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机器学习 - 进一步理解最大似然估计和高斯分布的关系

news 来源：原创 2025/5/18 2:23:31

一、高斯分布得到的是一个概率吗？

高斯分布（也称为正态分布）描述的是随机变量在某范围内取值的概率分布情况。其概率密度函数（PDF）为：

其中，μ 是均值，σ 是标准差。

需要注意的是，概率密度函数的值并不直接表示概率，而是表示概率密度。要计算随机变量在某个区间内取值的概率，需要对该区间上的概率密度函数进行积分。例如，计算随机变量 X 在区间 [a, b] 内取值的概率 P(a≤X≤b)时，需要计算：

因此，高斯分布本身并不是一个具体的概率值，而是描述随机变量取值的分布情况。通过对概率密度函数进行积分，可以得到特定区间内的概率。

二、高斯分布的积分怎么计算？

高斯分布的概率密度函数（PDF）为：

其中，μ 是均值，σ 是标准差。

要计算随机变量 X 在区间 [a, b] 内取值的概率，即 P(a≤X≤b)，需要对概率密度函数在该区间上进行积分：

然而，直接对上述函数进行积分并不容易。因此，通常采用标准化的方法，将任意均值 μ 和标准差 σ 的正态分布转换为标准正态分布（均值为 0，标准差为 1），然后使用标准正态分布的累积分布函数（CDF）来计算概率。

标准化步骤：

标准化变量：将随机变量 X 转换为标准正态分布的随机变量 Z：
转换积分区间：
使用标准正态分布的累积分布函数：标准正态分布的累积分布函数 Φ(z)定义为：

由于标准正态分布的累积分布函数没有初等函数形式，通常通过数值方法或查表来获取其值。

需要注意的是，虽然高斯积分（即对 e^{-x^2} 在整个实数范围内的积分）有解析解，但对于一般形式的高斯分布的积分，通常需要借助数值方法或累积分布函数来计算。

三、对于离散的数据，高斯分布得到的是一个概率吗？

高斯分布（也称为正态分布）通常用于描述连续型数据的概率分布。然而，对于离散型数据，也可以定义相应的离散高斯分布。在离散高斯分布中，随机变量取离散值，每个值对应一个概率质量。因此，对于离散数据，离散高斯分布可以为每个可能的取值分配一个概率。

需要注意的是，离散高斯分布在某些领域（如格密码学）中有特定的应用。在这些应用中，离散高斯分布用于对格点进行采样，以满足特定的概率分布要求。

总之，对于离散数据，离散高斯分布可以为每个可能的取值分配一个概率，从而描述数据的分布特征。

四、离散高斯分布和高斯分布有什么区别？在数据表达式上有区别吗？

高斯分布（也称为正态分布）和离散高斯分布主要区别在于随机变量的取值范围和相应的概率表达方式。

高斯分布：

取值范围：连续型随机变量，取值为实数范围内的所有连续值。
概率表达：使用概率密度函数（PDF）来描述，其形式为：

离散高斯分布：

取值范围：离散型随机变量，取值为一组离散的数值，通常是整数或特定的离散集合。
概率表达：使用概率质量函数（PMF）来描述，即对每个离散取值 k，定义其概率为：

其中，S 是归一化常数，确保所有概率之和为 1。

数据表达式上的区别：

高斯分布：由于变量取值连续，概率密度函数用于描述在特定点附近的概率密度。
离散高斯分布：由于变量取值离散，概率质量函数用于描述每个具体取值的概率。

需要注意的是，离散高斯分布在某些领域（如格密码学）中有特定应用。在这些应用中，离散高斯分布用于对格点进行采样，以满足特定的概率分布要求。

总之，高斯分布和离散高斯分布的主要区别在于随机变量的取值范围（连续 vs. 离散）以及相应的概率表达方式（概率密度函数 vs. 概率质量函数）。

在概率质量函数（PMF）中，归一化常数 S 的作用是确保所有离散取值的概率之和等于 1。在概率密度函数（PDF）中，归一化常数的作用是确保整个连续范围内的概率密度函数的积分等于 1。因此，归一化常数 S 在 PMF 和 PDF 中的具体数值通常不同，但它们的作用是一致的，都是为了确保总概率为 1。

五、线性回归中，采用最大似然估计，为什么不采用离散高斯分布？而是采用高斯分布？

在线性回归中，采用最大似然估计时，通常假设误差项（即模型预测值与真实值之间的差异）服从连续的高斯分布（正态分布），而不是离散高斯分布。这是因为线性回归模型主要用于处理连续型数据，目标变量通常是连续的，因此误差项也被视为连续随机变量。

原因如下：

如果采用离散高斯分布，意味着假设误差项是离散的，这与连续型目标变量的性质不符。因此，在线性回归的最大似然估计中，采用连续的高斯分布来建模误差项是更合理的选择。

需要注意的是，最小二乘法可以视为在误差项服从正态分布假设下最大似然估计的特例。因此，采用高斯分布的假设与最小二乘法的应用是一致的。

六、但是所观察的数据集是离散的独立样本，不适用离散高斯分布，这怎么理解呢？

您提到的观察数据集是离散的独立样本，这在统计建模中是常见的。虽然数据点是离散的，但在线性回归中，我们关注的是这些数据点的分布趋势和误差项的性质。

理解要点：

数据点的离散性：在实际应用中，收集到的数据通常是离散的独立样本。这些样本代表了从总体中抽取的有限观测值。
误差项的连续性假设：在线性回归模型中，假设误差项（即模型预测值与真实值之间的差异）服从均值为零、方差为 σ2 的正态分布。这个假设并不要求数据点本身是连续的，而是认为误差项在总体上呈现连续的正态分布特征。
中心极限定理的应用：根据中心极限定理，当多个独立随机变量的影响叠加时，其总和趋向于服从正态分布。因此，即使单个观测值是离散的，多个独立误差项的组合也可以近似为正态分布。
模型的适用性：线性回归模型适用于连续型因变量的预测。即使观测数据是离散的独立样本，只要满足线性回归的基本假设（如线性关系、误差项独立同分布且服从正态分布等），模型仍然有效。

综上，虽然观测数据是离散的独立样本，但在线性回归中，我们对误差项的分布作出正态分布的假设，以便于模型的建立和推导。这种方法在统计学中被广泛接受，并在实践中证明是有效的。

七、线性回归中，采用最大似然估计，既然不是离散高斯分布，为什么观察数据集在对应高斯分布的乘积，就是对应的似然估计函数呢？

在线性回归中，采用最大似然估计时，虽然观测数据集由离散的独立样本组成，但我们假设这些样本的误差项服从连续的正态分布（高斯分布）。基于这一假设，构建的似然函数是各观测值在给定模型参数下出现的概率密度的乘积。

具体理解如下：

因此，尽管观测数据是离散的独立样本，但通过假设误差项服从连续的正态分布，我们能够构建似然函数，并通过最大化该函数来估计模型参数。这种方法在统计学和机器学习中被广泛应用。

那么不应该积分吗？为什么直接乘积就是似然函数呢？

在最大似然估计（MLE）中，似然函数是通过将所有观测数据点的概率密度函数（对于连续型数据）或概率质量函数（对于离散型数据）相乘得到的。这是因为我们假设每个观测数据点是独立同分布的，因此联合概率密度（或联合概率质量）是各自概率的乘积。

为什么不需要积分？

积分通常用于计算连续随机变量在某一区间内的概率。然而，在MLE中，我们关注的是给定参数下观测数据出现的联合概率，而不是某一区间内的概率质量。因此，对于独立同分布的观测数据，直接将每个数据点的概率相乘即可得到联合概率，这就是似然函数。

总结

在最大似然估计中，由于观测数据被假设为独立同分布，因此其联合概率是各自概率的乘积。这使得似然函数可以通过将所有观测数据点的概率相乘得到，而不涉及积分运算。

八、似然函数可以看成是联合概率密度函数吗？

似然函数可以看作是观测数据的联合概率密度函数（对于离散情况是概率质量函数），但是它是考虑参数的函数，而不是数据的函数。关键是，似然函数本身不是概率分布，因此它不一定被规范化为总和或积分为1。在最大似然估计的语境中，似然函数确实是给定参数的联合PDF。

似然函数确实是基于联合概率密度函数（或概率质量函数）的表达形式，但两者在使用时有不同的解释和作用。具体来说：

联合概率密度函数：
当我们讨论连续随机变量时，联合概率密度函数 p(x1,x2,…,xn∣θ)描述了在给定参数 θ 的条件下，随机变量 x1,x2,…,xn 同时取某些特定值的概率“密度”。这通常被看作一个关于数据 x 的函数，在参数 θ 固定时计算数据出现的可能性。
似然函数：
在最大似然估计中，我们将已观测到的数据视为已知（固定），而把参数 θ 看作未知的变量。此时，似然函数就是将联合概率密度函数看作关于参数的函数，记作
L(θ)=p(x1,x2,…,xn∣θ)
尽管数学表达式相同，但在似然函数中，我们关注的是不同参数值下，观测数据出现的可能性大小。注意，似然函数通常不归一化，它仅用于比较不同参数值的相对“优劣”。

总结：

从形式上看，似然函数就是联合概率密度函数；
但从用途和解释上看，当我们固定数据、将参数视为变量时，这个函数被称为似然函数，并用于估计最优参数。

这种“角色转变”的思想是最大似然估计的核心：使用数据的联合概率密度（或质量）来反过来推断参数。