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【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用

news 来源：原创 2025/8/14 2:44:39

层次分析法(AHP)详解及其应用

引言

在现实生活和工作中，我们经常面临复杂的决策问题，这些问题通常涉及多个评价准则，且各准则之间可能存在相互影响。如何在这些复杂因素中做出合理的决策？层次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)作为一种系统、灵活的多准则决策方法，为我们提供了科学的决策工具。

文章目录

层次分析法(AHP)详解及其应用
- 引言
- 什么是层次分析法？
- 层次分析法的基本原理
- 层次分析法的实施步骤
- - 1. 建立层次结构模型
  - 2. 构造判断矩阵
  - 3. 计算权重向量和最大特征值
  - 4. 一致性检验
  - 5. 计算综合权重
- 层次分析法的应用实例
- - 案例：选择最佳投资项目
  - - 第一步：建立层次结构
    - 第二步：构造判断矩阵
    - 第三步：计算权重
    - 第四步：一致性检验
    - 第五步：计算方案层对各准则的权重
    - 第六步：计算综合权重
- 层次分析法的优缺点
- - 优点
  - 缺点
- 层次分析法的扩展
- 层次分析法的应用领域
- 结语
- 参考文献

什么是层次分析法？

层次分析法是由美国运筹学家Thomas L. Saaty教授于20世纪70年代提出的一种系统分析方法，它将复杂问题分解为多个层次和要素，通过定性和定量相结合的方式进行决策分析。

层次分析法的基本原理

层次分析法的核心思想是将复杂问题分解为层次结构，通常包括：

目标层：决策的最终目标
准则层：评价目标的各种准则
方案层：可供选择的各种方案

在建立层次结构后，通过两两比较各层次中的元素，形成判断矩阵，计算各元素的权重，最终得到各方案的综合评价。

层次分析法的实施步骤

1. 建立层次结构模型

将决策问题分解为相互关联的决策元素，构建层次结构模型。

2. 构造判断矩阵

采用1-9标度法对同一层次的元素进行两两比较，形成判断矩阵 $A$ ：

$[a_{ij}]_{n \times n}$

其中 $a_{ij}$ 表示元素 $i$ 相对于元素 $j$ 的重要性程度，标度含义如下：

1：表示两个元素同等重要
3：表示一个元素比另一个元素稍微重要
5：表示一个元素比另一个元素明显重要
7：表示一个元素比另一个元素强烈重要
9：表示一个元素比另一个元素极端重要
2,4,6,8：表示上述相邻判断的中间值

且满足： $a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}}$

3. 计算权重向量和最大特征值

通过求解判断矩阵的特征向量来获得权重，常用的方法有：

和法归一化：将判断矩阵各列归一化后求行平均值

$w_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n} a_{kj}}$

根法：计算每行元素乘积的n次方根，再归一化

$\bar{w}_i = \sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n} a_{ij}}$

$w_i = \frac{\bar{w}_i}{\sum_{j=1}^{n} \bar{w}_j}$

特征值法：求解判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量

$\cdot W = \lambda_{max} \cdot W$

其中 $\lambda_{max}$ 为最大特征值， $W$ 为对应的特征向量。

4. 一致性检验

为确保判断的合理性，避免出现决策者认为“A比B重要，B比C重要，C却又比A重要”的矛盾，需要进行一致性检验：

计算一致性指标CI：

$\frac{\lambda_{max} - n}{n-1}$

其中 $\lambda_{max}$ 为最大特征值， $n$ 为矩阵阶数。
当 $C I = 0$ 时对应的矩阵为为一致矩阵。
关于一致矩阵的性质与相关介绍可以参考我的这篇文章：【数学建模】一致矩阵的应用及其在层次分析法(AHP)中的性质。

查找对应的随机一致性指标RI
计算一致性比率CR：

$\frac{CI}{RI}$

当 $CR < 0.1$ 时，认为判断矩阵具有满意的一致性

5. 计算综合权重

自上而下计算各层次元素对最终目标的综合权重，得出最终决策方案。

如果第 $k - 1$ 层有 $m$ 个元素 $P_1^{k-1}, P_2^{k-1}, \ldots, P_m^{k-1}$ ，它们对总目标的权重分别是 $a_1^{k-1}, a_2^{k-1}, \ldots, a_m^{k-1}$ ；第 $k$ 层有 $n$ 个元素 $P_1^k, P_2^k, \ldots, P_n^k$ ，且元素 $P_i^k$ 对元素 $P_j^{k-1}$ 的权重为 $b_{ij}^k$ ，则元素 $P_i^k$ 对总目标的权重为：

$a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_{ij}^k \cdot a_j^{k-1}$

层次分析法的应用实例

案例：选择最佳投资项目

假设某公司需要从三个投资项目中选择一个最佳方案，考虑的因素有：预期收益、风险程度和市场前景。

第一步：建立层次结构

目标层：选择最佳投资项目
准则层：预期收益(C1)、风险程度(C2)、市场前景(C3)
方案层：项目A、项目B、项目C

第二步：构造判断矩阵

准则层对目标层的判断矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ \frac{1}{2} & 1 & 3 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix}$

第三步：计算权重

使用和法归一化计算权重向量：

$\begin{bmatrix} 1.75 & 3.33 & 8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{1}{1.75} & \frac{2}{3.33} & \frac{4}{8} \\ \frac{0.5}{1.75} & \frac{1}{3.33} & \frac{3}{8} \\ \frac{0.25}{1.75} & \frac{0.33}{3.33} & \frac{1}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.571 & 0.600 & 0.500 \\ 0.286 & 0.300 & 0.375 \\ 0.143 & 0.100 & 0.125 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{0.571+0.600+0.500}{3} \\ \frac{0.286+0.300+0.375}{3} \\ \frac{0.143+0.100+0.125}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.558 \\ 0.320 \\ 0.122 \end{bmatrix}$

第四步：一致性检验

计算 $\lambda_{max}$ ：

$\cdot W = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ \frac{1}{2} & 1 & 3 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0.558 \\ 0.320 \\ 0.122 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.704 \\ 0.978 \\ 0.372 \end{bmatrix}$

$\lambda_{max} = \frac{1}{3} \left( \frac{1.704}{0.558} + \frac{0.978}{0.320} + \frac{0.372}{0.122} \right) = 3.054$

$\frac{\lambda_{max} - n}{n-1} = \frac{3.054 - 3}{2} = 0.027$

对于 $n = 3$ 的矩阵， $R I = 0.58$

$\frac{CI}{RI} = \frac{0.027}{0.58} = 0.047 < 0.1$

判断矩阵具有满意的一致性。

第五步：计算方案层对各准则的权重

(此处省略具体计算过程，假设已经得到以下权重矩阵)

$W_{C1} = \begin{bmatrix} 0.65 \\ 0.25 \\ 0.10 \end{bmatrix}, W_{C2} = \begin{bmatrix} 0.20 \\ 0.30 \\ 0.50 \end{bmatrix}, W_{C3} = \begin{bmatrix} 0.30 \\ 0.60 \\ 0.10 \end{bmatrix}$

第六步：计算综合权重

$W_{综合} = W_{C1} \cdot w_1 + W_{C2} \cdot w_2 + W_{C3} \cdot w_3$

$\begin{bmatrix} 0.65 \\ 0.25 \\ 0.10 \end{bmatrix} \cdot 0.558 + \begin{bmatrix} 0.20 \\ 0.30 \\ 0.50 \end{bmatrix} \cdot 0.320 + \begin{bmatrix} 0.30 \\ 0.60 \\ 0.10 \end{bmatrix} \cdot 0.122$

$\begin{bmatrix} 0.45 \\ 0.32 \\ 0.23 \end{bmatrix}$

因此，项目A是最佳选择。

层次分析法的优缺点

优点

结构清晰，逻辑性强
计算简便，易于理解和应用
能够处理定性和定量相结合的复杂决策问题
通过一致性检验保证判断的合理性

缺点

当准则或方案较多时，需要进行大量的两两比较
判断矩阵的构造具有主观性
层次结构中的元素被假设为相互独立，可能与现实情况有差距
排序结果可能受到新增或删除方案的影响

层次分析法的扩展

为了克服传统层次分析法的局限性，研究者提出了多种改进方法，如：

模糊层次分析法：引入模糊数学处理判断的不确定性，使用模糊数 $\tilde{a}_{ij}$ 代替确定值 $a_{ij}$
网络分析法(ANP)：考虑元素之间的相互依赖关系，构建超矩阵 $W$
群体决策层次分析法：综合多个决策者的判断，如几何平均法：

$a_{ij} = \sqrt[K]{\prod_{k=1}^{K} a_{ij}^{(k)}}$

其中 $a_{ij}^{(k)}$ 表示第 $k$ 个决策者对元素 $i$ 和 $j$ 的判断值， $K$ 为决策者总数。

层次分析法的应用领域

层次分析法在多个领域有广泛应用：

工程项目评估与选择
资源配置与投资决策
人才评价与绩效考核
产品设计与评价
风险评估与管理

结语

层次分析法作为一种系统、灵活的多准则决策方法，为复杂决策问题提供了科学的解决思路。虽然存在一些局限性，但通过不断改进和与其他方法的结合，层次分析法仍然是现代决策理论中不可或缺的重要工具。在实际应用中，我们应当根据具体问题的特点，合理运用层次分析法，以期获得科学、合理的决策结果。

参考文献

Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York: McGraw-Hill.
徐泽水. (2002). 层次分析法原理. 天津: 天津大学出版社.
许树柏. (1995). 层次分析法. 北京: 中国人民大学出版社.

这篇文章详细介绍了层次分析法的基本原理、实施步骤、应用实例以及优缺点，希望对您有所帮助！如有任何问题，欢迎在评论区留言交流。