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【C/C++算法】蓝桥杯之递归算法（如何编写想出递归写法）

news 来源：原创 2025/9/2 10:51:07

绪论：冲击蓝桥杯一起加油！！
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每日激励：“不设限和自我肯定的心态：I can do all things。 — Stephen Curry”

绪论​：
————————
早关注不迷路，话不多说安全带系好，发车啦（建议电脑观看）。

递归

1. 什么是递归

简单来说：就是函数自己调用自己

2. 为什么会用到递归

常见的递归有：二叉树的遍历、快排、归并
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其中递归的本质：

  1. 解决主问题，衍生相同的子问题
  2. 在处理子问题的时候，又出现了相同的子问题
  3. 所以本质就是不断自己调用自己，通过缩小问题最终解决最小子问题

3. 如何理解递归（非常重要！）

对于理解递归，可以从下面三个方向理解：

  1. 递归展开的细节图
  2. 二叉树中的题目
  3. 宏观看待递归的过程
    1. 不要在意递归的展开图
    2. 把递归的函数当成一个黑盒（具体里面如何操作关心，给他数据，返回结果）
    3. 相信这个黑盒一定能完成这个任务

（这个后面慢慢的到来，请继续往后看）

4. 如何写好一个递归？

  1. 先找到相同的子问题
    1. 根据子问题：决定了函数头的设计
    2. 本质也就是分析题目，然后得出解决子问题可能需要用到的参数（一般来说可以先粗力度的得到一个函数头，然后再在编写代码中不断弥补）
      在这里插入图片描述
  2. 只关心某个子问题是如何解决的
    1. 把他看成一个黑盒，并相信他能够替你完成任务
    2. 也就决定了函数体的书写，我们仅仅去想某个子问题的解决方法
    3. 因为这样再次调用该函数的时候，虽然条件参数可能不同，但子问题的解决方法是一致的
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  3. 最后再注意一下递归函数的出口即可
    1. 也就是防止无限递归的情况

总结：解决简单递归的三步：

非常重要，不过通过大量练习相信你就能很好的理解（可能初次看会迷糊~）

  1. 通过题目写出dfs的函数头
  2. 根据子问题写出函数内部逻辑
  3. 注意一下递归出口

深度优先遍历 vs 宽度优先遍历 vs 暴搜

  1. 深度优先遍历（搜索）dfs（depth）：

    1. 通俗的来说就是：一条路走到黑
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  2. 宽度优先遍历（搜索）bfs（Breadth）：

    1. 本质也就是：一层一层的遍历树
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  3. 搜索（暴搜）：

    1. 本质就是暴力枚举一遍所有的情况，或者说就是将树中的所有节点都进行一次遍历

  4. 搜索问题的拓展：

拿全排列问题举例：
全排列是将一组数中的所有情况排出来（如下图）
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那么可以使用树状图（决策树）的方式解决具体如下图
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此时画出来后，我们需要的答案最终就能通过递归搜索的方式获取到：
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所以说我们不能对于dfs、bfs来说局限于二叉树，而是当我们能画出类似的决策树的形式画出来那么就能使用dfs/bfs

回溯与剪枝（非常重要！）

  1. 回溯的本质：其实就是深搜中当我们尝试某种情况时，发现这种情况行不通，退回到上一级的操作就是回溯
    （如下图红线）
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  2. 剪枝来说：在我们回溯过程后可能遇到两种可以走的情况，而其中一种情况已经走过了知道行不通，那么这条路就代表被剪枝了
    （具体如下图）
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下面将通过5道题目带你理解递归，其中注意理解递归的三步（函数头，函数体，递归出口）

具体训练：

1. 汉诺塔

题目：

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分析题目并提出，解决方法：

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在过程中不允许大盘子摞在小盘子上面！

题解核心逻辑：

汉诺塔问题，可以用递归解决
如何来解决汉诺塔问题？
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  1. 在N >= 2 时，我们要考虑先将最大的盘子放到 C柱上

问题就转移成了：

  1. 先把最大盘子上面的所有先放在B柱上，然后在移动 最大的盘子 到C柱
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  2. 第三步就是将所有B柱上的盘子在移动到C柱上
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  3. 再次理解：当N = 3时，看最上面的两个盘子，它的本质其实就是N = 2的情况，只不过这次是移动到B柱
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  4. 这里注意理解的是：操作1和操作3的本质是一样的，只不过借助的柱子不一样！
  5. 那么 N = … 他们的本质都是一样了，他们都是：
    1. 执行步骤1，将最大盘子上面的小盘子全部转移到B
    2. 执行步骤2，将最大盘子全部转移到C
    3. 执行步骤3，再将B上的转移到C即可完成
    4. 所以为什么可以用递归：解决大问题的时候，出现了相同的子问题，解决子问题的时候又出现了相同的子问题
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如何写代码：

  1. 挖掘重复子问题（函数头）
    1. 也就是上面的 步骤 1、 2、3所需要的
    2. 该题本质是：将 x 柱上的一堆盘子，借助 y 柱子，转移到 z 柱子上
    3. 那么函数头也就如下图
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  2. 只关心某一个子问题在做什么（函数体）
    1. 宏观的分析三个步骤的具体：
      在这里插入图片描述
  3. 函数出口
    1. 不难发现就是 N = 1 的时候是不同的，直接将A柱的盘子直接放到C柱上
    2. 那么当N=1时，将A柱的盘子直接放到C柱上，然后就可以退出了
      在这里插入图片描述
      具体步骤代码如下：
class Solution {
public:
//1. 挖掘重复子问题（得出函数头）
//将n个盘子移动到 借助柱子移动到目标柱子void h(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C,int n){//出口：if(n == 1){// 将 A 上的移动到 C上C.push_back(A.back());A.pop_back();return ;}//2. 分析子问题：（得到函数体所需要的操作，并且相信他能完成）
//先将 A 柱上的 n-1 个移动到 B盘h(A,C,B,n-1);
//将 A 中的最后一个盘子移动到 C上C.push_back(A.back());A.pop_back();
//在将B上的盘子借助A全部移动到C上h(B,A,C,n-1);} void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {h(A,B,C,A.size());}
};

2. 合并两个有序链表

题目：

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分析题目并提出，解决方法：

题目很好理解：就是拼接两个链表，过程中不允许创建空间

分析本题查看是否有重复子问题：
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  1. 重复子问题（函数头的设计）

    1. 合并两个有序链表
    2. 那么也就仅需要两个 链表
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  2. 只关心某个子问题（函数体的设计）
    在这里插入图片描述

    1. 比大小（两个链表进行比较）得到较小的结点
    2. 将较小的结点看做合并后的链表头结点（通过修改该结点的next指针完成）
      在这里插入图片描述
    3. 最终返回 较小的结点

  3. 递归出口

    1. 那个指针先为空返回另外一个指针

总结：递归 = 重复子问题 + 宏观看待递归问题

题解核心逻辑：

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:
//分析函数的目的：合并两个链表：所以函数头就是 两个链表即可ListNode* mergeTwoLists(ListNode* list1, ListNode* list2) {
//编写出口：判断那个链表先为空，返回另外一个if(list1 == nullptr) return list2;if(list2 == nullptr) return list1;//编写子问题的具体操作：完成函数体//1. 找到较小的if(list1->val <= list2->val){list1->next =  mergeTwoLists(list1->next,list2);return list1; }else{list2->next =  mergeTwoLists(list1,list2->next);return list2; }}
};

小总结：

递归 VS 深搜

递归的展开图，其实就是对一棵树做一次深度优先遍历（dfs）
而在递归的过程中需要一个 栈 进行保存，历史数据
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循环（迭代） vs 递归

它们是能相互转换的，那么什么时候，用哪一个呢？
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通过上面的分析和上图理解到：

  1. 当我们的一个遍历过程需要用到类似栈的东西进行保存数据时，就是比较麻烦的情况了，此时我们使用递归的形式就能很简单方便的写出程序
  2. 而当一些遍历过程比较简单，如上图右边结构，此时遍历仅仅只需要单方向的那么，此时就没必要使用递归，因为一个简单的遍历循环即可完成
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3. 反转链表

题目：

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分析题目并提出，解决方法：

宏观角度看待问题：

  1. 让当前结点后面的链表先逆序，并且把头结点返回
    在这里插入图片描述
  2. 让当前结点添加到逆置后的链表在这里插入图片描述

第二个视角：将链表看成一颗树：

  1. 不断深度遍历到最后一个结点
  2. 返回最后一个结点
  3. 到达倒数第二层：执行将自己下一个结点的next置为自己，然后自己置为null（这里置为是为了保持所以子操作一致）
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

题解核心逻辑：

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:ListNode* reverseList(ListNode* head) {//使用递归的方式//宏观的看待问题：//翻转链表（所以函数头就只需要一个链表即可，还需要返回新头结点）//子问题（将自己的next的next置为自己，再将自己置为空，并且还需要将最后的头结点返回回来）//出口：（当head为空时退出，表示遍历到了最后结点）//head == nullptr 时为了防止没有结点的情况if(head == nullptr || head->next == nullptr){return head;//返回结点}ListNode* newhaed = reverseList(head->next);head->next->next = head;head->next = nullptr;return newhaed;}
};

4. 两两交换链表中的节点

题目：

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分析题目并提出，解决方法：

递归思想（宏观看待）：

  1. 分析题目得到递归思想：将给到的链表中的两两进行交换顺序，那么也就仅需要一个链表参数即可
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  2. 看待某个子问题：
    1. dfs会返回一个新的链表的结点，使用tmp记录
    2. 将当前head的next的next指向haed，再将head的next指向tmp（完成交换的目的）
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  3. 退出情况，当head为空是退出
    1. 注意其中是以两个结点看成一起的，所以退出条件是：
    2. 当 head为空 || head->next 为空

题解核心逻辑：

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:ListNode* swapPairs(ListNode* head) {//退出条件：if(head == nullptr || head->next == nullptr){return head;//返回当前结点}//子问题：//1. 获取dfs后面的头结点ListNode* tmp = swapPairs(head->next->next);ListNode*  ret = head->next;ret->next = head;head->next = tmp;return ret;}
};

5. Pow(x, n)

题目：

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分析题目并提出，解决方法：

很好理解 就是 求x n等于多少
解法1：暴力循环，让 x 乘 n 次即可（会超时）

解法二：

快速幂

快速幂的实现：

  1. 递归实现
  2. 循环实现

本题将递归实现：
例子：当我们要求 316：

  • 就是将 316 不断的对半看（具体如下图）
    先求出 38 这样 38 * 38 = 316 同理 38 = 34 * 34 。。。
    在这里插入图片描述
  • 其中暴力解法要求 16 次，而使用这种方法只用求logn次
  • 附：当 n 为奇数时：多乘一个自身即可
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  1. 相同子问题 -->函数头
    • 求一个 x的n次幂 ==> pow(x,n)
  2. 只关心每个子问题做了什么 – > 函数体
    • 其中需要 判断 n 的奇偶性
    • 通过递归获取自身的值，并且判断奇偶性得出是否要多乘1位
  3. 递归出口
    • 当 n == 0 时返回1（这样上层 n = 1 处等于 1 * x（1 * 1 * x））
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      特殊情况：
  • n 为负数：
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  • n 可能是 -231 当变成整数就可能越界，所以得使用long long（整形的范围是 -231 ~ 231 - 1）
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题解核心逻辑：

  • 其中注意 -(long long)n 这里的操作：它是将 n 的类型转换成了long long（并且不能写在-前面，只能挨着n）
  • 只有这样当 n = -231 时强转为正数后就不会溢出
class Solution {
public:double myPow(double x, int n) {//递归实现：//将 x^n 看成 x^(n/2) * x^(n/2) ...return n >= 0 ? pow(x,n) : 1/pow(x,-(long long)n);}double pow(double x,long long n){if(n == 0) return 1;double tmp= myPow(x,n/2);return n % 2 == 0 ? tmp * tmp : tmp * tmp * x;}
};

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一般情况下&#xff0c;爬虫会使用云服务器来运行&#xff0c;这样可以保证爬虫24h不间断运行。但是如何把爬虫放到云服务器上面去呢&#xff1f;有人说用FTP&#xff0c;有人说用Git&#xff0c;有人说用Docker。但是它们都有很多问题。 FTP&#xff1a;使用FTP来上传…...

编程日记 2025/8/30 21:07:25

基于51单片机和8X8点阵屏、独立按键的单人弹球小游戏

目录 系列文章目录前言一、效果展示二、原理分析三、各模块代码1、8X8点阵屏2、独立按键3、定时器04、定时器1 四、主函数总结 系列文章目录 前言 用的是普中A2开发板&#xff0c;用到板上的独立按键、8X8点阵屏。 【单片机】STC89C52RC 【频率】12T11.0592MHz 效果查看/操作…...

编程日记 2025/8/29 12:01:11

群体智能避障革命：RVO算法在Unity中的深度实践与优化

引言&#xff1a;游戏群体移动的挑战与进化 在《全面战争》中万人战场恢弘列阵&#xff0c;在《刺客信条》闹市里人群自然涌动&#xff0c;这些令人惊叹的场景背后&#xff0c;都离不开一个关键技术——群体动态避障。传统路径规划算法&#xff08;如A*&#xff09;虽能解决单…...

编程日记 2025/8/29 15:05:35

Java 实现选择排序：[通俗易懂的排序算法系列之一]

引言 大家好&#xff01;从今天开始&#xff0c;我计划写一个关于常见排序算法的系列文章&#xff0c;旨在用通俗易懂的方式&#xff0c;结合 Java 代码实现&#xff0c;帮助大家理解和掌握这些基础但非常重要的数据结构与算法知识。 排序是计算机科学中最基本的操作之一&…...

编程日记 2025/8/31 9:48:22

动画过渡设置

使用Animator的Trigger参数 步骤 1&#xff1a;打开 Animator 窗口 确保你的 Sprite 对象已添加 Animator 组件。 在 Unity 编辑器顶部菜单栏&#xff0c;选择 Window > Animation > Animator&#xff0c;打开 Animator 窗口。 步骤 2&#xff1a;创建 Trigger 参数 在…...

编程日记 2025/9/1 1:22:12

【项目管理-高项】学习方法 整体概览

相关文档&#xff0c;希望互相学习&#xff0c;共同进步 风123456789&#xff5e;-CSDN博客 1.背景 &#x1f4dd; 软考高项,全称 信息系统项目管理师 ,是软考高级资格项目之一。 本考试考三门科目&#xff1a;综合知识&#xff08;上午&#xff09;、案例分析&#xff08;下午…...

编程日记 2025/8/29 3:47:38

HarmonyOS应用开发者高级-编程题-001

题目一&#xff1a;跨设备分布式数据同步 需求描述 开发一个分布式待办事项应用&#xff0c;要求&#xff1a; 手机与平板登录同一华为账号时&#xff0c;自动同步任务列表任一设备修改任务状态&#xff08;完成/删除&#xff09;&#xff0c;另一设备实时更新任务数据在设备…...

编程日记 2025/8/29 7:41:20

HarmonyOS-ArkUI Ability进阶系列-UIAbility与各类Context

UIAbility及相关类关系 一个模块编译的时候会出一个HAP包&#xff0c; 每一个HAP包在运行时都对应一个AbilityStage。 AbilityStage持有一个AbilityStageContext一个APP&#xff0c; 有时候会有很多个HAP包&#xff0c; 至少一个。 一个APP运行时&#xff0c;对应的是我们的App…...

编程日记 2025/8/30 13:22:29

接口并行执行且流式顺序输出的解决方案

接口并行执行且流式顺序输出的解决方案： import asyncio from aiotas_agi2all_llms_utils.output_answer_from_ask_question_results import (reasoning_model_ask_question, ) import os from aiotas_agi2all_llms_utils.logging_utils import create_logger import uuid fr…...

编程日记 2025/8/28 1:38:39

浅谈AI - DeepSpeed - 单卡慎用！

前言 曾在游戏世界挥洒创意&#xff0c;也曾在前端和后端的浪潮间穿梭&#xff0c;如今&#xff0c;而立的我仰望AI的璀璨星空&#xff0c;心潮澎湃&#xff0c;步履不停&#xff01;愿你我皆乘风破浪&#xff0c;逐梦星辰&#xff01; 简介 Deepspeed 的 ZeRO&#xff08;Ze…...

编程日记 2025/8/31 20:46:31

Java Web从入门到精通：全面探索与实战（一）

目录 引言&#xff1a;开启 Java Web 之旅​ 一、Java Web 基础概念大揭秘​ 1.1 什么是 Java Web​ 1.2 Java Web 的优势剖析​ 1.3 Java Web 相关核心概念详解 二、搭建 Java Web 开发环境&#xff1a;步步为营 2.1 所需软件大盘点​ 2.2 软件安装与配置全流程​ 三…...

编程日记 2025/8/28 4:08:23

5G从专家到小白

文章目录 第五代移动通信技术&#xff08;5G&#xff09;简介应用场景 数据传输率带宽频段频段 VS 带宽中低频&#xff08;6 GHz以下&#xff09;&#xff1a;覆盖范围广、穿透力强高频&#xff08;24 GHz以上&#xff09;&#xff1a;满足在热点区域提升容量的需求毫米波热点区…...

编程日记 2025/8/28 6:52:51

leetcode111 二叉树的最小深度

相对于 104.二叉树的最大深度 &#xff0c;本题还也可以使用层序遍历的方式来解决&#xff0c;思路是一样的。 最小深度的定义&#xff1a;从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。 特别注意&#xff1a; 如果一个子树不存在&#xff0c;就不能用它来计算深度&#x…...

编程日记 2025/8/28 3:30:33

算法设计学习10

实验目的及要求&#xff1a; 本查找实验旨在使学生深入了解不同查找算法的原理、性能特征和适用场景&#xff0c;培养其在实际问题中选择和应用查找算法的能力。通过实验&#xff0c;学生将具体实现多种查找算法&#xff0c;并通过性能测试验证其在不同数据集上的表现&#xff…...

编程日记 2025/8/27 18:30:36

数字统计题解

题目理解 题目要求计算所有不大于 N 的非负整数中数字 D 出现的总次数。例如&#xff0c;当 D1 且 N12 时&#xff0c;数字1出现在1、10、11&#xff08;两次&#xff09;、12中&#xff0c;共5次。 输入输出分析 输入格式&#xff1a; 两个正整数 D 和 N&#xff0c;其中1≤…...

编程日记 2025/8/29 0:12:50

eclipse导入工程提示Project has no explicit encoding set

eclipse导入工程提示Project has no explicit encoding set-CSDN博客...

编程日记 2025/8/27 17:46:03

【网络安全论文】筑牢局域网安全防线：策略、技术与实战分析

【网络安全论文】筑牢局域网安全防线：策略、技术与实战分析 简述一、引言1.1 研究背景1.2 研究目的与意义1.3 国内外研究现状1.4 研究方法与创新点二、局域网网络安全基础理论2.1 局域网概述2.1.1 局域网的定义与特点2.1.2 局域网的常见拓扑结构2.2 网络安全基本概念2.2.1 网络…...

编程日记 2025/8/29 3:03:02

JVM虚拟机篇（五）：深入理解Java类加载器与类加载机制

深入理解Java类加载器与类加载机制 深入理解Java类加载器与类加载机制一、引言二、类加载器2.1 类加载器的定义2.2 类加载器的分类2.2.1 启动类加载器&#xff08;Bootstrap ClassLoader&#xff09;2.2.2 扩展类加载器&#xff08;Extension ClassLoader&#xff09;2.2.3 应用…...

编程日记 2025/8/29 10:14:48

纯个人整理，蓝桥杯使用的算法模板day4（图论 最小生成树问题），手打个人理解注释，超全面，且均已验证成功（附带详细手写“模拟流程图”，全网首个

目录 最小生成树Prim代码模拟流程图 kruskal代码 代码对应实现案例 最小生成树 最小生成树&#xff1a;在无向图中求一棵树&#xff08;n-1条边&#xff0c;无环&#xff0c;连通所有点&#xff09;&#xff0c;而且这棵树的边权和最小 &#xff08;ps&#xff1a;可能结果不止…...

编程日记 2025/8/28 20:07:44

学习笔记，DbContext context 对象是保存了所有用户对象吗

DbContext 并不会将所有用户对象保存在内存中&#xff1a; DbContext 是 Entity Framework Core (EF Core) 的数据库上下文&#xff0c;它是一个数据库访问的抽象层它实际上是与数据库的一个连接会话&#xff0c;而不是数据的内存缓存当您通过 _context.Users 查询数据时&…...

编程日记 2025/8/18 0:22:10

Kafka 和 Flink的讲解

一、Kafka&#xff1a;分布式消息队列 1. 核心概念 ​​角色​​&#xff1a;Kafka 是一个分布式、高吞吐量的​​消息队列​​&#xff08;Pub-Sub 模型&#xff09;&#xff0c;用于实时传输数据流。​​关键术语​​&#xff1a; ​​Producer​​&#xff08;生产者&…...

编程日记 2025/8/29 16:29:21