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优选算法系列（3.二分查找）

news 来源：原创 2025/8/6 15:56:46

一.二分查找（easy）

题目链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

二.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置（medium）

题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

二分模板：

三.搜索插入位置（easy）

题目链接：35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

四. x 的平方根（easy）

题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

五：山峰数组的峰顶（easy）

题目链接：852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

六：寻找峰值（medium）

题目链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

七：搜索旋转排序数组中的最小值（medium）

题目链接：153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

八：0〜n-1 中缺失的数字（easy）

题目链接：LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

解法：

代码：

一.二分查找（easy）

题目链接：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

解法：

暴力解法无非就是从左到右枚举，复杂度O（N）

但是这个数组是一个升序的，如果随便取一个数比他小，那么所取得数左边的数都比目标小这样就只需要向他右边找，如果比目标值大也一样那么去它左边找。

定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；

当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

代码：

二.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置（medium）

题目链接：34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

解法：

暴力查找O（N）

二分：

⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；方便叙述，⽤ x 表示该元素， resLeft 表示左边界， resRight表示右边界。

查找左端点

我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：

当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；

注意：这⾥找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针的时候：

左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

循环条件：

求中点操作：

查找右端点

⽤ resRight 表示右边界；

我们注意到右边界的特点：

左边区间（包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：

当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid的位置；
当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

注意：这⾥找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

代码：

C++：

java：

二分模板：

三.搜索插入位置（easy）

题目链接：35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

解法：

分析插入位置左右两侧区间上元素的特点：

[left, index - 1] 内的所有元素均是小于 target 的；
[index, right] 内的所有元素均是大于等于 target 的。

设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：

当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。