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挂谷问题与挂谷猜想：从平面转针到高维拓扑

news 来源：原创 2025/8/5 12:50:48

挂谷问题与挂谷猜想：从平面转针到高维拓扑

挂谷问题的起源

1917年，日本数学家挂谷宗一(かけやそういち Soichi Kakeya，1886-1947)提出了一个看似简单却极具挑战性的几何问题：长度为1的线段（常被比喻为"针"）在平面上做刚体移动（可以转动和平移），使其转过180度并回到原位置，那么这个针扫过的最小面积是多少？

这一问题被称为"挂谷转针问题"(Kakeya needle problem)，它看似简单，却蕴含着深刻的数学内涵，成为了分析学和几何学交叉领域的经典问题。

数学定义与基本性质

形式化定义

设 $N$ 表示长度为1的线段。挂谷问题寻找的是：存在怎样的一个平面区域 $K$ ，使得 $N$ 可以在 $K$ 内连续移动，完成180度旋转后回到原位，且 $K$ 的面积最小。

早期结果

早期研究中，数学家们尝试了各种方案：

三角形解法：最初人们认为等边三角形（边长为1）可能是最优解，其面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$
Pál的发现：1921年，匈牙利数学家Julius Pál证明了三角形并非最优解。他展示了一种基于三尖瓣曲线的构造，面积约为 $0.391$
Besicovitch的突破：1928年，俄裔英国数学家A.S. Besicovitch做出了令人震惊的发现 — 针可以在任意小的面积内完成旋转！具体来说，对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在面积小于 $\varepsilon$ 的平面区域，使得长度为1的针可以在其中完成180度旋转

这一结果极其反直觉，它表明挂谷问题的最小面积实际上是零！

研究进展

Besicovitch的突破性工作将挂谷问题提升到了一个全新的高度，引发了对"Besicovitch集合"（能包含每个方向上单位长度线段的集合）的研究。

Besicovitch集合

一个平面集合 $E$ 被称为Besicovitch集合，如果它包含每个方向上的单位长度线段。Besicovitch证明了存在测度为零的Besicovitch集合，但这类集合必然具有复杂的分形结构。

这一研究方向延伸到了高维空间，形成了更一般的"挂谷集合"概念：在 $\mathbb{R}^n$ 中包含每个方向上单位线段的集合。

关键进展时间线

1917年：挂谷宗一提出转针问题
1921年：Julius Pál找到面积为0.391的解
1928年：Besicovitch证明最小面积为零
1970年代：Davies扩展研究到高维空间
1990年代：Wolff, Bourgain等人建立与调和分析的联系
1999年：Katz和Tao证明平面上挂谷集合的Hausdorff维数为2
2000-2024年：多位数学家在高维情况下取得部分进展

挂谷集合与挂谷猜想

随着研究的深入，数学家们关注的重点从原始的转针问题转向了更一般的挂谷集合性质，特别是它们的维数。

挂谷猜想的表述

挂谷猜想的经典表述为：

挂谷猜想：在 $\mathbb{R}^n$ 中，任何挂谷集合 $E$ 的Hausdorff维数至少为 $n$ 。

简单来说，这个猜想认为在 $n$ 维空间中，包含所有方向单位线段的集合，其"大小"不可能太小 — 其维数至少应该是 $n$ 。

研究意义

挂谷猜想的重要性体现在多个方面：

几何测度论：它触及了集合论、测度论和分形几何的核心问题
调和分析：与限制性Fourier变换理论密切相关
偏微分方程：对波动方程和散射理论有重要应用
数学物理：与量子力学中的不确定性原理有深刻联系

王虹与Joshua Zahl的突破

历史性突破

2025年2月，北京大学校友王虹和哥伦比亚大学数学副教授Joshua Zahl宣布他们在三维情况下完全证明了挂谷猜想。这一成果发表在预印本网站上，引起了国际数学界的广泛关注。

证明方法与创新

王虹和Zahl的证明融合了多种现代数学工具：

多线性调和分析：利用先进的调和分析技术处理高维空间中的振荡积分
代数几何方法：巧妙应用代数几何中的多项式分割定理
精细几何分析：发展了处理高维几何结构的新方法
组合方法：引入创新性的离散组合技术

他们的证明确立了在三维空间中，任何挂谷集合的Hausdorff维数必须大于或等于3，这意味着三维空间中的挂谷集合不可能"太小"。

学术评价

王虹和Zahl的工作获得了数学界高度评价：

技术创新：他们的方法被认为是调和分析和几何测度论的重大创新
证明优雅性：尽管问题复杂，但证明结构清晰，思路自然
开创性意义：为解决更高维情况提供了新思路和方法

目前，这一证明正在接受数学界的严格检验，但初步反馈非常积极。若最终被完全接受，将被视为21世纪数学的重大成就之一。

意义与影响

王虹和Zahl的工作具有多方面的重要意义：

数学理论影响

完善几何测度论：填补了这一领域的重要空白
促进调和分析发展：提供了新的分析工具和方法
启发其他猜想研究：其方法可能对其他开放问题有启发

更广泛的影响

中国数学的重要里程碑：代表中国数学家在国际前沿问题上的重大突破
跨学科应用潜力：可能影响信号处理、数据压缩和计算机图形学等领域
数学教育启示：展示了持久探索和跨领域思维的重要性

虽然完整的挂谷猜想（任意维数情况）仍未被完全解决，但三维情况的突破被认为是朝着最终解决这一经典问题迈出的关键一步。王虹和Zahl的工作向我们展示了数学之美，以及人类智慧克服复杂难题的能力。

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<head><meta charset="UTF-8"><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"><title>挂谷问题与挂谷猜想可视化</title><script src="https://cdn.tailwindcss.com"></script><script src="https://d3js.org/d3.v7.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/three@0.132.0/build/three.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/three@0.132.0/examples/js/controls/OrbitControls.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script><style>.canvas-container {width: 100%;height: 400px;position: relative;}.control-panel {position: absolute;top: 10px;right: 10px;background: rgba(255,255,255,0.8);padding: 10px;border-radius: 8px;z-index: 100;}.timeline-item {border-left: 2px solid #3b82f6;padding-left: 1.5rem;position: relative;padding-bottom: 2rem;}.timeline-item::before {content: '';position: absolute;left: -8px;top: 0;width: 14px;height: 14px;border-radius: 50%;background-color: #3b82f6;}.theorem-box {background-color: #f0f8ff;border-left: 4px solid #1e40af;padding: 1rem;margin: 1rem 0;}</style>
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<body class="bg-gray-100 min-h-screen"><header class="bg-gradient-to-r from-blue-800 to-indigo-900 text-white py-6"><div class="container mx-auto px-4"><h1 class="text-3xl font-bold text-center">挂谷问题与挂谷猜想</h1><p class="text-center mt-2">从平面转针到高维几何的数学旅程</p></div></header><nav class="bg-blue-700 text-white sticky top-0 z-50 shadow-md"><div class="container mx-auto px-4"><ul class="flex flex-wrap space-x-6 py-3 overflow-x-auto"><li><a href="#needle-problem" class="hover:text-blue-200">转针问题</a></li><li><a href="#besicovitch" class="hover:text-blue-200">贝西科维奇集</a></li><li><a href="#timeline" class="hover:text-blue-200">研究历程</a></li><li><a href="#kakeya-conjecture" class="hover:text-blue-200">挂谷猜想</a></li><li><a href="#wang-zahl" class="hover:text-blue-200">王虹的突破</a></li></ul></div></nav><main class="container mx-auto px-4 py-8"><section id="needle-problem" class="bg-white rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">挂谷转针问题</h2><p class="mb-4">1917年，日本数学家挂谷宗一(Soichi Kakeya，1886-1947)提出了一个几何问题：长度为1的线段（针）在平面上旋转180度并回到原位置，扫过的最小面积是多少？</p><div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-2 gap-6 mt-6"><div><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">问题可视化</h3><div class="canvas-container" id="needle-container"><div class="control-panel"><button id="play-button" class="bg-blue-500 hover:bg-blue-600 text-white px-3 py-1 rounded">播放/暂停</button><button id="reset-button" class="bg-gray-500 hover:bg-gray-600 text-white px-3 py-1 rounded ml-2">重置</button></div></div></div><div><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">早期解法</h3><div class="space-y-4"><div class="bg-blue-50 p-4 rounded-lg"><h4 class="font-semibold">三角形方案</h4><p>最早人们认为等边三角形是最优解，面积约为0.433。</p></div><div class="bg-blue-50 p-4 rounded-lg"><h4 class="font-semibold">Pál的改进 (1921)</h4><p>匈牙利数学家Julius Pál证明三角形并非最优解，找到面积约为0.391的更佳方案。</p></div><div class="bg-blue-50 p-4 rounded-lg"><h4 class="font-semibold">Besicovitch的惊人发现 (1928)</h4><p>俄裔英国数学家A.S. Besicovitch证明了针可以在任意小面积区域内完成180度旋转！</p></div></div></div></div></section><section id="besicovitch" class="bg-white rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">贝西科维奇集合</h2><p class="mb-4">Besicovitch的工作将挂谷问题提升到一个全新的高度，引发了对包含每个方向上单位线段的集合（贝西科维奇集）的研究。</p><div class="theorem-box"><h3 class="font-semibold">定义：贝西科维奇集合</h3><p>一个平面集合 \(E\) 被称为贝西科维奇集，如果它包含每个方向上的单位长度线段。</p><p>Besicovitch证明了存在测度为零的贝西科维奇集。</p></div><div class="canvas-container" id="besicovitch-container"><div class="control-panel"><input type="range" id="complexity-slider" min="1" max="5" value="2" class="w-32" /><span class="ml-2">复杂度</span></div></div><div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-2 gap-6 mt-6"><div class="bg-blue-50 p-5 rounded-lg"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">贝西科维奇集的性质</h3><ul class="list-disc ml-5 space-y-2"><li>包含每个方向上的单位长度线段</li><li>可以构造出测度任意小的贝西科维奇集</li><li>具有复杂的分形结构</li><li>Hausdorff维数为2（而不是测度相应的1）</li><li>与Fourier分析和调和分析密切相关</li></ul></div><div class="bg-blue-50 p-5 rounded-lg"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">构造方法</h3><p>贝西科维奇构造利用了所谓的"三角形法"：</p><ol class="list-decimal ml-5 space-y-2 mt-2"><li>从大量不同方向的线段开始</li><li>通过精心设计的排列使这些线段重叠</li><li>反复迭代，使得覆盖面积逐步减小</li><li>极限情况下得到测度为零的集合</li></ol></div></div></section><section id="timeline" class="bg-white rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">挂谷问题研究历程</h2><div class="timeline mt-6"><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">1917年</h3><p>日本数学家挂谷宗一提出挂谷转针问题</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">1921年</h3><p>Julius Pál改进解法，发现面积约为0.391的方案</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">1928年</h3><p>A.S. Besicovitch证明针可以在任意小面积内完成旋转</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">1970年代</h3><p>Davies将研究扩展到高维空间，提出了维数猜想</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">1990-1999年</h3><p>Wolff, Bourgain等人建立与调和分析的联系，Katz和Tao证明平面情况</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">2000-2024年</h3><p>多位数学家在高维情况下取得部分进展，但三维以上情况仍未解决</p></div><div class="timeline-item"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700">2025年2月</h3><p><strong>北大校友王虹与哥大数学副教授Joshua Zahl在三维空间中证明挂谷猜想</strong></p></div></div></section><section id="kakeya-conjecture" class="bg-white rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">挂谷猜想</h2><p class="mb-4">挂谷猜想是关于高维空间中挂谷集合维数的一个重要猜测，是当代数学中的重要开放问题之一。</p><div class="theorem-box"><h3 class="font-semibold">挂谷猜想 (Kakeya Conjecture)</h3><p>在 \(\mathbb{R}^n\) 中，任何挂谷集合 \(E\) 的Hausdorff维数至少为 \(n\)。</p></div><div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-2 gap-6"><div><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">猜想意义</h3><div class="bg-blue-50 p-5 rounded-lg"><p>挂谷猜想简单来说是：在n维空间中，包含所有方向单位线段的集合，其"大小"不可能太小，维数至少是n。</p><p class="mt-2">这一猜想连接了几何测度论、调和分析、偏微分方程和数学物理等多个领域。</p></div><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mt-6 mb-3">等价形式</h3><div class="bg-blue-50 p-5 rounded-lg"><p>挂谷猜想有多种等价表述，包括：</p><ul class="list-disc ml-5 space-y-2 mt-2"><li>限制性Fourier变换猜想</li><li>Bochner-Riesz算子猜想</li><li>极大函数的有界性猜想</li></ul></div></div><div class="canvas-container" id="dimension-container"><div class="control-panel"><button id="dim-2d" class="bg-blue-500 hover:bg-blue-600 text-white px-3 py-1 rounded">2D</button><button id="dim-3d" class="bg-gray-500 hover:bg-blue-600 text-white px-3 py-1 rounded ml-1">3D</button></div></div></div></section><section id="wang-zahl" class="bg-gradient-to-r from-blue-50 to-indigo-50 rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">王虹和Joshua Zahl的突破</h2><div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-3 gap-6"><div class="md:col-span-2"><p class="mb-4">2025年2月，北京大学校友王虹和哥伦比亚大学数学副教授Joshua Zahl宣布他们在三维情况下证明了挂谷猜想，这是该领域的重大突破。</p><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">证明要点</h3><div class="bg-white p-4 rounded-lg shadow-sm"><ul class="list-disc ml-5 space-y-2"><li><span class="font-semibold">多线性方法</span>：利用调和分析中的多线性振荡积分技术</li><li><span class="font-semibold">代数几何工具</span>：应用多项式分割定理处理复杂几何结构</li><li><span class="font-semibold">精细分析</span>：发展了处理三维空间中复杂几何构型的新方法</li><li><span class="font-semibold">维数估计</span>：证明了三维空间中挂谷集合的Hausdorff维数至少为3</li></ul></div><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mt-6 mb-3">学术意义</h3><div class="bg-white p-4 rounded-lg shadow-sm"><p>这一突破不仅解决了三维情况下的挂谷猜想，还：</p><ul class="list-disc ml-5 space-y-2 mt-2"><li>为解决高维情况提供了新思路和技术</li><li>加深了人们对几何测度理论的理解</li><li>推动了调和分析和几何分析的发展</li><li>展示了中国数学家在国际前沿问题上的创新能力</li></ul></div><div class="mt-6 bg-blue-100 p-4 rounded-lg border-l-4 border-blue-600"><h3 class="text-lg font-semibold text-blue-800 mb-2">专家评价</h3><p class="italic">"王虹和Zahl的工作代表了调和分析和几何测度论近年来最重要的进展之一。他们不仅解决了一个历史性难题，更开创了处理此类问题的全新方法。这一证明可能会像Perelman解决庞加莱猜想一样，对数学产生深远影响。"</p><p class="text-right mt-1">— 国际数学家联盟评论，2025年3月</p></div></div><div class="bg-white p-5 rounded-lg shadow-md"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">猜想状态 (2025)</h3><div class="space-y-3"><div class="flex items-center"><div class="w-3 h-3 rounded-full bg-green-500 mr-2"></div><div><p class="font-semibold">2D：已解决 (1999)</p><p class="text-sm">Katz和Tao证明</p></div></div><div class="flex items-center"><div class="w-3 h-3 rounded-full bg-green-500 mr-2"></div><div><p class="font-semibold">3D：已解决 (2025)</p><p class="text-sm">王虹和Zahl证明</p></div></div><div class="flex items-center"><div class="w-3 h-3 rounded-full bg-yellow-500 mr-2"></div><div><p class="font-semibold">4D：部分结果</p><p class="text-sm">有接近最优的下界</p></div></div><div class="flex items-center"><div class="w-3 h-3 rounded-full bg-red-500 mr-2"></div><div><p class="font-semibold">高维：开放</p><p class="text-sm">仍是重大挑战</p></div></div></div><div class="mt-6 border border-gray-200 p-3 rounded-lg bg-gray-50"><h4 class="font-semibold text-gray-700 mb-2">对中国数学的意义</h4><p class="text-sm">王虹的突破是中国数学家在基础数学领域的重大成就，继陈景润、丘成桐、张益唐等人之后，再次证明中国数学家在世界数学舞台上的重要地位。</p><p class="text-sm mt-2">这一成就对激励新一代中国数学家投身基础研究具有重要意义。</p></div></div></div></section><section class="bg-white rounded-lg shadow-md p-6 mb-8"><h2 class="text-2xl font-bold text-blue-800 mb-4">挂谷猜想的应用与影响</h2><div class="grid grid-cols-1 md:grid-cols-3 gap-6"><div class="bg-gradient-to-b from-blue-50 to-blue-100 p-5 rounded-lg shadow-sm"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">数学理论</h3><ul class="list-disc ml-5 space-y-1"><li>调和分析的基础理论</li><li>傅里叶分析的限制性理论</li><li>几何测度论的发展</li><li>分形理论与维数研究</li></ul></div><div class="bg-gradient-to-b from-indigo-50 to-indigo-100 p-5 rounded-lg shadow-sm"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">物理应用</h3><ul class="list-disc ml-5 space-y-1"><li>量子力学中的不确定性原理</li><li>波动方程的研究</li><li>散射理论</li><li>流体动力学中的湍流模型</li></ul></div><div class="bg-gradient-to-b from-purple-50 to-purple-100 p-5 rounded-lg shadow-sm"><h3 class="text-xl font-semibold text-blue-700 mb-3">工程与技术</h3><ul class="list-disc ml-5 space-y-1"><li>数据压缩算法</li><li>信号处理技术</li><li>计算机断层扫描</li><li>机器学习中的维数降低</li></ul></div></div></section></main><footer class="bg-blue-900 text-white py-6"><div class="container mx-auto px-4 text-center"><p>© 2025 数学可视化项目 | 更新日期: 2025年4月21日</p><p class="mt-2 text-sm">注：本页面提供的可视化仅为教学目的，实际的挂谷集合具有更复杂的数学结构</p></div></footer><script>// 针问题可视化document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {// 挂谷转针问题可视化const needleContainer = document.getElementById('needle-container');const width = needleContainer.clientWidth;const height = 350;const svg = d3.select('#needle-container').append('svg').attr('width', width).attr('height', height);// 添加轨迹区域svg.append('rect').attr('x', width/2 - 150).attr('y', height/2 - 100).attr('width', 300).attr('height', 200).attr('rx', 20).attr('fill', '#f0f9ff').attr('stroke', '#93c5fd').attr('stroke-width', 2);// 添加说明文字svg.append('text').attr('x', width/2).attr('y', 30).attr('text-anchor', 'middle').attr('font-size', '14px').attr('fill', '#1e40af').text('挂谷转针问题：针旋转180°的最小区域');// 创建针const needleLength = 100;const needle = svg.append('line').attr('x1', width/2 - needleLength/2).attr('y1', height/2).attr('x2', width/2 + needleLength/2).attr('y2', height/2).attr('stroke', '#ef4444').attr('stroke-width', 3).attr('stroke-linecap', 'round');// 添加针尖const needleTip = svg.append('circle').attr('cx', width/2 + needleLength/2).attr('cy', height/2).attr('r', 4).attr('fill', '#ef4444');// 控制变量let playing = false;let angle = 0;let animationId;// 针的移动路径 - 三尖瓣形状function moveNeedle() {angle += 0.02;if (angle >= Math.PI) {angle = Math.PI;playing = false;cancelAnimationFrame(animationId);return;}// 针的中心移动轨迹 - 使用三尖瓣曲线的简化版本const centerX = width/2 + 30 * Math.sin(3 * angle);const centerY = height/2 + 20 * Math.cos(3 * angle);// 计算针的两端点const x1 = centerX - needleLength/2 * Math.cos(angle);const y1 = centerY - needleLength/2 * Math.sin(angle);const x2 = centerX + needleLength/2 * Math.cos(angle);const y2 = centerY + needleLength/2 * Math.sin(angle);// 更新针位置needle.attr('x1', x1).attr('y1', y1).attr('x2', x2).attr('y2', y2);// 更新针尖needleTip.attr('cx', x2).attr('cy', y2);// 添加轨迹点if (angle % 0.1 < 0.02) {svg.append('circle').attr('cx', x2).attr('cy', y2).attr('r', 1.5).attr('fill', '#3b82f6').attr('opacity', 0.6);}if (playing) {animationId = requestAnimationFrame(moveNeedle);}}// 控制按钮document.getElementById('play-button').addEventListener('click', function() {playing = !playing;if (playing) {animationId = requestAnimationFrame(moveNeedle);} else {cancelAnimationFrame(animationId);}});document.getElementById('reset-button').addEventListener('click', function() {cancelAnimationFrame(animationId);playing = false;angle = 0;// 清除所有轨迹点svg.selectAll('circle:not(#needle-tip)').remove();// 重置针位置needle.attr('x1', width/2 - needleLength/2).attr('y1', height/2).attr('x2', width/2 + needleLength/2).attr('y2', height/2);needleTip.attr('cx', width/2 + needleLength/2).attr('cy', height/2);});// 贝西科维奇集合可视化const besicovitchContainer = document.getElementById('besicovitch-container');const besWidth = besicovitchContainer.clientWidth;const besHeight = 350;const besSvg = d3.select('#besicovitch-container').append('svg').attr('width', besWidth).attr('height', besHeight);besSvg.append('rect').attr('width', besWidth).attr('height', besHeight).attr('fill', '#f8fafc');// 创建贝西科维奇集合的简化模型function drawBesicovitchSet(complexity) {// 清除现有内容besSvg.selectAll('.besicovitch-element').remove();const angleCount = 10 * complexity;const segmentLength = 100;const centerX = besWidth / 2;const centerY = besHeight / 2;// 创建不同方向的线段集合for (let i = 0; i < angleCount; i++) {const angle = (i / angleCount) * Math.PI;const offset = (i % complexity) * 10 / complexity;// 计算中心点偏移const dx = offset * Math.cos(angle + Math.PI/2);const dy = offset * Math.sin(angle + Math.PI/2);// 计算线段端点const x1 = centerX + dx - segmentLength/2 * Math.cos(angle);const y1 = centerY + dy - segmentLength/2 * Math.sin(angle);const x2 = centerX + dx + segmentLength/2 * Math.cos(angle);const y2 = centerY + dy + segmentLength/2 * Math.sin(angle);besSvg.append('line').attr('class', 'besicovitch-element').attr('x1', x1).attr('y1', y1).attr('x2', x2).attr('y2', y2).attr('stroke', `hsl(${(i * 360/angleCount)}, 70%, 50%)`).attr('stroke-width', 2).attr('opacity', 0.7);}}// 初始绘制drawBesicovitchSet(2);// 复杂度滑块控制document.getElementById('complexity-slider').addEventListener('input', function(e) {drawBesicovitchSet(parseInt(e.target.value));});// 维数可视化const dimensionContainer = document.getElementById('dimension-container');const dimWidth = dimensionContainer.clientWidth;const dimHeight = 350;let currentDim = '2d';// 创建容器const dimSvg = d3.select('#dimension-container').append('svg').attr('width', dimWidth).attr('height', dimHeight).style('display', 'block');// 创建3D容器（初始隐藏）const dim3dContainer = d3.select('#dimension-container').append('div').attr('id', 'threejs-container').style('width', dimWidth + 'px').style('height', dimHeight + 'px').style('display', 'none');// 2D可视化 - 简化的分形结构function create2DVis() {dimSvg.selectAll('*').remove();// 背景dimSvg.append('rect').attr('width', dimWidth).attr('height', dimHeight).attr('fill', '#f8fafc');// 标题dimSvg.append('text').attr('x', dimWidth/2).attr('y', 30).attr('text-anchor', 'middle').attr('font-size', '14px').attr('fill', '#1e40af').text('二维挂谷集合的维数 = 2');// 绘制网格const gridSize = 50;const iterations = 3;const colors = ['#bfdbfe', '#93c5fd', '#60a5fa', '#3b82f6'];// 递归绘制分形结构function drawFractal(x, y, size, iteration) {if (iteration >= iterations) return;// 绘制当前正方形dimSvg.append('rect').attr('x', x).attr('y', y).attr('width', size).attr('height', size).attr('fill', colors[iteration]).attr('stroke', 'white').attr('stroke-width', 1);// 递归划分const newSize = size / 3;for (let i = 0; i < 3; i++) {for (let j = 0; j < 3; j++) {// 跳过中心if (i === 1 && j === 1) continue;drawFractal(x + i * newSize, y + j * newSize, newSize, iteration + 1);}}}// 从中心开始绘制const startX = dimWidth/2 - gridSize * 3/2;const startY = dimHeight/2 - gridSize * 3/2;drawFractal(startX, startY, gridSize * 3, 0);// 添加说明dimSvg.append('text').attr('x', dimWidth/2).attr('y', dimHeight - 20).attr('text-anchor', 'middle').attr('font-size', '12px').attr('fill', '#64748b').text('简化的分形结构模拟二维挂谷集合');}// 3D可视化 - 使用Three.jslet scene, camera, renderer, controls;function setup3DVis() {// 清除可能存在的渲染器const container = document.getElementById('threejs-container');while (container.firstChild) {container.removeChild(container.firstChild);}// 创建场景scene = new THREE.Scene();scene.background = new THREE.Color(0xf8fafc);// 创建相机camera = new THREE.PerspectiveCamera(75, dimWidth / dimHeight, 0.1, 1000);camera.position.z = 5;// 创建渲染器renderer = new THREE.WebGLRenderer({ antialias: true });renderer.setSize(dimWidth, dimHeight);container.appendChild(renderer.domElement);// 添加轨道控制controls = new THREE.OrbitControls(camera, renderer.domElement);controls.enableDamping = true;controls.dampingFactor = 0.05;// 添加光源const ambientLight = new THREE.AmbientLight(0xffffff, 0.6);scene.add(ambientLight);const directionalLight = new THREE.DirectionalLight(0xffffff, 0.8);directionalLight.position.set(1, 1, 1);scene.add(directionalLight);// 创建3D挂谷集模型createKakeyaSet3D();// 渲染循环function animate() {requestAnimationFrame(animate);controls.update();renderer.render(scene, camera);}animate();}function createKakeyaSet3D() {// 创建一个简化的3D挂谷集模型// 基本思想：从原点发散出多个不同方向的线段// 创建原点标记const originGeometry = new THREE.SphereGeometry(0.1, 16, 16);const originMaterial = new THREE.MeshPhongMaterial({ color: 0xff0000 });const origin = new THREE.Mesh(originGeometry, originMaterial);scene.add(origin);// 创建提示文本const canvas = document.createElement('canvas');canvas.width = 512;canvas.height = 128;const context = canvas.getContext('2d');context.fillStyle = '#1e40af';context.font = 'Bold 24px Arial';context.fillText('三维挂谷集合的维数 = 3', 120, 64);const texture = new THREE.CanvasTexture(canvas);const material = new THREE.MeshBasicMaterial({map: texture,transparent: true,side: THREE.DoubleSide});const textMesh = new THREE.Mesh(new THREE.PlaneGeometry(4, 1),material);textMesh.position.y = 2.5;scene.add(textMesh);// 为了保持文本朝向相机textMesh.onBeforeRender = function() {textMesh.lookAt(camera.position);};// 创建线段群const lineCount = 200;const lineLength = 2;for (let i = 0; i < lineCount; i++) {// 生成随机方向const phi = Math.acos(2 * Math.random() - 1); // 0 到 PIconst theta = 2 * Math.PI * Math.random(); // 0 到 2PI// 转换为笛卡尔坐标const x = Math.sin(phi) * Math.cos(theta);const y = Math.sin(phi) * Math.sin(theta);const z = Math.cos(phi);// 创建线段几何体const lineGeometry = new THREE.BufferGeometry();const positions = new Float32Array([0, 0, 0,x * lineLength, y * lineLength, z * lineLength]);lineGeometry.setAttribute('position', new THREE.BufferAttribute(positions, 3));// 使用彩虹渐变色const hue = (i / lineCount) * 360;const lineMaterial = new THREE.LineBasicMaterial({ color: new THREE.Color(`hsl(${hue}, 70%, 50%)`),opacity: 0.7,transparent: true});const line = new THREE.Line(lineGeometry, lineMaterial);scene.add(line);}}// 初始化2D可视化create2DVis();// 切换按钮事件document.getElementById('dim-2d').addEventListener('click', function() {if (currentDim === '2d') return;currentDim = '2d';document.getElementById('dim-2d').classList.remove('bg-gray-500');document.getElementById('dim-2d').classList.add('bg-blue-500');document.getElementById('dim-3d').classList.remove('bg-blue-500');document.getElementById('dim-3d').classList.add('bg-gray-500');dimSvg.style.display = 'block';dim3dContainer.style.display = 'none';create2DVis();});document.getElementById('dim-3d').addEventListener('click', function() {if (currentDim === '3d') return;currentDim = '3d';document.getElementById('dim-3d').classList.remove('bg-gray-500');document.getElementById('dim-3d').classList.add('bg-blue-500');document.getElementById('dim-2d').classList.remove('bg-blue-500');document.getElementById('dim-2d').classList.add('bg-gray-500');dimSvg.style.display = 'none';dim3dContainer.style.display = 'block';setup3DVis();});// 平滑滚动document.querySelectorAll('nav a[href^="#"]').forEach(anchor => {anchor.addEventListener('click', function (e) {e.preventDefault();document.querySelector(this.getAttribute('href')).scrollIntoView({behavior: 'smooth'});});});});</script>
</body>
</html>

挂谷问题与挂谷猜想：从平面转针到高维拓扑

挂谷问题与挂谷猜想：从平面转针到高维拓扑目录挂谷问题的起源数学定义与基本性质研究进展挂谷集合与挂谷猜想王虹与Joshua Zahl的突破意义与影响挂谷问题的起源 1917年，日本数学家挂谷宗一(かけやそういち Soichi Kakeya，1886-1947)提…...

编程日记 2025/8/5 12:50:48

区块链智能合约安全 | 整型溢出漏洞

目录： 核心概念溢出类型上溢原理案例下溢原理案例练习漏洞修复使用 SafeMath 库（旧版本） 升级 Solidity 版本（≥0.8.0） 地址：zkanzz 整型溢出漏洞（Integer Overflow/Underflow Vulne…...

编程日记 2025/8/5 12:48:24

C# HTTP 文件上传、下载服务器

程序需要管理员权限，vs需要管理员打开首次运行需要执行以下命令注册URL（管理员命令行） netsh advfirewall firewall add rule name"FileShare" dirin actionallow protocolTCP localport8000 ipconfig | findstr "IPv4&quo…...

编程日记 2025/7/21 12:29:04

IDEA导入jar包后提示无法解析jar包中的类，比如无法解析符号 ‘log4j‘

IDEA导入jar包后提示无法解析jar包中的类问题描述解决方法问题描述 IDEA导入jar包的Maven坐标后，使用jar中的类比如log4j，仍然提示比如无法解析符号 log4j。解决方法在添加了依赖和配置文件后，确保刷新你的IDE项目和任何缓存&#xff…...

编程日记 2025/8/5 12:50:00

C++前缀和

个人主页：[PingdiGuo_guo] 收录专栏：[C干货专栏] 大家好，今天我们来了解一下C的一个重要概念：前缀和目录 1.什么是前缀和 2.前缀和的用法 1.前缀和的定义 2.预处理前缀和数组 3.查询区间和 4.数组中某个区间的和是否为特定…...

编程日记 2025/7/29 9:48:14

kafka压缩

最近有幸公司参与kafka消息压缩，背景是日志消息量比较大。kafka版本2.4.1 一、确认压缩算法根据场景不同选择不同。如果是带宽敏感患者推荐高压缩比的zstd，如果是cpu敏感患者推荐lz4 lz4和zstd底层都使用的是lz77算法，具体实现逻辑不同&am…...

编程日记 2025/8/5 12:48:03

C 语言 --- 扫雷游戏(初阶版)

C 语言 --- 扫雷游戏初阶版代码全貌与功能介绍扫雷游戏的功能说明游戏效果展示游戏代码详解game.htest.cgame.c 总结 💻作者简介：曾与你一样迷茫，现以经验助你入门 C 语言 💡个人主…...

编程日记 2025/8/3 8:01:50

黑鲨外设2025春季新品发布会：全球首款“冷暖双控”鼠标亮相！

据可靠消息称，电竞外设领域的创新引领者——黑鲨外设，正式官宣将于2025年3月28日17:00召开主题为“究极体验，竞在其中”春季新品发布会。据悉，此次新品发布会将于黑鲨游戏外设和黑鲨游戏手机官方平台同步直播，&#xf…...

编程日记 2025/8/5 12:48:02

SpringBoot-MVC配置类与 Controller 的扫描

文章目录前言一、自动配置类位置二、自动配置类解析2.1 WebMvcAutoConfiguration2.1.1 EnableWebMvcConfiguration 2.2 DispatcherServletAutoConfiguration 三、RequestMapping 的扫描过程3.1 RequestMappingHandlerMapping#afterPropertiesSet3.2 RequestMappingHandlerMapp…...

编程日记 2025/7/28 11:05:06

Nexus L2 L3基本配置

接口基本配置 N7K上所有端口默认处于shutdown状态; N5K上所有端口默认处于no shutdown状态(所有端口都是switchport) 默认所有接口都是三层route模式, 只有当线卡不支持三层的时候, 接口才会处于二层switchport模式 show run all | in “system default” 创建SVI口需要提前打…...

编程日记 2025/8/1 21:39:43

asp.net 4.5在医院自助系统中使用DeepSeek帮助医生分析患者报告

环境： asp.net 4.5Visual Studio 2015本地已经部署deepseek-r1:1.5b 涉及技术 ASP.NET MVC框架用于构建Web应用程序。使用HttpWebRequest和HttpWebResponse进行HTTP请求和响应处理。JSON序列化和反序列化用于构造和解析数据。SSE（服务器发送事件&#xf…...

编程日记 2025/8/5 8:02:12

LCCI ESG 中英联合认证国际分析师适合的岗位

LCCI ESG中英联合认证国际分析师领域热门岗位大揭秘！🌍 大家好！今天我们来探讨LCCI ESG中英联合认证国际分析师领域的热门岗位，看看是否有适合你的选择。 1️⃣ LCCI ESG中英联合认证国际分析师报告专员：主要负责编制…...

编程日记 2025/7/30 19:29:06

AGI成立的条件

AGI（通用人工智能）的成立需满足多项核心条件，这些条件既涵盖技术能力层面的突破，也涉及伦理与认知维度的考量。一、通用性与多任务处理能力跨领域泛化能力 AGI需具备类似人类的通用性，能够灵活切换不同领域&#xf…...

编程日记 2025/7/26 12:30:54

论文阅读：2023 EMNLP SeqXGPT: Sentence-level AI-generated text detection

总目录大模型安全相关研究：https://blog.csdn.net/WhiffeYF/article/details/142132328 SeqXGPT: Sentence-level AI-generated text detection https://aclanthology.org/2023.emnlp-main.73/ https://github.com/Jihuai-wpy/SeqXGPT https://www.doubao.com/…...

编程日记 2025/8/5 8:27:04

解决python配置文件类configparser.ConfigParser，插入、读取数据，自动转为小写的问题

配置类 [Section1] Key_AAA Value[Section2] AnotherKey Value默认情况下，ConfigParser会将ini配置文件中的KEY，转为小写。重载后配置类： 继承类从configparser.ConfigParser改为configparser.RawConfigParser重载方法optionxform&#…...

编程日记 2025/7/21 12:23:29

超图神经网络的详细解析与python示例

扩展传统集合关系至超边结构，处理高阶交互问题。有关人工智能的数学基础之逻辑、集合论和模糊理论：看我文章人工智能的数学基础之逻辑、集合论和模糊理论-CSDN博客一、超图神经网络概述超图神经网络（Hypergraph Neural Network&#xff0…...

编程日记 2025/7/31 17:13:39

机器视觉中图像的腐蚀和膨胀是什么意思？它能用来做什么？

腐蚀（Erosion）和膨胀（Dilation）是两种基本的形态学操作，通常用于二值图像（黑白图像）的处理。它们是形态学图像处理的基础，广泛应用于图像分割、边缘检测、噪声去除等任务。 1…...

编程日记 2025/7/30 23:47:21

破局 MySQL 死锁：深入理解锁机制与高效解决方案

死锁的原理 1. 什么是死锁？ 当多个事务在并发执行时，每个事务都持有其他事务需要的锁，同时又在等待对方释放锁，导致所有事务都无法继续执行的状态，称为死锁（Deadlock）。 2. 死锁的四个必要…...

编程日记 2025/7/28 3:43:03

机器学习——分类、回归、聚类、LASSO回归、Ridge回归（自用）

纠正自己的误区：机器学习是一个大范围，并不是一个小的方向，比如：线性回归预测、卷积神经网络和强化学都是机器学习算法在不同场景的应用。机器学习最为关键的是要有数据，也就是数据集名词解释：数据集中的…...

编程日记 2025/8/2 17:20:07

脚本语言 Lua

概念 Lua由标准C编写而成，几乎在所有操作系统和平台上都可以编译、运行。Lua脚本可以很容易地被C/C 代码调用，也可以反过来调用C/C的函数，这使得Lua在应用程序中可以被广泛应用。Lua并没有提供强大的库，它是不适合作为开发独立应…...

编程日记 2025/8/5 12:29:33

Spring相关面试题

目录 Spring中常用的注解有哪些 Spring Boot中RestController和Controller注解有什么区别？ Spring的注解requestBody和responseBody的区别说说Bean和componentscan的区别简单介绍一下springboot Spring Boot有哪些常用的Starter依赖？ 说说sprin…...

编程日记 2025/8/4 15:16:18

Python学习- 数据结构类型

一. list list_data [10, 20, 30]列表：是一个不限制类型，可增加，修改，删除的数据类型可操作的方法：append，extend, pop，del ，insert append: 可向list最后一个位置添加一个元…...

编程日记 2025/8/2 22:54:23

Azure Delta Lake、Databricks和Event Hubs实现实时欺诈检测

设计Azure云架构方案实现Azure Delta Lake和Azure Databricks，结合 Azure Event Hubs/Kafka 摄入实时数据，通过 Delta Lake 实现 Exactly-Once 语义，实时欺诈检测（流数据写入 Delta Lake，批处理模型实时更新&#xff0…...

编程日记 2025/8/3 5:31:53

【从零开始学习计算机科学】软件测试（十）嵌入式系统测试、游戏开发与测试过程、移动应用软件测试与云应用软件测试

【从零开始学习计算机科学】软件测试（十）嵌入式系统测试、游戏开发与测试过程、移动应用软件测试与云应用软件测试嵌入式系统测试测试策略及测试流程嵌入式软件测试问题及测试方法嵌入式软件的测试流程游戏开发与测试过程游戏开发与通用软件的开发过程区别游戏测试主要内容…...

编程日记 2025/7/28 1:21:03

C#零基础入门篇(18. 文件操作指南)

## 一、文件操作基础在C#中，文件操作主要通过System.IO命名空间中的类来实现，例如File、FileStream、FileInfo等。 ## 二、常用文件操作方法 ### （一）文件读取 1. **使用File.ReadAllText方法读取文件内容为字符串** …...

编程日记 2025/8/2 13:41:29

深入探究 JVM 堆的垃圾回收机制（一）— 判活

垃圾回收分为两步：1）判定对象是否存活。2）将“消亡”的对象进行内存回收。 1 判定对象存活可达性分析算法：通过一系列“GC Roots”对象作为起始节点集，从这些节点开始，根据引用关系向下搜索，…...

编程日记 2025/8/4 14:41:57

SQL优化主要有哪些方式

对经常查询的区分度高的条件字段建立索引，也就是用在where条件里的字段。使用没有建立索引的非主键字段作为条件查询时，会进行全表扫描，因为这个字段的数据分步是不规律的，但是需要避免在频繁更新的字段上建立索引，因为…...

编程日记 2025/7/31 7:51:40

基于Spring Boot的公司资产网站的设计与实现（LW+源码+讲解）

专注于大学生项目实战开发,讲解,毕业答疑辅导，欢迎高校老师/同行前辈交流合作✌。技术范围：SpringBoot、Vue、SSM、HLMT、小程序、Jsp、PHP、Nodejs、Python、爬虫、数据可视化、安卓app、大数据、物联网、机器学习等设计与开发。主要内容：…...

编程日记 2025/8/3 5:39:06

笔记本电脑关不了机是怎么回事这有解决方法

在快节奏的现代生活中，笔记本电脑已成为我们工作、学习和娱乐的得力助手。在使用电脑的过程中，笔记本电脑突然关不了机了，怎么回事？下面驱动人生就来讲一讲笔记本电脑不能正常关机的解决方法，有需要的可以来看看。一、…...

编程日记 2025/8/4 20:51:08

OSPF 协议详解：从概念原理到配置实践的全网互通实现

什么是OSPF OSPF（开放最短路径优先）是由IETF开发的基于链路状态的自治系统内部路由协议，用来代替存在一些问题的RIP协议。与距离矢量协议不同，链路状态路由协议关心网络中链路活接口的状态（包括UP、DOWN、IP地址、掩码…...

编程日记 2025/8/1 1:33:20

【C++】多态

目录文章目录前言一、多态的概念二、多态的定义及实现三、重载/重写/隐藏的对比四、纯虚函数和抽象类五、多态的原理总结前言本文主要讲述C中的多态，涉及的概念有虚函数、协变、纯虚函数、抽象类、虚表指针和虚函数表等。一、多态的概念多态分…...

编程日记 2025/8/1 17:01:51

CentOS 8 停止维护后通过 rpm 包手动安装 docker

根据 Docker官方文档的指引，进入 Docker rpm 包下载的地址，根据自己系统的架构和具体版本选择对应的路径这里使用 Index of linux/centos/7/x86_64/stable/ 版本，根据 docker 官方的给出的安装命令选择性的下载对应的 rpm 包最终使用 yum …...

编程日记 2025/7/29 15:40:12

STT-MRAM CIM 赋能边缘 AI：高性能噪声鲁棒贝叶斯神经网络宏架构详解

引言近年来，基于卷积神经网络（CNN）和视觉转换器（ViT）的存算一体（CIM）边缘AI设备因其低延迟、高能效、低成本等性能受到越来越广泛的关注。然而，当环境中存在噪声时（例如…...

编程日记 2025/8/1 5:44:03

Performance Hub Active Report

Performance Hub 是 Oracle Enterprise Manager Database Express （EM Express） 中的一项功能，可提供给定时间范围内所有性能数据的新整合视图。用户可以使用 Database Express 页面顶部的时间选择器选择时间范围，详细信息选项卡将…...

编程日记 2025/8/4 10:36:20

小白闯AI：Llama模型Lora中文微调实战

文章目录 0、缘起一、如何对大模型进行微调二、模型微调实战0、准备环境1、准备数据2、模型微调第一步、获取基础的预训练模型第二步：预处理数据集第三步：进行模型微调第四步：将微调后的模型保存到本地4、模型验证5、Ollama集成部署6、结果测试三、使用总结AI是什么？他应该…...

编程日记 2025/8/4 17:33:17

【数学建模】TOPSIS法简介及应用

文章目录 TOPSIS法的基本原理TOPSIS法的基本步骤TOPSIS法的应用总结在多目标决策分析中，我们常常需要在多个选择中找到一个最优解。 TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法是一个广泛应用的决策方法…...

编程日记 2025/8/3 1:14:56

优选算法训练篇08--力扣15.三数之和(难度中等)

目录 1.题目链接：15.三数之和 2.题目描述： 3.解法(排序双指针) 1.题目链接：15.三数之和 2.题目描述： 给你一个整数数组 nums ，判断是否存在三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]] 满足 i ! j、i ! k 且 j ! k &…...

编程日记 2025/7/29 8:27:36

【docker】--- 详解 WSL2 中的 Ubuntu 和 Docker Desktop 的区别和关系！

在编程的艺术世界里，代码和灵感需要寻找到最佳的交融点，才能打造出令人为之惊叹的作品。而在这座秋知叶i博客的殿堂里，我们将共同追寻这种完美结合，为未来的世界留下属于我们的独特印记。【WSL 】--- Windows11 迁移 WSL 超详细指南 —— 给室友换一个宿舍！开发环境一、引…...

编程日记 2025/7/31 19:18:27

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目录一、知识注入的关键前奏——RAG 系统中的检索综述 （一）模块定位：连接语言模型与知识世界的桥梁 （二）核心任务：四大关键问题的协调解法 （三）系统特征：性能、精度…...

编程日记 2025/8/4 23:58:44

解决stm32引脚如果选择输入模式

1. 输入模式分类 STM32的GPIO输入模式主要分为以下四种： 浮空输入（Floating Input / Input Floating） 上拉输入（Input Pull-Up） 下拉输入（Input Pull-Down） 模拟输入（Analog Inp…...

编程日记 2025/8/4 7:26:29

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制作 PDF 模版安装 OnlyOffice 从 OnlyOffice 官网下载 OnlyOffice Desktop，安装过程很简单，一路下一步即可。用 OnlyOffice 制作 PDF 模版（表单） 使用 OnlyOffice 表单设计器，制作表单，如下图注意命名…...

编程日记 2025/8/4 1:34:53

Maven安装与环境配置

首先我们先介绍一些关于Maven的知识，如果着急直接看下面的安装教程。目录 Maven介绍 Maven模型 Maven仓库 Maven安装下载安装步骤 Maven介绍 Apache Maven是一个项目管理和构建工具，它基于项目对象模型(Project Object Model , 简称: POM)的概念…...

编程日记 2025/8/5 11:02:29

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鸿蒙HarmonyOS NEXT应用崩溃分析及修复如何保证应用的健壮性，其中一个指标就是看崩溃率，如何降低崩溃率，就需要知道存在哪些崩溃，然后对症下药，解决崩溃。那么鸿蒙应用中存在哪些崩溃类型呢？又改如何解决…...

编程日记 2025/8/2 22:18:50

基于PySide6的CATIA自动化工具开发实战——空几何体批量清理系统

一、功能概述本工具通过PySide6构建用户界面，结合PyCATIA库实现CATIA V5的自动化操作，提供两大核心功能： 空几何体清理：智能识别并删除零件文档中的无内容几何体（Bodies）空几何图形集清理&#xff1…...

编程日记 2025/8/1 1:35:28

【CSS文字渐变动画】

CSS文字渐变动画 HTML代码CSS代码效果图 HTML代码 <div class"title"><h1>今天是春分</h1><p>正是春天到来的日子，花都开了，小鸟也飞回来了，大山也绿了起来，空气也有点嫩嫩的气息了</p>…...

编程日记 2025/8/1 1:34:40

Mysql深分页的解决方案

在数据量非常大的情况下，深分页查询则变得很常见，深分页会导致MySQL需要扫描大量前面的数据，从而效率低下。例如，使用LIMIT 100000, 10时，MySQL需要扫描前100000条数据才能找到第10000页的数据。在MySQL中解决深分页…...

编程日记 2025/7/19 17:42:51

使用pycel将Excel移植到Python

1.适用需求有些工作可能长期适用excel来进行公式计算，当需要把工作流程转换为可视化界面时，开发人员不懂专业逻辑，手动摸索公式很大可能出错，而且费时费力 2.可用工具及缺点 pandas 方便进行数据处理，支持各种格…...

编程日记 2025/7/30 13:51:57

Apache Tomcat CVE-2025-24813 安全漏洞

Apache Tomcat CVE-2025-24813被广泛利用，但是他必须要满足两个点： 1.被广泛的使用，并且部署在服务器中。 2.漏洞必须依赖在服务器中的配置。并且漏洞补丁已经发布。漏洞攻击方式： CVE-2025-24813 是 Apache Tomcat 部分 PUT…...

编程日记 2025/8/4 19:13:56

Spring常用注解汇总

1. IOC容器与Bean管理注解说明示例Component通用注解，标记类为Spring Bean Component public class MyService { ... } Controller标记Web控制器（应用在MVC的控制层） Controller public class UserController { ... } Service标记业务逻辑层…...

编程日记 2025/8/5 11:40:36

【CXX-Qt】2.1.1 为 WebAssembly 构建

CXX-Qt 及其编写的应用程序可以编译为 WebAssembly，但存在一些限制。以下是关于如何为 WASM 目标构建的详细说明。你需要安装 Qt for WebAssembly。下一篇将展示已测试的版本。此外，如果尚未完成，请从此处克隆 emsdk git 仓库。使用正确…...

编程日记 2025/7/30 4:18:31

挂谷问题与挂谷猜想：从平面转针到高维拓扑

目录

挂谷问题的起源

数学定义与基本性质

形式化定义

早期结果

研究进展

Besicovitch集合

关键进展时间线

挂谷集合与挂谷猜想

挂谷猜想的表述

研究意义

王虹与Joshua Zahl的突破

历史性突破

证明方法与创新

学术评价

意义与影响

数学理论影响

更广泛的影响

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