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约瑟夫环的四种(数组,链表,递归,迭代)解决方案，与空间、时间复杂度分析

news 来源：原创 2025/9/9 4:31:01

以下方法均没有考虑结果集的空间与时间复杂度

1.数组解法

实现代码（未优化）

class Main {public static void main(String[] args){Scanner read = new Scanner(System.in);int n = read.nextInt();int m = read.nextInt();int[] people = new int[n]; // 初始化数组(0表示存活，1表示出局)int currentIndex = 0; // 当前指针int count = 0;        // 计数器int alive = n;        // 存活人数List<Integer> sequence = new ArrayList<>();// 用来输出出局顺序的，与算法无关
​while (alive > 0) {if (people[currentIndex] == 0) {count++;if (count == m) {people[currentIndex] = 1;       // 标记出局sequence.add(currentIndex + 1); // 记录编号（这里加一是因为编号是从1开始，而数组是从0开始）count = 0;                      // 重新计数alive--;}}currentIndex = (currentIndex + 1) % n; // 模拟环形移动}
​// 输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {if (i != 0) {System.out.print(" ");}System.out.print(sequence.get(i));}}
}

这个算法就是使用程序来模拟现实实际运行的情况

思路

  • 使用数组标记人员状态（存活/出局）。

  • 通过循环遍历数组计数存活者，找到第 m 个存活者后标记为出局。

时间复杂度

  • 单次出局操作：需要遍历 m ~（m+n）个存活者(因为会遍历到已经出局的人)。

  • 总时间复杂度：需处理 n 次出局，每次遍历 m ~（m+n）次，总时间复杂度约为 O(n*m) ~ O(n*m+n²)。也就是 O(n²)，当m很大的时候（并没有规定m一定要小于n！！！），这个算法是很亏的。

空间复杂度

  • 数组需 O(n) 空间，总空间复杂度为 O(n)。

优化点

如果考虑到m很大的情况，这段代码就又可以优化了。

当m大于现存活人生时，会出现重复遍历的情况，下面举一个例子：

假设 n=5，m=7，存活人数初始为 5：

  1. 第一轮有效步数 7%5=2，第二个人出局（编号 2）。

  2. 存活人数变为 4，有效步数 7%4=3，第三个人出局（编号 5）。

  3. 存活人数变为 3，有效步数 7%3=1，第一个人出局（编号 1）。

  4. 存活人数变为 2，有效步数 7%2=1，下一个人出局（编号 3）。

  5. 最后剩下编号 4 的人，出局顺序为 2 5 1 3 4。

通过取余优化，避免了每次遍历完整的 m 次，显著提升了效率。

优化后数组解法

import java.util.*;
​
class Main {public static void main(String[] args) {Scanner read = new Scanner(System.in);int n = read.nextInt();int m = read.nextInt();int[] people = new int[n];int currentIndex = 0;int count = 0;int alive = n;List<Integer> sequence = new ArrayList<>();
​while (alive > 0) {// 计算有效步数（取余优化）int effectiveM = m % alive;if (effectiveM == 0) {effectiveM = alive;}
​if (people[currentIndex] == 0) {count++;if (count == effectiveM) { // 用有效步数代替原mpeople[currentIndex] = 1;sequence.add(currentIndex + 1);count = 0;alive--;}}currentIndex = (currentIndex + 1) % n;}
​// 输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {if (i != 0) {System.out.print(" ");}System.out.print(sequence.get(i));}}
}

优化后的时间复杂度与空间复杂度

  • 单次出局操作：经过取余操作后，有效步数的范围在 1 ~ n 之间。

  • 总时间复杂度：仍需处理 n 次出局，每次遍历 1 ~ n 次，总时间复杂度在 O(n) ~ O(n²) 之间，平均来说仍属于平方阶

  • 空间复杂度 ：总空间复杂度为 O(n)

2.链表解法

实现代码

import java.util.*;
​
class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();for (int i = 1; i <= n; i++) list.add(i);ArrayList<Integer> sequence = new ArrayList<>();int currentIndex = 0;
​while (!list.isEmpty()) {currentIndex = (currentIndex + m - 1) % list.size();sequence.add(list.remove(currentIndex));}
​// 输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {if (i != 0) System.out.print(" ");System.out.print(sequence.get(i));}}
}

思路

  • 实际上和数组解法类似，都是使用程序直接模拟实际行为。

  • 和数组不同的是，数组是使用标记来判断是否存活，而链表会将出局人移出，可以减少运行到后面的遍历数量。

时间复杂度

  • 单次删除操作：LinkedList 的 remove(int index) 方法平均需要 O(n) 时间，但是n会随着链表的缩短而减小，最终减少到1，所以单次的删除操作的时间复杂度在 O(1) ~ O(n) 。

  • 总时间复杂度：和优化后的数组类似，进行 n 次删除操作，总时间复杂度为 O(n) ~ O(n²)，仍属于平方阶

空间复杂度

  • 链表和结果列表各需 O(n) 空间，总空间复杂度为 O(n)。

3.递归解法

参考笔记

实现代码

import java.util.*;
​
class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();List<Integer> sequence = new ArrayList<>();for (int i = 1; i <= n; i++) {sequence.add(dg(n, m, i) + 1); // 加一是因为编号从 1 开始}// 输出出局顺序for (int i = 0; i < n; i++) {if (i != 0) {System.out.print(" ");}System.out.print(sequence.get(i));}}
​// 递归函数，计算第 i 轮出局的人的编号public static int dg(int n, int m, int i) {if (i == 1) {// 当只剩一个人时，直接返回最后一个人的编号（从 0 开始，所以要减1）return Math.floorMod(m - 1,n) ;//可以看作（m-1+n）% n}// 递归计算上一轮的结果，并加上 M 后取模return (dg(n - 1, m, i - 1) + m) % n;}
}

思路

  • 这段代码的解法思路就是将每一次淘汰人员都看作第一次淘汰，即下标都是从0开始

  • 递归就是为了计算淘汰出的人员的 原始下标 是多少

    新一轮中的编号：（旧一轮中的编号 - M）% 剩余人数

    eg:m=3

    因为每一次都从0开始数m个，所以将每一次的新一轮编号都减去m使其每次都是从0开始计数

    这时有人就要问了，我们在原本和谐的顺序中删除了一个2，不会使后续不连贯（少了个2，多了个9）吗？

    这就是这个 （旧一轮中的编号 - M）% 剩余人数 的妙处，他不仅能将需要约束在 0~（n-1）之间（因为淘汰了1人，9这个需要应该要剔除，最大值应该为8），还能将之前删掉的数据归入到n-1与0之间也就是8和0之间，这时候我们又能重新将其看成第一次在 n = 9，m=3 中淘汰玩家

    这就印证了递归解法的核心思路：

    • 每一次淘汰人员都看作第一次淘汰

    那么，旧一轮中的编号：（新一轮的编号 + M）% 剩余人数

    通过这个公式我们就能在每一层递归中保留上一层原始的下标

时间复杂度

  • 单次出局操作：每一次需要递归i层，i的值从1到n递增，所以单次时间复杂度在为 O(1)到O(n) 并为累加式

  • 总时间复杂度：需处理 n 次出局，每次遍历 1 ~ n 次，由等差数列求和公式可得总时间复杂度为
    O(1 + 2 + 3 + \ldots + n) = O\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)

    也就是平方阶 O(n²) 而且会比较稳定。

    如果是只计算最终幸存人员的方式就为O(n)，因为他不需要像链表与数组一样依赖其他人的淘汰状态

空间复杂度

递归解法的主要空间开销来自于递归调用栈的深度。在每次递归调用 dg(n, m, i) 时，递归的深度为 i 层（例如，当计算第 i 轮出局时，需要递归 i 次）。由于主函数中对每个 i（从 1 到 n）都调用了一次递归函数，因此最大递归深度出现在计算最后一轮（i = n）时，此时递归深度为 n 层。

因此，空间复杂度为 O(n)，由递归调用栈的最大深度决定。

4.迭代解法

实现代码

import java.util.*;
​
class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();List<Integer> sequence = new ArrayList<>();
​for (int i = 1; i <= n; i++) {int current_k = n - i + 1; // 当前剩余人数int pos = (m - 1) % current_k; // 初始位置// 逐步计算在原始环中的位置for (int j = current_k + 1; j <= n; j++) {pos = (pos + m) % j;}sequence.add(pos + 1);}
​// 输出出局顺序for (int i = 0; i < n; i++) {if (i != 0) System.out.print(" ");System.out.print(sequence.get(i));}}
}

思路

  • 迭代解法和递归解法的思路是一致的，这种简单且深度固定的递归大多都能转化为某一公式的循环调用

  • 迭代解法其实是递归解法的优化版本，递归解法存在递归调用栈的开销，可能会导致栈溢出问题。而迭代解法通过循环的方式避免了递归调用栈的使用，直接从最底层的情况开始逐步向上计算，最终得到所需的结果。

  • 迭代解法同样基于递归解法中的核心递推公式： 旧一轮中的编号 = （新一轮的编号 + M） % 剩余人数

时间复杂度

  • 计算方式和递归方式一致

  • 单次出局操作：每一次计算需要循环 i 次，i 的值从 1 到 n 递增。

  • 总时间复杂度：需处理 n 次出局，每次遍历 1 ~ n 次，由等差数列求和公式可得总时间复杂度为O(1 + 2 + 3 + \ldots + n) = O\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)也就是平方阶 O(n²) ，

  • 同理如果是只计算最终幸存人员的方式就为O(n)

空间复杂度

  • 通过数学公式直接计算，避免了递归调用栈的开销，空间复杂度为 O(1) 在实际应用中比递归解法更加稳定，尤其是在处理大规模数据时。

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编程日记 2025/9/9 0:48:09

VSCode开发者工具快捷键

自动生成浏览器文件.html的快捷方式 在文本里输入&#xff1a; &#xff01; enter VSCode常用快捷键列表 代码格式化&#xff1a;Shift Alt F向上或向下移动一行&#xff1a;Alt Up 或者 Alt Down快速复制一行代码&#xff1a;Shift Alt Up 或者 Shift Alt Down快速保…...

编程日记 2025/9/8 14:05:10

AI助力PPT制作，让演示变得轻松高效

AI助力PPT制作&#xff0c;让演示变得轻松高效&#xff01;随着科技的进步&#xff0c;AI技术早已渗透到各行各业&#xff0c;特别是在办公领域&#xff0c;AI制作PPT已不再是未来的梦想&#xff0c;而是现实的工具。以前你可能需要花费数小时来制作一个完美的PPT&#xff0c;如…...

编程日记 2025/9/4 21:40:41

行业专家视角下的技术选型与任务适配深度解析

行业专家视角下的技术选型与任务适配深度解析 一、任务属性与技术栈的映射逻辑 &#xff08;1&#xff09;学术类项目需优先考虑技术严谨性、可复现性和理论深度&#xff1a; 机器学习模型开发&#xff1a;PyTorchJupyterMLflow形成完整实验闭环&#xff0c;TensorFlow Exte…...

编程日记 2025/9/7 18:11:55

从零构建大语言模型全栈开发指南：第五部分：行业应用与前沿探索-5.2.1模型偏见与安全对齐（Red Teaming实践）

👉 点击关注不迷路 👉 点击关注不迷路 👉 点击关注不迷路 文章大纲 大语言模型全栈开发指南：伦理与未来趋势 - 第五部分：行业应用与前沿探索5.2.1 模型偏见与安全对齐（Red Teaming实践）一、模型偏见的来源与影响1. 偏见的定义与分类2. 偏见的实际影响案例二、安全对齐…...

编程日记 2025/9/4 3:18:36

JUC系列JMM学习之随笔

JUC: JUC 是 Java 并发编程的核心工具包，全称为 Java Util Concurrent，是 java.util.concurrent 包及其子包的简称。它提供了一套强大且高效的并发编程工具，用于简化多线程开发并提高性能。 CPU核心数和线程数的关系：1核处理1线程（同一时间单次） CPU内核结构： 工作内…...

编程日记 2025/9/2 17:00:21

OpenRouter开源的AI大模型路由工具，统一API调用

简介 ‌OpenRouter是一个开源的路由工具‌&#xff0c;它可以绕过限制调用GPT、Claude等国外模型。以下是对它的详细介绍&#xff1a; 一、主要功能 OpenRouter专注于将用户请求智能路由到不同的AI模型&#xff0c;并提供统一的访问接口。它就像一个“路由器”&#xff0c;能…...

编程日记 2025/9/1 17:54:12

3.9/Q2，Charls最新文章解读

文章题目&#xff1a;Association between remnant cholesterol and depression in middle-aged and older Chinese adults: a population-based cohort study DOI&#xff1a;10.3389/fendo.2025.1456370 中文标题&#xff1a;中国中老年人残留胆固醇与抑郁症的关系&#xff1…...

编程日记 2025/9/5 18:23:34

水下图像增强与目标检测：标签缺失的“锅”？

水下图像增强与目标检测&#xff1a;标签缺失的“锅”&#xff1f; 在水下计算机视觉领域&#xff0c;图像增强和目标检测一直是研究热点。然而&#xff0c;一个有趣的现象引起了研究者的关注&#xff1a;在某些情况下&#xff0c;增强后的水下图像用于目标检测时&#xff0c;…...

编程日记 2025/9/7 18:48:51

从扩展黎曼泽塔函数构造物质和时空的结构-13

得到这些数据到底有什么用呢&#xff1f;无非都是振动&#xff0c;只有频率不同。电性振动和磁性振动的正交环绕关系&#xff0c;本质上只是某个虚数单位的平方倍数&#xff0c; 既然如此&#xff0c;我们就可以考虑&#xff0c;把电和磁当成同一种东西。比如通过改变真空介电常…...

编程日记 2025/9/4 17:57:34

Android学习总结之handler源码级

一、核心类关系与线程绑定&#xff08;ThreadLocal 的核心作用&#xff09; 1. Looper 与 ThreadLocal 的绑定 每个线程的 Looper 实例通过 ThreadLocal<Looper> sThreadLocal 存储&#xff0c;确保线程隔离&#xff1a; public final class Looper {// 线程本地存储&…...

编程日记 2025/9/3 14:15:57

多模态学习（八）：2022 TPAMI——U2Fusion: A Unified Unsupervised Image Fusion Network

论文链接&#xff1a;https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp&arnumber9151265 目录 一.摘要 1.1 摘要翻译 1.2 摘要解析 二.Introduction 2.1 Introduciton翻译 2.2 Introduction 解析 三. related work 3.1 related work翻译 3.2 relate work解析 四…...

编程日记 2025/9/8 10:16:54