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定积分的应用(4.39-4.48)

news 来源：原创 2025/8/28 18:12:43

battle cry

前言
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
4.48

在这里插入图片描述

前言

题目确实比较多。slow down and take your time.

4.39

狂算了一遍，然后发现不是计算出问题了，是积分上下限写错了。还有把函数代进去也出了一点问题。

点火公式一家人我不记得，只记得一个光秃秃的点火公式。感觉还是得找补一下点火公式一家人。不然过去了就永远过去了，计算速度练不上来。定积分计算 1 是第一次出现点火公式。终于找到了，定积分计算 2 ，基本的点火公式就不说了。实际上主要就是考虑函数图像的正负性。我这里还是完整地罗列一下，免得以后忘记了还有个存档。

$\int _0^\pi sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx$ , $\int_0^\pi cos^nxdx=\begin{cases} 2\int _0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx,\text{n is oven}\\ 0,\text{n is odd} \end {cases}$ ,
$\int _0^{2\pi}sin^nxdx=\int_0^{2\pi}cos^nxdx= \begin{cases} 4\int _0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx,\text{n is oven} \\ 0,\text{n is odd} \end {cases}$
很多东西没有记到脑子里面就多学几遍。确实记住就感觉差点意思。真正的考试不会提示这个曲线就是双纽线，所以直角坐标的曲线表达式和极坐标的表达式都是记忆的重点。
$x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$
$r^2=a^2cos2\theta$
然后就是套公式就可以算出来了，计算量还是比较小的。

4.40

算是一个参数方程求面积的题。参数方程的题用换元法来求解。换元需要保证换元的函数是单调的。星形线： $x=acos^3\theta,y=asin^3\theta$ ，解题的第一步画出图形，然后用定积分的几何意义表示出面积的表达式，然后换元法，从直角坐标换成极坐标，也可以理解为正常的换元，然后根据 $sin^2x+cos^2x=1$ 全部表示成 $s in x$ 的次方，把积分上下限尽可能转换为 $(0,\frac{\pi}{2})$ ，然后用点火公式。

4.41

点火公式奇数的那个部分我记得不是很清楚。下面记录一下点火公式奇数部分
$\int _0^{\frac{\pi}{2}} sin^nxdx= \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} cos^nxdx= \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{2}{3} \text{,n is odd}$
分部积分是反对幂三指，幂函数是放在三角函数前面的，这个我经常容易搞混，然后积分到后面发现算不出来了，就是这个部分的问题。幂函数一定要放在三角函数前面，把 $d$ 作为分界点，在 $d$ 左边认为是前面，在 $d$ 右边认为是后面。 $xcosx|_0^{\frac{\pi}{2}}=0-0=0$ ，一个因子是零，让整个因子是零，这里控制得非常精准。总的来说就是两个旋转体体积公式，第一个计算用点火公式算，第二个计算用分部积分算，然后联立求解，非常常规，但是考察得我认为也算是比较综合了。完全值得五分的填空题。

4.42

$sin^2x$ 的图像，可以发现和 $s in x$ 的趋势差不多，然后把负的部分翻转到 $x$ 轴上方。
在这里插入图片描述

另一个图形是一个正半圆。

积分区间是 $(0,\pi)$ ，被积函数是 $x$ 和 $s in x$ ，可以把 $x$ 从被积函数里面拿出来，然后前面乘一个系数 $\frac{\pi}{2}$ ，积分区间不变。证明这个公式可用区间再现公式和移项。
$\int _0^{\pi} xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx$

我傻了。一个圆，非常标准的圆，旋转就是一个球。然后球直接用球的体积公式， $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ，实际上积分也能积分出来，换元就是正常换元，换元要求的是 $t$ 的范围，我误以为是 $x$ 的范围，难怪搞半天也算不出来。然后后半部分的计算才是重点，不知道上面那个公式，这个题基本上就废掉了。还有点火公式一家人。上面写了点火公式一家人的公式。这题非常非常经典。

4.43

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原来这种函数和 $\frac1x$ 的趋势差不多。 $1+tan^2x=sec^2x$ ，计算失误是一个非常严重的问题。总是算错。甚至可能是只差最后一步，然后还是算错。三角换元对我个人来说是一个非常难的知识点。 $csc x$ 的积分，老老实实摆在积分表里面，假设考研之前没记住就有点搞笑了。 $csc x$ 是余割函数。 $\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$ , $co t x$ 是余切函数。大概就是这样。所以这题非常经典。实际上可能书上的例题大部分都非常经典。

4.44

圆锥体的体积公式： $\frac{1}{3}\pi r^2h$ 。一顿操作猛如虎，然后又算错了。真得检查一遍，养成检查的习惯。哦另外也是审题错误。这题是先求面积，再求体积，我直接算的体积，然后体积也没算对。奥，因为这个体积不是绕 $x$ 轴旋转的体积。实际上绕 $x=x_0$ 旋转是薄壁空心桶的模型，假设 $x_0>0$ ， $V=2\pi\int_a^b(x_0-x)f(x)dx$ 是体积公式。这题真是究极折磨。

4.45

套公式，对勾函数。哦也不是对勾函数，但是是这种两个式子相乘是常数的函数
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这个函数的平方和 1 做加法，可以得到另一个完全平方式子。高质量的积分题，处处是巧合。 $L=\int _a^b \sqrt{1+y'^2}dx,a<b$

4.46

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星形线。可以发现星形线的最远的边就是到 a 处，然后 x 和 y 的幂指数都是等于 a 的幂指数的。星形线的直角坐标公式和参数方程公式都需要记住。直角坐标公式是 $x^\frac{3}{2}+y^\frac{3}{2}=a^\frac{3}{2}$ ，参数方程的形式是 $x=acos^3t,y=asin^3t$ .注意到另外一个公式也可以加速计算。就是在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 这个积分区间，被积函数里面的 $s in x$ 和 $cos x$ 全部交换位置，总体的定积分的值是相等的。
$\int _0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx,sinx)dx$ ，可以用区间再现公式和三角函数的性质来证明。区间再现公式是
$\int _a^bf(x)dx=\int _a^b f(a+b-x)dx$
本来以为这题能用上，实际上还是用基本方法做的。当然这些二级结论还是得记住。

4.47

旋转曲面的侧表面积还是旋转曲面的面积，这个非常重要。因为可能要加上底面的面积。然后套公式就是 $2\pi |y|L,\text{L 是弧长}$ ，然后求定积分。求弧长是根号下面，至少有一个导数。

4.48

最后一题了。但是怎么求曲线表达式就把我卡住了。哦哦，只有一个区域旋转得到的旋转曲面才有除了侧表面积之外的面积，正常一个曲线旋转得到的就只有侧表面积。弧长算对了，但是侧表面积还是算错了。我重新算一次试试。重新算了一遍，思路没啥问题，还是计算错误。计算。。计算。计算。好吧。这里也是用了前面那个题的，加上 1 之后，本来的对勾函数可以转换为另一个完全平方式子。就是和 4.45 一样。求表达式，对两边求导就可以求出表达式。