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七桥问题与一笔画问题：图论的奠基石

news 来源：原创 2025/8/3 11:11:08

七桥问题与一笔画问题：图论的奠基石

历史背景

18世纪的哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是一座被普雷格尔河分割的城市，河中有两个岛屿，连接陆地和岛屿的七座桥梁构成了当时著名的"七桥问题"：能否不重复地走过所有七座桥，且只经过每座桥一次？

这个看似简单的问题引起了瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）的兴趣。1736年，欧拉发表了《哥尼斯堡的七桥》论文，不仅解决了这个具体问题，更开创了图论这一全新的数学分支。

问题描述

哥尼斯堡七桥问题可以描述为：城市被河流分为四个区域（A、B、C、D），其中A和B是两个岛屿，C和D是河的两岸。这些区域通过七座桥连接：

连接A和B的一座桥
连接A和C的两座桥
连接A和D的两座桥
连接B和C的一座桥
连接B和D的一座桥

问题是：是否存在一条路径，能恰好通过每座桥一次（不重复），可以从任意地点开始，到任意地点结束？

数学模型化

欧拉的天才之处在于将这个物理问题抽象为数学模型。他意识到关键不是区域的形状或桥的长度，而是它们的连接关系。

欧拉创造性地引入了"图"的概念：

将四个区域抽象为"顶点"（或称"节点"）
将七座桥抽象为连接顶点的"边"

这样，哥尼斯堡七桥问题就转化为：是否存在一条路径，经过图中每条边恰好一次？

欧拉的解决方案

欧拉通过仔细分析发现，当一个人穿过一座桥到达某个区域时，必须有另一座桥让他离开（除非是起点或终点）。换句话说，对于路径中的中间顶点，进入的边数必须等于离开的边数。

这意味着，除了可能的起点和终点外，每个顶点必须关联偶数条边（称为"度"）。而在哥尼斯堡的情况下：

顶点A的度为5（奇数）
顶点B的度为3（奇数）
顶点C的度为3（奇数）
顶点D的度为3（奇数）

由于所有四个顶点都有奇数度，不可能找到满足条件的路径。欧拉证明了哥尼斯堡七桥问题是不可解的。

欧拉定理及证明

通过对七桥问题的思考，欧拉提出了更一般的定理，现在被称为"欧拉定理"：

欧拉路径定理：
一个连通图存在欧拉路径（经过每条边恰好一次的路径）当且仅当图中恰好有0个或2个奇度顶点。

如果有0个奇度顶点（所有顶点度数都是偶数），则存在欧拉回路（起点和终点相同）
如果有2个奇度顶点，则存在欧拉路径，且必须以这两个奇度顶点为起点和终点

证明：

必要性：
假设存在欧拉路径。对于路径中的任意中间顶点v，每次通过v时都会消耗两条与v关联的边（一条进入，一条离开）。因此，与v关联的边数必须是偶数。

对于起点（如果与终点不同），第一步只消耗一条边离开；对于终点，最后一步只消耗一条边进入。因此，起点和终点（如果不同）必须有奇数条关联边。

综上，一个图有欧拉路径，当且仅当它最多有两个奇度顶点。

充分性：
假设连通图G有0个或2个奇度顶点。

情况1：G没有奇度顶点。从任意顶点v开始，我们可以构造一条路径。由于所有顶点度数为偶数，每次进入一个顶点后总能找到一条未使用的边离开，直到回到起点。这可能只覆盖了图的一部分边。如果还有未覆盖的边，一定存在某个已访问顶点u与未访问边相连。从u开始重复上述过程，得到一个新回路，将其与原回路合并。重复此操作直到覆盖所有边，最终得到欧拉回路。

情况2：G有两个奇度顶点u和v。在G中添加一条连接u和v的新边e，得到新图G’。按照情况1，G’存在欧拉回路。删除边e，得到G的欧拉路径。

证毕。

一笔画问题

七桥问题的推广就是著名的"一笔画问题"：能否一笔画完一个图形而不重复、不断开？

这正是在寻找图的欧拉路径。根据欧拉定理，我们可以直接判断一个图是否可以一笔画完：

图必须是连通的（否则无法完整遍历）
奇度顶点的数量必须是0或2：
- 如果是0个奇度顶点，可以从任意点开始，一笔画完后回到起点
- 如果是2个奇度顶点，必须从其中一个奇度顶点开始，在另一个奇度顶点结束

例子：

正方形：4个顶点都是偶度（每个连接2条边），可以一笔画且回到起点
五角星：5个顶点都是偶度（每个连接4条边），可以一笔画且回到起点
信封图：有2个奇度顶点，可以一笔画但不能回到起点
完全图K₅（5个顶点，每两点间都有边）：所有顶点都是偶度（每个连接4条边），可以一笔画且回到起点

寻找欧拉路径的算法

实际找到欧拉路径可以使用Fleury算法或Hierholzer算法：

Hierholzer算法（更高效）:

从适当的起点（有0个奇度顶点时任选，有2个奇度顶点时选其一）开始
任意选择边前进，每走过一条边就将其删除
当某个顶点没有未走过的边时，将该顶点加入路径
重复步骤2-3直到所有边都被走过
逆序输出路径中的顶点，即为所求欧拉路径

Fleury算法:

从适当的起点出发
每一步尽可能不选择割边（删除后会使图不连通的边）
每走过一条边就将其删除
重复直到所有边都被走过

现代应用

尽管七桥问题和一笔画问题看似简单，但其数学理论在现代有广泛应用：

路线规划：邮递员问题（中国邮递员问题）是欧拉回路问题的变种，用于优化配送路线
电路设计：印刷电路板设计中，需要找到不交叉的导线路径
DNA序列重建：生物信息学中的基因序列组装利用欧拉路径
网络设计：通信网络中的流量规划和链路优化
机器人路径规划：确保机器人能完整覆盖区域而不重复
计算机图形学：多边形描边和填充算法

总结

哥尼斯堡七桥问题不仅解决了一个具体的数学难题，更重要的是，欧拉的解决方案开创了图论这一全新的数学分支。他将物理问题抽象为数学模型的方法，对现代数学和科学产生了深远影响。

欧拉定理提供了判断图是否存在欧拉路径的简洁条件：连通图存在欧拉路径当且仅当图中恰好有0个或2个奇度顶点。这为解决各种一笔画问题提供了理论基础。

从18世纪的桥梁问题到现代科技应用，欧拉的思想展示了纯数学研究如何从简单问题出发，产生具有广泛实用价值的理论。这也是数学之美的体现：以简驭繁，见微知著。

人们常说数学是人类思维的体操，七桥问题正是这种说法的完美注脚。通过抽象思维将现实问题转化为数学模型，再通过严谨的证明得出普适性结论，最终又将这些结论应用于现实世界解决问题——这一过程正是数学之美和力量的体现。

当我们今天拿起笔，尝试一笔画出各种图形时，我们正在重现近300年前欧拉思考的问题，也在亲身体验数学的魅力。