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深入剖析二分查找的延伸：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

news 来源：原创 2025/8/15 1:37:29

深入剖析二分查找的延伸：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

引言

二分查找，作为算法界的“常青树”，以其高效性和简洁性备受青睐。然而，许多初学者仅限于使用它查找单个元素，而对其进阶应用知之甚少。今天，我们就来剖析一个经典的二分查找变种——在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置。

这不仅是 LeetCode 上的经典问题（34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置），也是面试高频考点。话不多说，直接上问题。

问题描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums 和一个目标值 target，请你找到 target 在数组中的起始位置和结束位置。

如果数组中不存在 target，返回 [-1, -1]。

示例：

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

直觉解法 vs. 二分查找

直觉解法： 既然数组是有序的，我们可以使用线性扫描，遍历数组一次找到 target 的首尾索引。代码如下：

# 线性扫描解法（O(n) 复杂度）
def searchRange(nums, target):if not nums:return [-1, -1]first, last = -1, -1for i in range(len(nums)):if nums[i] == target:if first == -1:first = ilast = ireturn [first, last]

这个方法简单直白，但时间复杂度是 O(n)，对于大规模数据（如百万级别）并不高效。因此，我们需要一个更快的方法，而二分查找是我们的救星！

二分查找的延伸

思路解析

二分查找的核心在于“排除一半”，通常用于寻找某个特定的数。但在本题中，我们要找到 target 的边界（第一个和最后一个出现的位置）。

所以，我们需要两次二分查找：

  1. 第一次二分查找：找到 target 出现的第一个位置。
  2. 第二次二分查找：找到 target 出现的最后一个位置。

代码实现

# 二分查找解法（O(log n) 复杂度）
def searchRange(nums, target):def find_first(nums, target):left, right = 0, len(nums) - 1first = -1while left <= right:mid = (left + right) // 2if nums[mid] >= target:  # 关键点：即使找到 target 也要继续向左逼近right = mid - 1else:left = mid + 1if nums[mid] == target:first = midreturn firstdef find_last(nums, target):left, right = 0, len(nums) - 1last = -1while left <= right:mid = (left + right) // 2if nums[mid] <= target:  # 关键点：即使找到 target 也要继续向右逼近left = mid + 1else:right = mid - 1if nums[mid] == target:last = midreturn lastreturn [find_first(nums, target), find_last(nums, target)]

代码解析

  1. find_first(nums, target) 负责找到 target 第一次出现的位置。
    • 当 nums[mid] == target 时，不立即返回，而是继续向左逼近，缩小 right。
  2. find_last(nums, target) 负责找到 target 最后一次出现的位置。
    • 当 nums[mid] == target 时，不立即返回，而是继续向右逼近，扩大 left。
  3. 时间复杂度：每个二分查找都是 O(log n)，所以总的时间复杂度是 O(log n)。

示例运行

print(searchRange([5,7,7,8,8,10], 8))  # 输出: [3, 4]
print(searchRange([5,7,7,8,8,10], 6))  # 输出: [-1, -1]
print(searchRange([], 0))  # 输出: [-1, -1]

为什么二分查找更优？

相较于线性扫描的 O(n)，二分查找的 O(log n) 优势在数据量大的情况下尤为明显。

假设 nums 长度是 1,000,000：

  • 线性扫描：最坏情况下需遍历整个数组，即 1,000,000 次。
  • 二分查找：每次查找最多 log_2(1,000,000) ≈ 20 次，大大减少了计算量。

总结 & 思考

  1. 二分查找不仅仅用于查找单个元素，还可以用来查找边界（最左、最右位置）。
  2. 找到 target 不能立即返回，而是要继续“逼近”目标边界。
  3. 掌握二分查找的变种（如：搜索插入位置、寻找峰值等），可以应对更多复杂问题。

这道题的本质在于二分查找的灵活性，希望这篇文章让你对它有更深入的理解！你是否还遇到过其他二分查找的应用呢？欢迎留言讨论！

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