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算法训练之动态规划（五）——简单多状态问题

news 来源：原创 2025/9/15 9:06:50

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这一篇博客我们继续来看看动态规划系列里面的简单多状态问题，准备好了吗~我们发车去探索奥秘啦~🚗🚗🚗🚗🚗🚗

粉刷房子

买卖股票的最佳时机（含冷冻期）

粉刷房子

可以看到题目要求给房子上颜色，并且相邻的房子颜色不能相同~这显然是是一个多状态的问题，接下来我们来一步步分析一下~

分析：

1、状态表示

题目要求：相邻的房子颜色不能相同，每一个房子有三种颜色可以选择~我们创建三个dp表来进行表示，事实上，题目给出的二维数组，行号就是房子号数，列号是涂某一种颜色的花费，我们也可以用这样一个二维数组来形成我们的dp表~每一个房子都有三种不同的情况~

        结合这里的题目要求+经验：

        dp表中的dp1[i][0]表示为到达该位置并且选择该位置选择涂红色的最小花费~

        dp表中的dp1[i][1]表示为到达该位置并且选择该位置选择涂蓝色的最小花费~

        dp表中的dp1[i][2]表示为到达该位置并且选择该位置选择涂绿色的最小花费~

2、状态转移方程

       我们以离【i】位置最近的状态分析状态转移方程，处理dp表

1、

        dp【i】【0】选择【i】位置涂红色，那么说明前面的位置是一定不可以涂蓝色和绿色的，取两者最小值再加上当前位置涂红色的花费，那么

                dp[i][0]=min(dp[i-1][1],dp[i-1][2])+nums[i][0]

2、

        dp【i】【1】选择【i】位置涂蓝色，那么说明前面的位置是一定不可以涂红色和绿色的，取两者最小值再加上当前位置涂蓝色的花费，那么

                dp[i][1]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][2])+nums[i][1]

3、

        dp【i】【2】选择【i】位置涂绿色，那么说明前面的位置是一定不可以涂蓝色和红色的，取两者最小值再加上当前位置涂绿色的花费，那么

                dp[i][2]=min(dp[i-1][0],dp[i-1][1])+nums[i][2]

3、初始化

        我们可以看到，状态转移方程里面有i-1当i=0的时候显然会出现越界的情况，所以我们需要进行初始化

        结合前面如果不想初始化太麻烦，我们可以多申请一些空间，但是事实上这个题目初始化比较简单，直接初始化dp[0][0],dp[0][1],dp[0][2]就可以了，所以我们直接进行初始化~

        dp[0][0]就是选择0位置涂红色花费nums[0][0]， dp[0][1]就是选择0位置涂蓝色花费nums[0][1]， dp[0][2]就是选择0位置涂绿色花费nums[0][2]那么我们初始化结果就是

                dp[0][0]=nums[0][0] , dp[0][1]=nums[0][1] , dp[0][2]=nums[0][2]

4、填表顺序

我们这里的逻辑是从前面依次推出后面的，所以填表顺序是从前往后

5、返回结果

这里返回结果是到最后一个房子的最小花费，最后一个房子有三种情况，一种是选择涂红色，一种是选择涂蓝色，还有一种是选择涂绿色，返回三种情况最小值就可以了，即返回min(min(dp[m-1][0],dp[m-1][1]),dp[m-1][2])

注意点：结合题目给出的范围，这里不需要处理边界情况~

代码实现：

class Solution
{
public:int minCost(vector<vector<int>>& costs){//1、创建dp表int m = costs.size();//房子号int n = costs[0].size();//颜色vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));//2、初始化dp[0][0] = costs[0][0];dp[0][1] = costs[0][1];dp[0][2] = costs[0][2];//3、填表for (int i = 1; i < m; i++){dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i][0];dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i][1];dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + costs[i][2];}//4、返回结果return min(min(dp[m - 1][0], dp[m - 1][1]), dp[m - 1][2]);}
};

顺利通过~

我们也可以采用有趣提到的增加虚拟节点的方法，这里相当于多增加一个空房子，有下面两个注意点：

1、虚拟节点值是多少？

虚拟节点会影响到第一个房子的最小花费，事实上，到第一个房子的最小花费也就是第一个房子的花费，不想让虚拟节点影响，就把虚拟节点值设置为0~

2、注意下标映射关系

相当于增加了一个房子，注意与原来的数组的下标映射~

代码实现：

class Solution
{
public:int minCost(vector<vector<int>>& costs){//使用虚拟节点//1、创建dp表int m = costs.size();int n = costs[0].size();//也可以直接写为已知的3vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n));//2、初始化虚拟节点dp[0][0] = 0;dp[0][1] = 0;dp[0][2] = 0;//3、填表for (int i = 1; i <= m; i++){//注意下标映射关系dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][0];dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][1];dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + costs[i - 1][2];}//4、返回结果return min(min(dp[m][0], dp[m][1]), dp[m][2]);}
};

顺利通过~不难发现，代码量其实是差不多的，大家选择自己喜欢的方式就好~

买卖股票的最佳时机（含冷冻期）

这个题目显然是一个多状态问题，那么我们首先得分析它有哪几个状态：

1、买入状态（也就是手上有股票的状态，可以进行卖出）

2、冷冻期状态（不可以进行买入）

3、可以交易的状态（可以进行买入）

接下来画图分析这几个状态之间的关系（也就是讨论状态相互之间是否可达以及是否可以自己到自己）

知道了这三个状态之间的关系，我们就可以利用动态规划的思想进行分析：

1、状态表示

题目要求：既然有三个状态，那么我们就需要创建三个dp表表示不同位置可能的状态~

        结合这里的题目要求+经验：

        dp1表中的dp1[i]表示为到达该位置进行操作后处于买入状态的最大利润~

        dp2表中的dp2[i]表示为到达该位置进行操作后处于可交易状态的最大利润~

        dp3表中的dp3[i]表示为到达该位置进行操作后处于冷冻期状态的最大利润~

注意是在该位置进行操作后处于什么状态，而不是到达该位置是什么状态，这样会比较麻烦~

2、状态转移方程

       我们以离【i】位置最近的状态分析状态转移方程，处理dp表

1、

       怎么样会处于买入状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天可交易状态下，在今天买入股票变成买入状态；也可能是前一天买入状态下，今天什么都不干依然是买入状态，取两种情况的较大值~

        dp1表状态转移方程：

        dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]-prices[i]);

2、

        怎么样会处于可交易状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天冷冻期状态，今天就是可交易的状态；也可能是前一天可交易状态下，今天什么都不干依然是可交易状态，取两种情况的较大值~

        dp2表状态转移方程：

        dp2[i]=max(dp2[i-1],dp3[i-1]);

3、

       怎么样会处于冷冻期状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天处于买入状态，在今天进行卖出也就处于冷冻期状态了~没有其他情况

        dp3表状态转移方程：

        dp3[i]=dp1[i-1]+prices[i];

3、初始化

        我们可以看到，状态转移方程里面有i-1当i=0的时候显然会出现越界的情况，所以我们需要进行初始化

        结合前面如果不想初始化太麻烦，我们可以多申请一些空间，但是事实上这个题目初始化比较简单，直接初始化dp1[0],dp2[0]，dp3[0]就可以了，所以我们直接进行初始化~

        dp1[0]就是第一天操作后处于买入状态，那么利润为-prices[0];

        dp2[0]就是第一天操作后处于可交易状态，那就是什么都不干，那么利润为0;

        dp3[0]就是第一天操作后处于冷冻期状态，这是不可能的，那么利润为0;

        那么我们初始化结果就是

                dp1[0]=-prices[0] , dp2[0]=0 , dp3[0]=0

4、填表顺序

我们这里的逻辑是从前面依次推出后面的，所以填表顺序是从前往后

5、返回结果

这里返回结果是到最后一天的最大利润，最后一天有三种情况，返回三种情况最大值就可以了，即返回return max(max(dp1[n-1],dp2[n-1]),dp3[n-1]);

当然，最后一天是不可能还处于买入状态的，这样就亏了，也就可以返回return max(dp2[n-1],dp3[n-1]);

注意点：结合题目给出的范围，这里不需要处理边界情况~

代码实现：

class Solution 
{
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {//1、创建dp表int n=prices.size();vector<int> dp1(n);//买入状态vector<int> dp2(n);//可以交易状态vector<int> dp3(n);//冷冻期状态//2、初始化dp1[0]=-prices[0];dp2[0]=0;dp3[0]=0;//3、填表for(int i=1;i<n;i++){dp1[i]=max(dp1[i-1],dp2[i-1]-prices[i]);dp2[i]=max(dp2[i-1],dp3[i-1]);dp3[i]=dp1[i-1]+prices[i];}//4、返回结果//return max(max(dp1[n-1],dp2[n-1]),dp3[n-1]);return max(dp2[n-1],dp3[n-1]);}
};

顺利通过~

除了这种创建dp表的方式，我们也可以像前面那样创建二维数组（n*3）来实现三个dp表~

我们重新来进行分析一下：

1、状态表示

题目要求：既然有三个状态，那么我们就需要创建三个dp表表示不同位置可能的状态~这里创建一个n*3的二维数组来表示~

        结合这里的题目要求+经验：

        dp表中的dp[i][0]表示为到达该位置进行操作后处于买入状态的最大利润~

        dp表中的dp[i][1]表示为到达该位置进行操作后处于可交易状态的最大利润~

        dp表中的dp[i][2]表示为到达该位置进行操作后处于冷冻期状态的最大利润~

2、状态转移方程

       我们以离【i】位置最近的状态分析状态转移方程，处理dp表

1、

       怎么样会处于买入状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天可交易状态下，在今天买入股票变成买入状态；也可能是前一天买入状态下，今天什么都不干依然是买入状态，取两种情况的较大值~

        dp表状态转移方程：

        dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);

2、

        怎么样会处于可交易状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天冷冻期状态，今天就是可交易的状态；也可能是前一天可交易状态下，今天什么都不干依然是可交易状态，取两种情况的较大值~

        dp表状态转移方程：

        dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);

3、

       怎么样会处于冷冻期状态呢？结合前面的画图分析可能是前一天处于买入状态，在今天进行卖出也就处于冷冻期状态了~没有其他情况

        dp表状态转移方程：

        dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];

3、初始化

        我们可以看到，状态转移方程里面有i-1当i=0的时候显然会出现越界的情况，所以我们需要进行初始化

        结合前面如果不想初始化太麻烦，我们可以多申请一些空间，但是事实上这个题目初始化比较简单，直接初始化dp[0][0],dp[0][1],dp[0][2]就可以了，所以我们直接进行初始化~

        dp[0][0]就是第一天操作后处于买入状态，那么利润为-prices[0];

        dp[0][1]就是第一天操作后处于可交易状态，那就是什么都不干，那么利润为0;

        dp[0][2]就是第一天操作后处于冷冻期状态，这是不可能的，那么利润为0;

        那么我们初始化结果就是



        dp[0][0]=-prices[0];//买入状态

dp[0][1]=0;//可交易状态

dp[0][2]=0;//冷冻期状态

4、填表顺序

我们这里的逻辑是从前面依次推出后面的，所以填表顺序是从前往后

5、返回结果

这里返回结果是到最后一天的最大利润，最后一天有三种情况，返回三种情况最大值就可以了，即返回return max(max(dp[n-1][0],dp[n-1][1]),dp[n-1][2]);

当然，最后一天是不可能还处于买入状态的，这样就亏了，也就可以返回return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);

代码实现：（逻辑都是差不多的，只不过实现上有区别）


class Solution
{
public:int maxProfit(vector<int>& prices){//1、创建二维数组dp表int n = prices.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));//2、初始化dp[0][0] = -prices[0];//买入状态dp[0][1] = 0;//可交易状态dp[0][2] = 0;//冷冻期状态//3、填表for (int i = 1; i < n; i++){dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];}//4、返回结果return max(max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]), dp[n - 1][2]);//return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);}
};

顺利通过~

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编程日记 2025/9/5 0:42:19

多坐标系变换全解析：从相机到WGS-84的空间坐标系详解

多坐标系变换全解析：从相机到WGS-84的空间坐标系详解一、常见坐标系简介二、各坐标系的功能和使用场景1. WGS-84 大地坐标系（经纬高）2. 地心直角坐标系（ECEF）3. 本地 ENU / NED 坐标系4. 平台坐标系（Body）5. 相机坐标系三、坐标变换流程图四、如何选用合适的坐标系？五…...

编程日记 2025/9/8 22:25:03

【微服务治理】Opentelemetry、 Jaeger、Prometheus、grafana 关系?各自作用？最佳实践？

OpenTelemetry、Jaeger、Prometheus 和 Grafana 是云原生可观测性领域的核心工具组，各自解决不同维度的问题，又能协作形成完整的监控体系。以下是它们的详细关系和功能说明： 1. OpenTelemetry 定位：统一的遥测数据标准&#xff0…...

编程日记 2025/9/11 20:48:05

谷歌25年春季新课：15小时速成机器学习

谷歌说15小时就能入门机器学习，虽然听上去有点离谱，但看了一下课程设置其实是很合理而且全面的，而且谷歌的质量还是很有保障，很适合零基础的小白以及想要进阶的学习者。🚀 基础知识部分包括线性回归：用于…...

编程日记 2025/9/14 15:16:15

【笔试强训day16】

目录第一题：字符串替换描述输入： 返回值： 第二题：神奇数输入描述: 输出描述: 输入输出第三题：DNA序列描述输入描述： 输出描述： 输入： 输出： 输入…...

编程日记 2025/9/13 19:37:45

[每周一更]-(第139期)：从FRP认识内网穿透及反向代理

文章目录 **一、FRP的核心功能与实战应用****1. 远程访问场景****2. Web服务暴露**Web服务访问实际案例：**3. 物联网与设备管理****4. 高级功能** **二、FRP性能优化与安全加固****三、同类工具对比与选型建议****四、总结与选型建议****特殊场景解决方案****1. 跨国…...

编程日记 2025/9/12 14:25:03

vue2使用ezuikit-js播放萤石视频

需求：需要在大屏上播放萤石视频，用到官方的ezuikit-js插件实现，并实现视频播放切换功能。有个问题至今没有解决，就是萤石视频的宽高是固定的，不会根据大屏缩放进行自适应。我这边做了简单的刷新自适应。 1.下载ezuikit…...

编程日记 2025/9/9 15:53:38

Nacos服务发现和配置管理

目录一、Nacos概述 1. Nacos 简介 2. Nacos 特性 2.1 服务发现与健康监测 2.2 动态配置管理 2.3 动态DNS服务 2.4 其他关键特性二、服务注册和发现 2.1 核心概念 2.2 Nacos注册中心 2.3 Nacos单机模式 2.4 案例——服务注册与发现 2.4.1 父工程 2.4.2 order-p…...

编程日记 2025/9/8 1:08:23

DeepSeek实战：如何用AI工具提升销售转化率？

销售行业正在经历一场前所未有的变革，AI技术的快速发展让传统销售模式面临巨大挑战。如今，像DeepSeek这样的智能工具已经能高效完成客户触达、需求分析、快速回复等基础销售工作，甚至比人类更快、更精准。许多公司已经发现，AI销售…...

编程日记 2025/9/8 7:35:19

无锡无人机培训学校哪家好？

无锡无人机培训学校哪家好？近年来，无人机技术在各个领域的应用越来越广泛，从农业、物流到影视制作，无人机已经成为了许多行业不可或缺的工具。这种趋势促使越来越多的人希望通过系统的培训获得无人机驾驶技能。然而，在…...

编程日记 2025/9/11 18:57:31

从数据格式转换的角度 flink cdc 如何写入paimon？

从数据格式转换的角度 flink cdc 如何同步数据，写入paimon？ 从一个测试用例着手 org/apache/flink/cdc/connectors/paimon/sink/v2/PaimonSinkITCase.java public void testSinkWithDataChange(String metastore, boolean enableDeleteVector)throws …...

编程日记 2025/9/2 14:31:54

Flink的 RecordWriter 数据通道详解

本文从基础原理到代码层面逐步解释 Flink 的RecordWriter 数据通道，尽量让初学者也能理解。 1. 什么是 RecordWriter？ 通俗理解 RecordWriter 是 Flink 中负责将数据从一个任务（Task）发送到下游任务的组件。想象一下，…...

编程日记 2025/9/11 13:52:57

从keys到SCAN：Redis批量删除的进化之路

标签：Redis、批量删除、前缀匹配、性能优化一、痛点分析：为什么需要批量删除指定前缀的键？在 Redis 使用过程中，我们经常会遇到这样的场景：需要对某一类数据进行清理，例如用户会话、缓存数据等，而这些数据通常以某种前缀命名（如 user:session:*、cache:data:*）。如…...

编程日记 2025/9/9 13:38:29

uniapp实现目录树效果，异步加载数据

uniapp目录树父组件调用目录树组件 <DaTreeVue2:data"treeData":field"{label: name,key: id,}"change"handleTreeChange":defaultCheckedKeys"addressDefaultCheckedKey":defaultExpandedKeys"addressDefaultCheckedKey&qu…...

编程日记 2025/9/10 22:06:30

机器学习--网格搜索

引言在机器学习的广袤世界里，构建一个性能卓越的模型是众多从业者不懈追求的目标。而模型性能的好坏，很大程度上依赖于超参数的设置。今天，我们就来深入探讨一种常用且有效的超参数调优方法 —— 网格搜索。一、什么是网格搜索网格搜索…...

编程日记 2025/9/1 21:34:21

Asp.NET Core WebApi 创建带鉴权机制的Api

构建一个包含 JWT（JSON Web Token）鉴权的 Web API 是一种常见的做法，用于保护 API 端点并验证用户身份。以下是一个基于 ASP.NET Core 的完整示例，展示如何实现 JWT 鉴权。 1. 创建 ASP.NET Core Web API 项目使用 .NET CLI 或 …...

编程日记 2025/9/8 11:03:22

同步电路与异步电路详解

一、基本概念与核心区别特性同步电路异步电路时钟依赖依赖全局时钟信号（如CLK）统一触发所有操作无全局时钟，依赖事件（如信号跳变）或握手协议时序控制所有操作在时钟边沿（上升/下降沿）同步执行…...

编程日记 2025/9/8 0:25:59

Vccaux_IO在DDR3接口中的作用

一、Vccaux_IO在DDR3接口中的作用 1.vccaux_io通常为FPGA的IO bank的辅助电源，用于支持特定电压的IO标准 2.在DDR3接口中，FPGA的IO bank需要DDR3芯片的电压(1.5v/1.35v)匹配 3.Vccaux_IO用于为FPGA的DDR3接口I/O Bank供电，其电压值、噪声和稳…...

编程日记 2025/9/11 1:14:44

5分钟读懂ArgoCD：在Kubernetes中实现持续部署

Kubernetes中的Argo CD介绍 Argo CD是用于Kubernetes的声明式GitOps持续交付工具。它遵循GitOps模式，以Git仓库作为定义所需应用程序状态的唯一真实来源，能在指定的目标环境中自动部署应用程序，并持续监控应用程序的运行状态，确保…...

编程日记 2025/9/13 7:24:48

Redis与Caffeine的结合使用详解（高效的二级缓存解决方案）

目录一、Redis与Caffeine的结合使用（一）引入依赖（二）配置缓存（三）配置 Caffeine 缓存（四）配置 Redis 缓存（五）使用缓存二、总结一、Redis与Caffeine的结合…...

编程日记 2025/9/10 6:21:07

粉刷房子

买卖股票的最佳时机（含冷冻期）

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