memset(edges, -1, sizeof edges);  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a - b 有⼀条边，权值为 c  edges[a][b] = c;  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b][a] = c;  }  return 0;  
}

⽤vector数组的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <queue>  
using namespace std;  
typedef pair<int, int> PII;  
const int N = 1e5 + 10;  
int n, m;  
vector<PII> edges[N];  
bool st[N]; // 标记哪些点已经访问过  
void bfs(int u)  
{  queue<int> q;  q.push(u);  st[u] = true;  while(q.size())  {  auto a = q.front(); q.pop();  cout << a << endl;  for(auto& t : edges[a])  {  int b = t.first, c = t.second;  if(!st[b])  {  q.push(b);  st[b] = true;  }  }  }  
}  int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;// a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  edges[a].push_back({b, c});  // 如果是⽆向边，需要反过来再存⼀下  edges[b].push_back({a, c});  }  return 0;  
}

⽤链式前向星的⽅式存储

#include <iostream>  
#include <queue>  
using namespace std;  
const int N = 1e5 + 10;  
// 链式前向星  
int h[N], e[N * 2], ne[N * 2], w[N * 2], id;  
int n, m;  
// 其实就是把 b 头插到 a 所在的链表后⾯  
void add(int a, int b, int c)  
{  id++;  e[id] = b;  w[id] = c; // 多存⼀个权值信息  ne[id] = h[a];  h[a] = id;  
}  bool st[N];  void bfs(int u)  
{  queue<int> q;  q.push(u);  st[u] = true;  while(q.size(){  auto a = q.front(); q.pop();  cout << a << endl;  for(int i = h[a]; i; i = ne[i])  {  int b = e[i], c = w[i];  if(!st[b])  {  q.push(b);  st[b] = true;  }  }  }  
}  
int main()  
{  cin >> n >> m; // 读⼊结点个数以及边的个数  for(int i = 1; i <= m; i++)  {  int a, b, c; cin >> a >> b >> c;  // a 和 b 之间有⼀条边，权值为 c  add(a, b, c); add(b, a, c);  }  return 0;  
}