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【算法】动态规划

news 来源：原创 2025/8/15 8:41:22

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动图描述

动态规划总结

动态规划通过将问题分解为子问题并存储子问题的解（由记忆化搜索延伸）来避免重复计算。动态规划的关键就是状态和转移。

特点：
1. 重叠子问题：问题可以分解为多个重复的子问题，通过存储子问题的解避免重复计算；
2. 最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解推导出来；
3. 状态转移方程：通过方程描述问题状态之间的关系，定义如何从子问题的解推导出当前问题的解；
4. 存储中间结果：通常使用数组或表格存储子问题的解，以便后续使用。

适用题型：
1. 最优化问题：如最短路径、最长公共子序列等；
2. 计数问题：如计算路径数量、组合数等；
3. 组合问题：如背包问题、硬币找零等；
4. 序列问题：如最长递增子序列、编辑距离等；

解题步骤：
1. 定义状态：明确问题的状态表示；
2. 确定状态转移方程：找出状态之间的关系；
3. 初始化：设置初始状态的值；
4. 计算顺序：确定计算状态的顺序，通常自底向上或自顶向下；
5. 返回结果：根据存储的状态得到最终解。

以上内容由Deepseek和我共同总结。

动态规划的特点：
有后效性，当前的决策会影响到后面的决策。
具有最优子结构的特征。

解这类题的步骤：

定义数组（数学归纳法中的定义函数）：如f[i]表示的是什么，时刻记住你定义的数组的含义。有时题上为了降低难度会帮我们定义。但是有时也会误导我们。方案dp。
写状态转移方程。
有两种写法：f[i]由什么转移过来。f[i]可以发展到f[i+1]的什么情况。
通常我们写第一种写法，因为方便表达和下标的书写，理解起来更容易。
初始化。
初始化f[0]，初始化的方法有两种：根据定义的函数来写，根据实际意思。
枚举遍历所有的情况。用子结构递推到最终的结果。

以上是博主@一只蓝色小鲨鱼的总结，原文链接：动态规划——方案dp（考研复试上机知识点）。

1、常见动态规划

Fibonacci数列

Fibonacci数列

动态规划做法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;vector<int> dp(sqrt(n));dp[0] = 0, dp[1] = 1;int s1 = 0, s2 = 0;for (int i = 2; i < n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];if (dp[i] > n){while (dp[i] != n){s1++;dp[i]--;}while (dp[i - 1] != n){s2++;dp[i - 1]++;}break;}}cout << min(s1, s2) << endl;return 0;
}

滚动数组做法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int a = 0, b = 1, c = 1;while (true){if (c >= n) break;a = b;b = c;c = a + b; // 这几个顺序不能乱，c = a + b最后算}  cout << min((c - n), (n - b)) << endl;return 0;
}

杨辉三角

杨辉三角

在这里插入图片描述

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;vector<vector<int>> v(n, vector<int>(n, 1));for (int y = 0; y < n; y++){for (int x = 0; x < y + 1; x++){if (y > 1){if (x > 0 && x < y)v[x][y] = v[x][y - 1] + v[x - 1][y - 1];}printf("%5d", v[x][y]);}cout << endl;}return 0;
}

最小花费爬楼梯

NC296 最小花费爬楼梯

在这里插入图片描述

注意要爬到楼顶，最后一个数之后才是楼顶，所以dp数组要多开一个空间。

下面的dp[i]表示到第i个台阶所花费的钱。 因此到楼顶就是dp[n]。

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();vector<int> dp(n + 1);dp[0] = dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++)dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);return dp[n];}
};

下面的dp[i]表示从第i个台阶到楼顶所花费的钱。

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();vector<int> dp(n + 1);dp[n - 1] = cost[n - 1];dp[n - 2] = cost[n - 2];for (int i = n - 3; i >= 0; i--)dp[i] = cost[i] + min(dp[i + 1], dp[i + 2]);return min(dp[0], dp[1]);}
};

孩子们的游戏

孩子们的游戏

在这里插入图片描述

经典的约瑟夫环问题，也可以利用链表和数组模拟来做。本题通过动态规划可以找到一个规律。
在这里插入图片描述
其中 dp[i] 表示 i 个孩子的时候谁拿到了那个礼物。

class Solution {
public:int LastRemaining_Solution(int n, int m) {int f = 0; // 第一个孩子拿到礼物的就死他自己for (int i = 2; i <= n; i++)f = (f + m) % i;return f;}
};

2、组合方案

李白打酒加强版（lqb）

在这里插入图片描述

请添加图片描述

一般求合法的个数、顺序、排列、方案等且范围不是很大，大概率是用动态规划做。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int mod = 1e9 + 7;
// dp[i][j][k]表示经过i家店，j朵花，壶里还有k斗酒的方案总数 
int dp[110][110][110];int main()
{int n, m;cin >> n >> m;dp[0][0][2] = 1;for (int i = 0; i <= n; i++){for (int j = 0; j <= m; j++){for (int k = 0; k < m; k++){if (k % 2 == 0 && i > 0){dp[i][j][k] += (dp[i - 1][j][k / 2]) % mod; }if (j > 0){dp[i][j][k] += (dp[i][j - 1][k + 1]) % mod;}}}}cout << dp[n][m - 1][1] << endl;return 0;}

3、背包问题

4、最长公共子序列

5、最长递增子序列

本篇文章的分享就到这里了，如果您觉得在本文有所收获，还请留下您的三连支持哦~

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从零开始学习机器人---如何高效学习机械原理

如何高效学习机械原理 1. 理解课程的核心概念2. 结合图形和模型学习3. 掌握公式和计算方法4. 理论与实践相结合5. 总结和复习6. 保持好奇心和探索精神总结机械原理是一门理论性和实践性都很强的课程，涉及到机械系统的运动、动力传递、机构设计等内容。快速学习机械…...

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STM32 RS232通信开发全解析 | 零基础入门STM32第五十九步

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