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洛谷 P2801 教主的魔法题解

news 来源：原创 2025/8/16 3:07:28

之前学过莫队算法，其运用了分块思想；但是我居然是第一次写纯种的分块题目。

题意

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$ （一开始 $\forall a_i\in[1,1000]$ ）。要求执行 $q$ 次操作，操作有两种，每次形如 $o p, l, r, w / c$ ：

$o p$ 为 $\rm M$ ，将 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$ 分别加上 $w$ ；
$o p$ 为 $\rm A$ ，查询 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$ 中，有多少个数大于 $c$ 。

$n\le10^6,q\le3000,w\le1000,c\le10^9$

思路

主席树？是我早就不会打的。

如果我们把它变成一道分块练习题呢？

考虑对序列 $a$ 分块，对于每一块内，使用辅助数组 $b$ 以保证块内数有序。不妨设 $bl_t,br_t$ 表示块 $t$ 的左右端点， $bel_i$ 表示下标 $i$ 所在的块的编号。

对于修改操作 $l, r, w$ ，如果 $\exist t,bl_t\le l<r\le br_t$ ，即同一块， $t=bel_l=bel_r$ ，如果其不在左右端点上，那么块内的排序性质就会被破坏；反之如果它们不在同一块，说明它们中间跨过了若干块整块的区间，我们发现被跨过的区间仍然保持有序。

那么我们得到一个初步的修改方法：

设左右端点所在的块分别在 $lb=bel_l,rb=bel_r$ ，如果 $l b = r b$ ，就块内暴力加 $w$ 并快排更新；
否则即 $l b < r b$ ，我们发现块 $lb+1\sim rb-1$ 内仍然有序，那么不妨想线段树引入懒惰标记一样，我们搞一个加法标记，把整一块 $t$ 内所有元素同时加的数，用 $tag_t$ 记录下来，等到查询时再处理；只强制更新更新 $l\sim br_{lb}$ 和 $bl_{rb}\sim r$ 的数据和块 $l b, r b$ 。

这样子大大减少了排序的次数，每次修改操作顶多 $2\times \log_2n$ ，瓶颈在于快排。

void modify(ll t)//更新t块内数据
{for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)b[i]=a[i];sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)//l,r,w
{ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块if(lb==rb)//同一块{for(int i=ql;i<=qr;i++)a[i]+=x;modify(lb);return;}//不同块for(int i=ql;i<=br[lb];i++)a[i]+=x;for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)a[i]+=x;modify(lb);modify(rb);for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记tag[i]+=x;
}

接下来就是查询，其实就和修改所运用的思想差不多了。同样讨论 $l, r$ 在或不在同一块的两种情况。如果同一块就直接 $ql\sim qr$ 扫过去（倒着枚举体检 break 凹时间也行、甚至乎二分，反正块内就是有序的），不同块就搜左右两边 $l\sim br_{rb}$ 和 $bl_{rb}\sim r$ ，至于中间的整块整块的，按块二分就好。

ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{ll l=ql,r=qr;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(b[mid]<x)l=mid+1;else r=mid-1;}return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];if(lb==rb){ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);return ret;}for(int i=ql;i<=br[lb];i++)if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;for(int i=lb+1;i<rb;i++)ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);return ret;
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e6+9;
ll n,q,a[N];
ll tag[N];//加法标记
ll bSize,cnt_b,bel[N],bl[N],br[N],b[N];
void init()
{bSize=sqrt(n);cnt_b=n/bSize;if(n%bSize)cnt_b++;for(int i=1;i<=n;i++){bel[i]=(i-1)/bSize+1;b[i]=a[i];}for(int i=1;i<=cnt_b;i++){bl[i]=(i-1)*bSize+1;br[i]=i*bSize;}br[cnt_b]=n;for(int i=1;i<=cnt_b;i++)sort(b+bl[i],b+br[i]+1);
}
void modify(ll t)//更新t块内数据
{for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)b[i]=a[i];sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)
{ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块if(lb==rb)//同一块{for(int i=ql;i<=qr;i++)a[i]+=x;modify(lb);return;}//不同块for(int i=ql;i<=br[lb];i++)a[i]+=x;for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)a[i]+=x;modify(lb);modify(rb);for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记tag[i]+=x;
}
ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{ll l=ql,r=qr;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(b[mid]<x)l=mid+1;else r=mid-1;}return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];if(lb==rb){ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);return ret;}for(int i=ql;i<=br[lb];i++)if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;for(int i=lb+1;i<rb;i++)ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);return ret;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&q);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);init();while(q--){char op;ll l,r,x;cin>>op;scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);if(op=='M')add(l,r,x);else printf("%lld\n",query(l,r,x));}return 0;
}

题意

思路

代码

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