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在未归一化的线性回归模型中，特征的尺度差异可能导致模型对特征重要性的误判

news 来源：原创 2025/5/8 17:42:38

通过数学公式来更清晰地说明归一化对模型的影响，以及它如何改变特征的重要性评估。

1. 未归一化的情况

假设我们有一个线性回归模型：
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \epsilon y=β0​+β1​x1​+β2​x2​+ϵ
其中：

  • x 1 x_1 x1​ 和 ( x 2 x_2 x2​) 是两个特征（如面积和卧室数量），
  • ( β 1 \beta_1 β1​) 和 ( β 2 \beta_2 β2​) 是对应的系数，
  • ( y y y) 是目标变量（如房价），
  • ( ϵ \epsilon ϵ) 是误差项。
特征范围的影响
  • 假设 ( x 1 x_1 x1​) 的范围是 ( [ a 1 , b 1 ] ([a_1, b_1] ([a1​,b1​]， x 2 x_2 x2​ 的范围是 ( [ a 2 , b 2 ] ) ([a_2, b_2]) ([a2​,b2​])。
  • 特征的范围差异会影响模型的优化过程。例如：
    • 如果 x 1 x_1 x1​ 的范围较大（如面积：50~200），而 x 2 x_2 x2​ 的范围较小（如卧室数量：1~5），那么在最小化损失函数时，模型可能会赋予 x 1 x_1 x1​ 较小的系数 β 1 \beta_1 β1​，而赋予 x 2 x_2 x2​ 较大的系数 β 2 \beta_2 β2​，以平衡两者对预测值的影响。
总影响的计算
  • 特征的总影响可以表示为：
    总影响 ( x 1 ) = ( b 1 − a 1 ) ⋅ β 1 \text{总影响}(x_1) = (b_1 - a_1) \cdot \beta_1 总影响(x1​)=(b1​−a1​)⋅β1​
    总影响 ( x 2 ) = ( b 2 − a 2 ) ⋅ β 2 \text{总影响}(x_2) = (b_2 - a_2) \cdot \beta_2 总影响(x2​)=(b2​−a2​)⋅β2​
  • 如果 b 1 − a 1 ≫ b 2 − a 2 b_1 - a_1 \gg b_2 - a_2 b1​−a1​≫b2​−a2​（即 x 1 x_1 x1​ 的范围远大于 x 2 x_2 x2​），即使 β 1 ≪ β 2 \beta_1 \ll \beta_2 β1​≪β2​， x 1 x_1 x1​ 的总影响可能仍然占据主导地位。

2. 归一化后的公式

归一化将特征缩放到相同的范围（如 [0, 1]）。归一化的公式为：
x i ′ = x i − a i b i − a i x'_i = \frac{x_i - a_i}{b_i - a_i} xi′​=bi​−ai​xi​−ai​​
其中：

  • (x’_i) 是归一化后的特征值，
  • (a_i) 和 (b_i) 分别是原始特征的最小值和最大值。

归一化后，特征的范围变为 [0, 1]，因此：
x 1 ′ ∈ [ 0 , 1 ] , x 2 ′ ∈ [ 0 , 1 ] x'_1 \in [0, 1], \quad x'_2 \in [0, 1] x1′​∈[0,1],x2′​∈[0,1]

归一化后的模型

归一化后的线性回归模型变为：
y = β 0 + β 1 ′ x 1 ′ + β 2 ′ x 2 ′ + ϵ y = \beta_0 + \beta'_1 x'_1 + \beta'_2 x'_2 + \epsilon y=β0​+β1′​x1′​+β2′​x2′​+ϵ
其中：
β 1 ′ \beta'_1 β1′​ 和 β 2 ′ \beta'_2 β2′​ 是归一化后特征的系数。

总影响的变化
  • 归一化后，特征的总影响可以直接通过系数比较：
    总影响 ( x 1 ′ ) = β 1 ′ \text{总影响}(x'_1) = \beta'_1 总影响(x1′​)=β1′​
    总影响 ( x 2 ′ ) = β 2 ′ \text{总影响}(x'_2) = \beta'_2 总影响(x2′​)=β2′​
  • 因为所有特征的范围相同（[0, 1]），所以系数的绝对值可以直接反映特征的重要性。

3. 数学推导：归一化对系数的影响

假设未归一化时的模型为：
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \epsilon y=β0​+β1​x1​+β2​x2​+ϵ

归一化后，特征 (x_1) 和 (x_2) 被替换为 (x’_1) 和 (x’_2)，即：
x 1 ′ = x 1 − a 1 b 1 − a 1 , x 2 ′ = x 2 − a 2 b 2 − a 2 x'_1 = \frac{x_1 - a_1}{b_1 - a_1}, \quad x'_2 = \frac{x_2 - a_2}{b_2 - a_2} x1′​=b1​−a1​x1​−a1​​,x2′​=b2​−a2​x2​−a2​​

代入模型：
y = β 0 + β 1 ( ( b 1 − a 1 ) x 1 ′ + a 1 ) + β 2 ( ( b 2 − a 2 ) x 2 ′ + a 2 ) + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 \left((b_1 - a_1)x'_1 + a_1\right) + \beta_2 \left((b_2 - a_2)x'_2 + a_2\right) + \epsilon y=β0​+β1​((b1​−a1​)x1′​+a1​)+β2​((b2​−a2​)x2′​+a2​)+ϵ

整理后：
y = β 0 + β 1 a 1 + β 2 a 2 + β 1 ( b 1 − a 1 ) x 1 ′ + β 2 ( b 2 − a 2 ) x 2 ′ + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 a_1 + \beta_2 a_2 + \beta_1 (b_1 - a_1) x'_1 + \beta_2 (b_2 - a_2) x'_2 + \epsilon y=β0​+β1​a1​+β2​a2​+β1​(b1​−a1​)x1′​+β2​(b2​−a2​)x2′​+ϵ

令：
β 1 ′ = β 1 ( b 1 − a 1 ) , β 2 ′ = β 2 ( b 2 − a 2 ) \beta'_1 = \beta_1 (b_1 - a_1), \quad \beta'_2 = \beta_2 (b_2 - a_2) β1′​=β1​(b1​−a1​),β2′​=β2​(b2​−a2​)

则归一化后的模型为：
y = ( β 0 + β 1 a 1 + β 2 a 2 ) + β 1 ′ x 1 ′ + β 2 ′ x 2 ′ + ϵ y = (\beta_0 + \beta_1 a_1 + \beta_2 a_2) + \beta'_1 x'_1 + \beta'_2 x'_2 + \epsilon y=(β0​+β1​a1​+β2​a2​)+β1′​x1′​+β2′​x2′​+ϵ

关键结论
  • 归一化后的系数 β 1 ′ \beta'_1 β1′​ 和 β 2 ′ \beta'_2 β2′​ 是未归一化系数 β 1 \beta_1 β1​ 和 β 2 \beta_2 β2​ 乘以各自的范围 ( b 1 − a 1 (b_1 - a_1 (b1​−a1​ 和 b 2 − a 2 b_2 - a_2 b2​−a2​。
  • 这意味着，归一化消除了特征范围对系数的影响，使得模型可以直接比较 β 1 ′ \beta'_1 β1′​和 β 2 ′ \beta'_2 β2′​来评估特征的重要性。

4. 示例

假设未归一化时：

  • 面积 x 1 x_1 x1​ 的范围是 [50, 200]，系数 β 1 = 1 \beta_1 = 1 β1​=1；
  • 卧室数量 x 2 x_2 x2​ 的范围是 [1, 5]，系数 β 2 = 100 \beta_2 = 100 β2​=100。
未归一化时的总影响

总影响 ( x 1 ) = ( 200 − 50 ) ⋅ 1 = 150 \text{总影响}(x_1) = (200 - 50) \cdot 1 = 150 总影响(x1​)=(200−50)⋅1=150
总影响 ( x 2 ) = ( 5 − 1 ) ⋅ 100 = 400 \text{总影响}(x_2) = (5 - 1) \cdot 100 = 400 总影响(x2​)=(5−1)⋅100=400
卧室数量的总影响更大。

归一化后的系数

归一化后：
β 1 ′ = β 1 ⋅ ( b 1 − a 1 ) = 1 ⋅ ( 200 − 50 ) = 150 \beta'_1 = \beta_1 \cdot (b_1 - a_1) = 1 \cdot (200 - 50) = 150 β1′​=β1​⋅(b1​−a1​)=1⋅(200−50)=150
β 2 ′ = β 2 ⋅ ( b 2 − a 2 ) = 100 ⋅ ( 5 − 1 ) = 400 \beta'_2 = \beta_2 \cdot (b_2 - a_2) = 100 \cdot (5 - 1) = 400 β2′​=β2​⋅(b2​−a2​)=100⋅(5−1)=400

此时，归一化后的系数 β 1 ′ = 150 \beta'_1 = 150 β1′​=150和 β 2 ′ = 400 \beta'_2 = 400 β2′​=400 直接反映了两者的总影响。

5. 总结

通过归一化，我们将特征的范围标准化为 [0, 1]，并重新调整了系数，使得模型能够公平地评估特征的重要性。具体来说：

  • 未归一化时，特征的总影响由范围和系数共同决定；
  • 归一化后，特征的总影响仅由系数决定，从而避免了因范围差异导致的偏差。

希望这个数学推导能帮助你更好地理解归一化的作用！

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编程日记 2025/5/6 2:26:55

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宽带阵列信号处理 空时波束形成、空时波束形成方向图 卫星导航空时抗干扰算法 MATLAB仿真 文章目录 前言一、空时波束形成结构二、空时波束形成方向图三、MATLAB仿真四、MATLAB源代码总结 前言 \;\;\;\;\; 空时波束形成&#xff08;Space-Time Beamforming&#xff09;是一种结…...

编程日记 2025/5/8 17:19:50

406. 根据身高重建队列

链接 406. 根据身高重建队列 - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; 题目 思路 可能的一个思路是先对高的人进行处理&#xff0c;这样后面插入矮的人时不会影响高的人的位置。比如&#xff0c;如果先处理高个子&#xff0c;那么当插入一个矮个子的时候&#xff0c;前面的高…...

编程日记 2025/5/8 17:35:58

机器学习：人工智能的核心驱动力

近年来&#xff0c;机器学习&#xff08;Machine Learning&#xff0c;简称ML&#xff09;已成为人工智能&#xff08;AI&#xff09;领域的核心驱动力。它不仅广泛应用于图像识别、自然语言处理、医疗诊断等领域&#xff0c;还推动了自动驾驶、智能推荐系统等前沿技术的发展。…...

编程日记 2025/5/8 17:18:24

机器视觉中的传统视觉与深度视觉

工业视觉是现代制造业中一个非常重要的应用领域&#xff0c;广泛用于产品质量检测&#xff0c;尤其是在生产线上。几乎所有的工业产品在流入市场之前&#xff0c;都要经历严格的缺陷检测环节&#xff0c;以确保它们符合质量标准。而在这一过程中&#xff0c;工业视觉检测系统发…...

编程日记 2025/5/8 17:12:01

机器学习开发全流程详解：从数据到部署的完整指南

机器学习项目的成功不仅依赖算法选择&#xff0c;更在于系统化的开发流程。本文详细拆解各阶段的核心任务、工具及注意事项&#xff0c;并通过表格总结帮助开发者快速掌握关键要点。 1. 数据获取与准备 数据是机器学习的基础&#xff0c;需确保数据的质量与代表性。 关键任务…...

编程日记 2025/5/4 17:42:12

春晚魔术[蓝桥]

这里 考虑到N很大则快速幂无法处理&#xff0c;因为它并没有被取模 欧拉定理&#xff1a; 当是质数时 是质数 两边同时取mod&#xff0c; // // Created by yumo_ // #include<bits/stdc.h>using namespace std; #define scin std::cin #define scout std::cout using …...

编程日记 2025/5/5 3:14:26

CF580B Kefa and Company（滑动窗口）

题目描述 Sergei B., the young coach of Pokemons, has found the big house which consists of n flats ordered in a row from left to right. It is possible to enter each flat from the street. It is possible to go out from each flat. Also, each flat is connecte…...

编程日记 2025/5/4 4:23:11

多模态RAG实践：如何高效对齐不同模态的Embedding空间？

目录 多模态RAG实践&#xff1a;如何高效对齐不同模态的Embedding空间&#xff1f; 一、为什么需要对齐Embedding空间&#xff1f; 二、常见的对齐方法与关键技术点 &#xff08;一&#xff09;对比学习&#xff08;Contrastive Learning&#xff09; &#xff08;二&#…...

编程日记 2025/5/8 17:22:47

linux 时钟

chronyc sourcestats 查看所有的源以及那个比较稳定 chronyc tracking 查看当前使用的是那个 ntpstat synchronised to NTP server (119.28.183.184) at stratum 3 time correct to within 57 ms polling server every 1024 s chronyc tracking | grep "Reference ID&quo…...

编程日记 2025/5/8 15:31:21

【leetcode100】每日温度

1、题目描述 给定一个整数数组 temperatures &#xff0c;表示每天的温度&#xff0c;返回一个数组 answer &#xff0c;其中 answer[i] 是指对于第 i 天&#xff0c;下一个更高温度出现在几天后。如果气温在这之后都不会升高&#xff0c;请在该位置用 0 来代替。 示例 1: 输…...

编程日记 2025/5/5 17:50:47

华为交换综合实验——VRRP、MSTP、Eth-trunk、NAT、DHCP等技术应用

一、实验拓扑 二、实验需求 1,内网Ip地址使用172.16.0.0/16分配 2,sw1和SW2之间互为备份 3, VRRP/STP/VLAN/Eth-trunk均使用 4,所有Pc均通过DHCP获取IP地址 5,ISP只能配置IP地址 6,所有电脑可以正常访问IsP路由器环回 三、需求分析 1、设备连接需求 二层交换机&#xff08;LS…...

编程日记 2025/5/5 13:29:54