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【数学建模】TOPSIS法简介及应用

news 来源：原创 2025/8/5 14:55:00

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TOPSIS法的基本原理
TOPSIS法的基本步骤
TOPSIS法的应用
总结

在 多目标决策分析中，我们常常需要在多个选择中找到一个最优解。 TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法是一个广泛应用的决策方法，基于理想解与负理想解的距离来评估各个选项的优劣。本文将简要介绍TOPSIS法的基本原理、步骤以及其在实际决策中的应用。

TOPSIS法的基本原理

TOPSIS法的核心思想是：对于一个多属性决策问题，首先确定每个方案与理想解（最大化各属性）和负理想解（最小化各属性）的距离，然后通过比较这些距离来确定每个方案的优劣。
理想解和负理想解分别代表了在所有方案中最佳和最差的情形。TOPSIS法的目的是：选择出这样一个方案：最接近理想解，最远离负理想解。

TOPSIS法的基本步骤

构建决策矩阵
假设有 $m$ 个备选方案， $n$ 个评价指标。决策矩阵 $\mathbf{X}$ 为 $\times n$ 的矩阵，其中每个元素 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个方案在第 $j$ 个评价指标上的得分。
标准化决策矩阵
为消除量纲的影响，首先对决策矩阵进行标准化处理。常用的标准化方法是向量标准化，即将每个元素 $x_{ij}$ 除以该列的欧几里得范数。标准化后的矩阵元素$ r_{ij} $表示为：

$r_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_{ij}^2}} \quad \forall j = 1, 2, \dots, n$
构造加权标准化决策矩阵
若不同指标的重要性不同，可以为每个指标分配不同的权重 $w_j$ 。加权后的标准化决策矩阵 $\mathbf{V}$ 为：

$v_{ij} = r_{ij} \times w_j \quad \forall i = 1, 2, \dots, m, \, j = 1, 2, \dots, n$
权重的确定可以通过主观方法，也可以通过客观方法。主观方法可以参考：【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用；客观方法可以参考：【数学建模】熵权法；等等。
确定理想解与负理想解
理想解（ $A^+$ ）和负理想解（ $A^-$ ）分别是各列的最大值和最小值。即：

$A^+ = \left( \max(v_{1j}), \max(v_{2j}), \dots, \max(v_{mj}) \right) \quad \forall j$

$A^- = \left( \min(v_{1j}), \min(v_{2j}), \dots, \min(v_{mj}) \right) \quad \forall j$
计算各方案与理想解及负理想解的距离
使用欧几里得距离计算每个方案与理想解和负理想解的距离。理想解与第 $i$ 个方案的距离 $D_i^+$ 为：

$D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} \left(v_{ij} - A^+_j\right)^2}$

负理想解与第 $i$ 个方案的距离 $D_i^-$ 为：

$D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} \left(v_{ij} - A^-_j\right)^2}$
计算相对接近度
最后，计算每个方案相对于理想解的相对接近度（即综合评估值） $C_i$ ：

$C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$

其中， $C_i$ 的值越大，说明第 $i$ 个方案越接近理想解，优先选择该方案。

TOPSIS法的应用

TOPSIS法广泛应用于各类决策问题中，尤其是在多标准评价场景下，如：

供应商选择：在选择供应商时，可以综合考虑多个因素（如价格、质量、交货期等），通过TOPSIS法来评估不同供应商的优劣。
项目评估：在评估多个项目的优先级时，TOPSIS法可以帮助决策者根据多个评估标准（如成本、收益、风险等）做出最优选择。
人才招聘：在筛选多个候选人时，考虑多个维度（如学历、经验、技能等），使用TOPSIS法进行排名。

总结

TOPSIS法通过综合考虑各个方案与理想解的距离，能够清晰地排序出最优方案。其简洁明了、易于理解的特点使其在实际应用中得到了广泛的使用。然而，TOPSIS法也有一些限制，如对于权重的选择较为敏感，且假设评价指标之间是独立的，这在某些实际情况下可能不完全成立。尽管如此，TOPSIS法仍然是一个有效的多目标决策工具，尤其适用于需要综合考虑多个因素的决策场景。

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TOPSIS法的基本原理

TOPSIS法的基本步骤

TOPSIS法的应用

总结

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