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数据结构 图

news 来源：原创 2025/5/22 13:36:59

目录

前言

一，图的基本知识

二，图的表示法：边列表

 三，图的表示方法：邻接矩阵

四，图的表示方法：邻接表

 五，功能

总结

前言

图是一个非常有意思东西，可以运用到生活中的很多很多的领域

一，图的基本知识

这个是树和图各个的关系

图的顶点集和边集的表示 

顶点集VV={v1,v2,v3,v4…v9}
边集EE={ {v1，v2}，{v1,v3}…{v8，v9}}

图有两种类型

1，有向图     2，无向图     
     (无序对)        (单向对)
比如社交网络就是无向图，网络链接就是无向图

单向图双向图

加权图

加权就是给每个路径赋予长度值，我们把加权值加起来就可以算出最短路径了
(每个链接有不同的权重，这个就是加权图)

 图的属性

自环多重边

网页的刷新

航班的路线

 如果不包括闭环和多重边，则这个图被称为简单图

问题：在给定的节点中，求最大的边数为多少？假设有n个节点

有方向：0<=|E|<=n(n-1)          无方向：0<=|E|<n(n-1)/2

图中的数量接近最大的可能边数，则这个图是稠密的，接近顶点的平方数量
图中的数量接近最小的可能边数，则这个图是系数的，接近顶点的数量

专有名词

walk（道路）指所划的路里面有重复的点
path（路径）指最简单的路径无重复的点
trail：顶点可以重复，边不可重复

图要选择合适的数据结构存储
稠密：邻接矩阵
稀疏：邻接表

图的连接

一个图被称为强连接的条件：从图上的任意节点可以来到任意其他节点

如图一，这个是无向图，则我们就直接说连接
如图二，这个是有向图，但是B不可以到C等，则我们称为弱连接
如图三，这个是有向图，且每个节点可以到每个节点，则我们称为强连接

无环图

 一个没有循环的图称为无环图
左图则是一个无向无环图，右图则是一个有向无环图
A-B-E-H-D-A这个就是最简单的环

二，图的表示法：边列表

无加权

 下面我们用数组和链表表示一下这个图

我们可以看到，左边是顶点列表，右边是边列表，对于边列表，我们有两种表示形式

//C
struct Edge {char* starVertex;char* endVertex;
};
//C++
class Edge {string starVertex;string starVertex;
};

 由于这个是无向图，所以AB和BA在里面是一样的，但是为有向图就不一样了

加权图

当我们的图有了权重之后，我们这个节点可以改一下

我们的表示形式也可以改

//C
struct Edge {char* starVertex;char* endVertex;int weight
};
//C++
class Edge {string starVertex;string starVertex;int weight;
};

我们在考虑是否使用这个邻接表的时候，我们要考虑它的空间复杂度和时间复杂度

空间复杂度

在空间上，当然我们上面实现的知识几个字母代表的节点进行互相连接，我们来模拟一下我们现实生活中例子
 在我们设置图的时候，名字就不再是那种一个字母一个字母的了，所以我们再边列表和顶点列表都弄一遍名字会大大提高内存的占用，这个时候我们就要用到指针和引用了或者运用索引

 空间复杂度我们考虑了，结果为O(|V|+|E|)

时间复杂度

再程序中最频繁的操作就是查找了

时间复杂度O(|E|){   1，遍历图O(|E|)     2，检查图中是否所有都有连接O(|E|)    }

没有自环和多重边的时候

有方向：0<=|E|<=n(n-1)          无方向：0<=|E|<n(n-1)/2

所以O(|E|)=O(V^2)

总的来说这样的空间复杂度并不是很理想，不是很高效，所以我们应该寻找更好的办法

 三，图的表示方法：邻接矩阵

 我们在使用边列表的时候，不难发现，他的时间复杂度以及达到V^2的地步了，所以我们肯定要选择别的更好的，V就很好，下面我们就来看看邻接矩阵

我们来分析一下这个矩阵

我们先来看1的位置， 我们给右边那个图标上了对应的索引，然后我们来画图

首先A连接了BCD这三个字母，那么对应的索引就是1，2，3这三个数字，我们就在1，2，3这写1

紧接着B连接了AEF这三个字母 ，那么对应的索引就是0，4，5这三个数字，我们就在0，4，5这写1

当我们把所有的1写完是这样的

然后再空余的地方补上0就好了

左边的索引是对应你所站的顶点，上面的索引则是你站的顶点所连接节点的索引

在无向图里面，Aij和Aji是对称的，但是有向图却不一样，有向图就不一定对称了

 这样有什么好处呢？我们只可以用画一般的矩阵就好了，但是这个就稍稍难一丢丢

现在我们学习完了邻接矩阵，我们就来进行时间和空间复杂度的计算

时间复杂度

寻找一个特定的节点

比如我们寻找一个F节点

我们在顶点列表找到对应的索引，然后再矩阵找到对应的索引，然后就可以逐个访问周围的顶点了，那么时间复杂度就是O(V)+O(V)那么就是O(V)

判断两个节点是否连接

在顶点列表里面找到索引，然和去矩阵里面判断对应的小方格里面是否为1，这里可以运用哈希表

那么加权图怎么写呢？

 我们只需要在对应的连接的小方格写下数字即可

空间复杂度

我们确实把时间复杂度降低了，但是空间复杂度就不低了，这个图十分稀疏，为O(V^2)+O(V)，就是O(V^2)
就比如我们社会网路中有10亿个人，但是每个人好友有1000就不错了，且还没有1000，这就会极大浪费我们内存

今天我们一个电脑的容量：5*10^11byte=0.5TB
我们算每一个名字算一个字节，那么就是10^18byte=1000PB
这一个电脑都装不下

对此我们应该想出另外一个办法

四，图的表示方法：邻接表

 我们不难观察到我们矩阵的左边的索引都是起点，上面都是终点

我们就这样，把对应的连接的节点放入到表中，对此我们有两个方式构建邻接表
方法一：
指针数组int*A[8]每个数组可以指向不同的数组


方法二：
C++容器
这里我们使用这个方法，空间复杂度就是O(E)，这个空间复杂度下降了很多

时间复杂度
判断一个节点是否相连

邻接矩阵邻接表
O(1)

O(n)

这里有0和1可以快速区分
直接查找		这里是线性查找需要一个一个
扫描，还有最优的二分法O()

查找一个节点

我们以一个社交网络为例子
在10^9使用者，每个人最大的朋友数量为1000，一个机器一次可以处理10^6行指令每秒

邻接矩阵邻接表
查找一个节点10^9/10^6=1000s=16.66min10^4/10^6=10^-2=10ms
查找连个点是否相连1/10^6s=1us10ms

所以综上所述，如果稀疏我们就选择邻接表
 

 五，功能

插入与删除

邻接表是在对应索引加上那个节点就好，邻接矩阵是在对应的节点写下1

我们使用数组的话就是十分复杂的，所以我们直接使用链表实现动态，其实树也可以

我们创建一个节点数组，这个是访问每一行，然后逐步利用链表的知识进行操作即可
邻接矩阵的话就是运用二维数组和矩阵就好了

总结

1，学习了图的基本知识，特殊的图有自环和多重边，加权图，顶点集和边集，这几个是最重要的

2，边列表，这个时间复杂度太高，创建一个顶点list，边list

3，邻接矩阵，这个空间复杂度高，但是时间复杂度相对较好(主要是查找两个边十分相连)，使用在稠密图

4，邻接表，这个空间复杂度相对较低，时间复杂度也较好(查找点和判断相连都一样)，使用在稀疏图

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编程日记 2025/5/17 3:46:37

机器学习 - 需要了解的条件概率、高斯分布、似然函数

似然函数是连接数据与参数的桥梁&#xff0c;通过“数据反推参数”的逆向思维&#xff0c;成为统计推断的核心工具。理解它的关键在于区分“参数固定时数据的概率”与“数据固定时参数的合理性”&#xff0c;这种视角转换是掌握现代统计学和机器学习的基础。 一、在学习似然函…...

编程日记 2025/5/20 4:23:38

程序诗篇里的灵动笔触：指针绘就数据的梦幻蓝图＜7＞

大家好啊&#xff0c;我是小象٩(๑ω๑)۶ 我的博客&#xff1a;Xiao Xiangζั͡ޓއއ 很高兴见到大家&#xff0c;希望能够和大家一起交流学习&#xff0c;共同进步。 今天我们一起来学习转移表&#xff0c;回调函数&#xff0c;qsort… 目录 一、转移表1.1 定义与原理1.3…...

编程日记 2025/5/19 14:23:59

4、C#基于.net framework的应用开发实战编程 - 测试（四、一） - 编程手把手系列文章...

四、 测试&#xff1b; 四&#xff0e;一、调试&#xff1b; 开发完应用&#xff0c;就需要对应用进行测试&#xff0c;第一部就从调试开始&#xff0c;特别是一些重要的功能点&#xff0c;还有如果运行时有问题&#xff0c;也需要对应用进行调试&#xff0c;以找出问题。 1、 …...

编程日记 2025/5/21 10:06:12

逻辑回归：Sigmoid函数在分类问题中的应用

欢迎来到我的主页&#xff1a;【Echo-Nie】 本篇文章收录于专栏【机器学习】 1 什么是Sigmoid函数&#xff1f; Sigmoid函数&#xff08;Logistic函数&#xff09;是机器学习中最经典的激活函数之一&#xff0c;是一个在生物学中常见的S型函数&#xff0c;也称为S型生长曲线。…...

编程日记 2025/5/19 12:53:13