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计算机基础：二进制基础03，二进制数的位基和位权

news 来源：原创 2025/9/11 12:08:18

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本节前言

在上一节，我讲了二进制数的计数方法。

本节呢，我们来讲解二进制的位基和位权。

一. 二进制数的位基

一个数，它是多少进制的，它的位基就是多少。十进制数的位基是 10，二进制数的位基是 2。同理，八进制数的位基是 8，十六进制数的位基是 16 。

表示十进制数的基本的符号是0,1,2,3，……7,8,9，一共是10个符号。

表示二进制数的基本符号为0,1，一共是2个符号。

某一个进制的位基是多少，则构成这一进制数的基本符号就有多少个。

二. 十进制数的数位与位权

我们来看一个十进制数，720163。我们把这个数拆解开来。

在图1里面，我挨个位地，排列了 720163 这个数，并且呢，我们将它的每个数位都给标注了出来。

现在呢，我们需要用新的办法来标注这个数的不同的位。

720163，这个数的最右边的位是个位，个位的1，代表的，是1。我们可以个位记作 $10^{0}$ 。 $10^{0}$ 正好等于 1 。

720163，这个数从右往左数，第2位是十位。十位上的1，代表的是10，我们可以将十位记作 $10^{1}$ 。 $10^{1}$ 正好等于10 。

720163，这个数从右往左数，第3位是百位。百位上的1，代表的是100，我们可以将百位记作 $10^{2}$ 。 $10^{2}$ 正好等于100 。

720163，这个数从右往左数，第4位是千位。千位上的1，代表的是1000，我们可以将千位记作 $10^{3}$ 。 $10^{3}$ 正好等于1000 。

720163，这个数从右往左数，第5位是万位。万位上的1，代表的是10000，我们可以将其记作 $10^{4}$ 。 $10^{4}$ 正好等于10000 。

720163，这个数从右往左数，第6位是十万位。十万位上的1，代表的是100000。我们可以将十万位记作 $10^{5}$ 。 $10^{5}$ 正好等于100000 。

我们重新地标注一下这个数字。结果如下

$10^{5}$	$10^{4}$	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$
7	2	0	1	6	3

这样一来，原来的个位，我们现在用 $10^{0}$ 来标注。原来的十位，我们现在用 $10^{1}$ 来标注。原来的百位，我们用 $10^{2}$ 来标注。原来的千位，我们用 $10^{3}$ 来标注。原来的万位，我们用 $10^{4}$ 来标注。原来的十万位，我们用 $10^{5}$ 来标注。

新的标注方法里面，都是以10为底，不同的是指数。最低位的指数是0。再往左，指数依次为1，2，3，4，5。

现在，我们再来添加点东西，重新标注 720163 这个数。

位权	$10^{5}$	$10^{4}$	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$
位名	5	4	3	2	1	0
数值	7	2	0	1	6	3

我们将 $10^{0}$ ， $10^{1}$ ， $10^{2}$ 等等的东西，叫做位权。权在文言文里面，它是秤砣的意思，它可以用来称量物体的轻重。秤砣是用来衡量分量的东西。位权就是表示，某一数位的 1，代表着多大的数，代表的分量是多少。

我们将位权一行中，指数的部分提取出来，让它作为数位的名字。这样一来，原来的个位，现在就是位 0 。原来的百位，现在成了位 2 。原来的千位，现在成了位 3，等等。

我们看到，在这里，我们标记数位的方法，它是说，最低位，它的位名是 0，再往左，依次是1，2，3，4，5 。

位名和位权是一一对应的。以十进制数为例，如果某一位的位名是 7，则此位的位权为 $10^{7}$ 。我们也可以将这个事情表述为，十进制数的位 7 的位权为 $10^{7}$ 。

一个十进制数，它的位基为 10。

一个十进制数，无论它的位名是多少，它的某一位的位权，均为 10 的 [位名] 次幂。

十进制的位 0，它的位基为 10，位名为 0，所以，它的位权为 $10^{0}$ 。

十进制的位 1，它的位基为 10，位名为 1，所以，它的位权为 $10^{1}$ 。

十进制的位 2，它的位基为 10，位名为 2，所以，它的位权为 $10^{2}$ 。

十进制的位 3，它的位基为 10，位名为 3，所以，它的位权为 $10^{3}$ 。

十进制的位 4，它的位基为 10，位名为 4，所以，它的位权为 $10^{4}$ 。

十进制的位 5，它的位基为 10，位名为 5，所以，它的位权为 $10^{5}$ 。

一个数，不论它是十进制数，还是八进制，二进制，十六进制数，无论它的位基和位名是多少，它的某一位的位权，均为 [位基] 的 [位名] 次幂。

三. 二进制的数位与位权

我们在上一分节的讲解，主要是为了引出二进制的数位与位权的讲解。

在上面，我们提到了如下所述的结论。

一个数，不论它是十进制数，还是八进制，二进制，十六进制数，无论它的位基和位名是多少，它的某一位的位权，均为 [位基] 的 [位名] 次幂。

而一个数，我们在命名它的位名的时候，都将类似于十进制的个位的那个位，命名为【位 0】，再往左，依次是【位 1】，【位 2】，【位3】，【位 4】，等等。

这样一来，我们试着对二进制数 101101 进行一下拆解。

位权	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
位名	5	4	3	2	1	0
数	1	0	1	1	0	1

上面的东西，大家应该能理解了吧？

四. 将一个二进制数转化为十进制数

我们先不去看，如何将二进制数转换为十进制数。我们先来看一看，如何用一种新的表示法，来说明一个十进制数的值。

720163，这个数，我们在第二分节中，就是用它来举例的。在这里，我们还是用它来举例。

720163，我们再次将它的数位分节表格列在下面。

位权	$10^{5}$	$10^{4}$	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$
位名	5	4	3	2	1	0
数值	7	2	0	1	6	3

720163 = 7 × 100000 + 2 × 10000 + 0 × 1000 + 1 × 100 + 6 × 10 + 3 × 1

= 7 × $10^{5}$ + 2 × $10^{4}$ + 0 × $10^{3}$ + 1 × $10^{2}$ + 6 × $10^{1}$ + 3 × $10^{0}$

我们可以从上面的式子的分解，总结出规律。对于某一个十进制数的值的大小，等同于，先将各个位上的数乘以它的位权，再将不同的数位的 [数 × 位权] 的乘积加起来的和。

我们可以将十进制数的求值，推广任意数制的数字的求值。

对于任意数制的某一个数，它的大小等同于，先将各个位上的数乘以它的位权，再将不同的数位的 [数 × 位权] 的乘积加起来的和。

因此，我们可以求一下二进制数 101101 的等价十进制数。我们还是先将它的拆解表格给列出来。

位权	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
位名	5	4	3	2	1	0
数	1	0	1	1	0	1

0B 101101 = 1 × $2^{5}$ + 0 × $2^{4}$ + 1 × $2^{3}$ + 1 × $2^{2}$ + 0 × $2^{1}$ + 1 × $2^{0}$

= 1 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

= 45

到这里呢，我想，对于一个二进制数的求值，也就是把它转换为对应的十进制数的方法，我差不多就算是讲完了。

不过呢，在上面，我只讲了一个例子。例子的数目太少了。

我再给出来两个例子吧。再给出两个例子，其实例题数也还是少。不过呢，我相信，再给出两个例子，应该是足以令你理解，如何将二进制转换为十进制的解题步骤了。

五. 两个例题

（一）例题1 求出 0B 101011 对应的十进制数

首先呢，我们还是用表格来分解这个数

位权	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
位名	5	4	3	2	1	0
数	1	0	1	0	1	1

0B 101101 = 1 × $2^{5}$ + 0 × $2^{4}$ + 1 × $2^{3}$ + 0 × $2^{2}$ + 1 × $2^{1}$ + 1 × $2^{0}$

= 1 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1

= 43

（二）例题二求出 0B 11011 对应的十进制数

首先呢，我们还是用表格来分解这个数

位权	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
位名	4	3	2	1	0
数	1	1	0	1	1

0B 11011 = 1 × $2^{4}$ + 1 × $2^{3}$ + 0 × $2^{2}$ + 1 × $2^{1}$ + 1 × $2^{0}$

= 1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1

= 27

到了这里，我想，本节的内容，也就可以了。

结束语

本节的内容，很多人大概是学习过的。根据你的情况来学习吧。学过就可以不看，或者快点看。没有学习过，那就认真一些地来看吧。

其实，本专栏所讲的二进制，位运算的知识，可能，很多人不需要专门来学习这一块的知识。然而，我不能假定所有人都学过。如果你学的是Java，python，那么，我不知道相关的教材里面，是否有讲解二进制与位运算的知识。

所以，为了统一后续的学习步调，让大家达到统一的基础，我还是选择去讲解。

希望大家能够将本节的知识给学好。

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本节前言

一. 二进制数的位基

二. 十进制数的数位与位权

三. 二进制的数位与位权

四. 将一个二进制数转化为十进制数

五. 两个例题

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