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音频进阶学习十二——Z变换

news 来源：原创 2025/5/9 15:58:31

文章目录

前言
一、Z变换
- 1.Z变换的作用
- 2.Z变换公式
- 3.Z的状态表示
- 4.关于Z的解释
二、收敛域
- 1.收敛域的定义
- 2.收敛域的表示方式
- 3.ROC的分析
- - 1）当 $\geq 0$ 时
  - 2）当 $n < 0$ 时
  - 3）整体ROC复平面
- 3.极点与零点
三、Z变换ROC举例
- 1.右边序列
- 2.左边序列
四、Z变换的性质与定理
- 1.性质
- 2.定理
总结

前言

在之前博客中，对于线性常系数差分方程求解中，我们提到了对于差分方程频域上求解有一种方法，叫做Z变换。

本章博客中，将对于Z变换的作用，公式，收敛域，性质与定理做一个详细的介绍。当然，Z变换公式的推导一样是以复指数序列和共轭相关性为基础，如果对于此还不是很熟悉可以先看看之前的对于DTFT推导的博客。

|版本声明：山河君，未经博主允许，禁止转载

一、Z变换

1.Z变换的作用

前面我们说过对于一个离散序列我们使用复指数序列表示后，可以使用DTFT进行离散傅里叶变换：

$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
与之对应的IDTFT表示形式为：
$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$
其中， $e^{-j\omega n}$ 为模长为1 的复指数。

对于DTFT的存在条件前文也说过，必须要满足一致收敛，均方收敛，冲击表示。那么在对于不满足DTFT条件下，需要引入一个新的序列进行分析，这一过程就叫做Z变换。

2.Z变换公式

我们之前的文章中说过， $z$ 表示在复平面上的点，根据欧拉公式， $z=r*e^{j\omega}$ ，其中 $r$ 为模长，那么 $z^{-n}=r^{-n}e^{-j\omega n}$ ，对于Z变换，和DTFT表示一样，对于序列表示为复指数序列：
$X(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]z^{-n}=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n}$
对于Z反变换
$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)z^{n-1}dz$

3.Z的状态表示

分析 $z=r*e^{j\omega}$ 时，会有三种情况

1） $r = 1$

这个很好理解，当 $r = 1$ 时， $z^{n}=r^{n}*e^{-j\omega n} => z^{n}=e^{j\omega n}$ ，而对于复指数 $z^{-n}$ ，Z变换其实就是DTFT：
$X(z)|_{z=e^{j\omega}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}=X(e^{j\omega})$

2） $0 < r < 1$

当 $0 < r < 1$ ，为了方便展示，乘上一个 $10$ 的系数，对于 $10*z^{n}=10*r^{n}*e^{-j\omega n}$ ，它在复平面上的极坐标实际上是越转越小，如下图：
请添加图片描述
对于 $r^{n}e^{j\omega n}$ 的实部和虚部，在当 $n$ 逐渐变大时，Re和Im呈指数衰减。对于 $r^{-n}e^{-j\omega n}$ ，那么 $n$ 越大，Re和Im呈指数增长。
在这里插入图片描述

3） $r > 1$

而当 $r > 1$ 时，情况正好相反，它在复平面上的极坐标实际上是越转越大。

请添加图片描述
对于 $r^{n}e^{j\omega n}$ 实部与虚部也是随着 $n$ 的增大而呈指数增长。而对于 $r^{-n}e^{-j\omega n}$ ，那么 $n$ 越大，Re和Im呈指数衰减。
在这里插入图片描述

4.关于Z的解释

理解复指数 $z$ 的状态之后，我们再来思考为什么要引入复指数 $z$ ？

根据之前文章对于DTFT的理解，根据欧拉公式引入复指数 $e^{j\omega n}$ ，根据复指数的正交性来判断是否序列在某一个频率上有影响，此时复指数 $e^{j\omega n}$ 模长为1，即单位圆。

而对于 $z^n=r^n*e^{j\omega n}$ 中，对于复指数的模长为 $r^n$ ，根据正交性来计算投影，如果在 $\omega_k$ 上处于正交，那说明对于该 $\omega_k$ 不存在影响，这与 $r^n$ 无关，而 $r^n$ 的作用：

当 $r > 1$ ： $r^{-n}$ 会衰减指数增长的信号，例如 $x[n]=2^n$
当 $0 < r < 1$ ： $r^{-n}$ 会放大指数增长的信号，例如 $x[n]=(\frac{1}{2})^n$

这种情况下就可以对于某些信号进行收敛，进而进行频域分析。

二、收敛域

1.收敛域的定义

收敛域 (Region of Convergence, ROC) 是指复平面中 $z$ 的所有值（或区域），使得 Z 变换所涉及的无限级数绝对收敛。也就是说，对于Z变换有：
$X(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]z^{-n}, \quad z \in \mathbb{C}, \quad z = re^{j\omega}$
其中 $\mathbb{C}$ 是复数集合，而要满足上述式子绝对收敛，那么则有：
$\sum^{\infty}_{n=-\infty}|x[n]z^{-n}| = \sum^{\infty}_{n=-\infty}|x[n]||z^{-n}| < \infty$
收敛域 ROC是所有使上述条件成立的 $z$ 值组成的集合。如果去除 $e^{j\omega n}$ 的表示，即当
$\leq \sum^{\infty}_{n=-\infty}|x[n]r^{-n}|$
$z$ 的值满足收敛。

2.收敛域的表示方式

根据Z变换公式 $\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\omega n}$ ，结合上图不难看出，对于序列的收敛取决于 $r,\quad n$ 的取值范围，例如：

当 $r > 1$ 时，当 $n$ 趋向正无穷的时候，序列是衰减的，而当 $n$ 趋向负无穷的时候，序列是增长的
当 $0 < r < 1$ 时，当 $n$ 趋向正无穷的时候，序列是增长的，而当 $n$ 趋向负无穷的时候，序列是衰减的

所以对于满足Z变换收敛 $\sum^{\infty}_{n=-\infty}|x[n]z^{-n}| <\infty$ ，可以将其拆分为 $n<0，\quad n \geq 0$ 的表示形式：
$\sum^{\infty}_{n=-\infty}|x[n]r^{-n}| = \sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{-n}| +\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]r^{-n}|=>\\ =\sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{|n|}| +\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{r}\Big)^n|$

3.ROC的分析

我们知道收敛域ROC是一组复平面上的集合，上文中将Z变换进行正次幂表示，拆分成 $n<0，\quad n \geq 0$ 两种情况进行分析收敛域：
$\leq \sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{|n|}| +\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{r}\Big)^n|$
那么对这两种情况进行单独的分析。

1）当 $\geq 0$ 时

当 $\geq 0$ 时，也就是分析上述中 $\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{r}\Big)^n|$ 的收敛域。

现在假设当 $r = R_{x-}$ 时，满足 $\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{R_{x-}^n}\Big)^n| < \infty$ ，那么当 $r>R_{x-}$ ，一定满足 $\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{R_{x-}^n}\Big)^n| < \infty$ 。具体分析如下：
当 $r>R_{x-}$ ，令 $r=kR_{x-}, \quad k>1$ ，则
$\sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{k^nR_{x-}^n}\Big)^n| \leq \sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{R_{x-}^n}\Big)^n||\frac{1}{k^n}| < \sum^{+\infty}_{n=0}|x[n]\Big(\frac{1}{R_{x-}^n}\Big)^n| <\infty$

如果使用复平面进行表示，就如同下图：
在这里插入图片描述

也就是说收敛域 $z| > R_{x-}$ ，即ROC为以原点为圆心的圆外部分。

2）当 $n < 0$ 时

当 $n < 0$ 时，也就是分析上述中 $\sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{|n|}|$ 的收敛域。

现在假设当 $r = R_{x+}$ 时，满足 $\sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{|n|}| < \infty$ ，那么当 $r < R_{x+}$ ，一定满足 $\sum^{-1}_{n=-\infty}|x[n]r^{|n|}| < \infty$ （具体分析和上述一样，不具体进行展示了）。

如果使用复平面进行表示，就如同下图：
在这里插入图片描述

也就是说收敛域 $z| < R_{x+}$ ，即ROC为以原点为圆心的圆内部分。

3）整体ROC复平面

从上文分析两种情况结合来看，满足Z变换公式成立条件，需要满足收敛域 $R_{x+}, \quad |z| > R_{x-}$ ，即 $R_{x-} < |z| < R_{x+}$ ，所以

当 $R_{x-} > R_{x+}$ ，不存在收敛域，即Z变换公式成立不存在
当 $R_{x-} < R_{x+}$ ，存在收敛域，它表示为复平面上的圆环，如下图

3.极点与零点

当 $X (z) = 0$ 时，将 $Z$ 的取值叫做零点
当 $\infty$ 时，将 $Z$ 的取值叫做极点

三、Z变换ROC举例

1.右边序列

右边序列是指 $x[n]=0,\quad n<N$ 。现在令 $x[n] = a^nu[n]$ ，求 $X (z)$ 的收敛域：

分析： $x [n]$ 不仅是一个右边序列，还是一个因果序列，将其代入Z变换中
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}a^nu[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\big(az^{-1}\big)^n=>\\ = (az^{-1}\big)^1+(az^{-1}\big)^2+(az^{-1}\big)^3+...+(az^{-1}\big)^n$
实际上就是一个等比公式，则对于等比公式前 $n$ 项求和为：
$a_n = a_1 \times q^{n-1} \\ S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\ \lim_{n=\infty}S_n=\frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$
其中 $a_1$ 是首项， $q$ 为公比， $S_n$ 为总和。在上述中首项 $a_1=1$ ， $q=az^{-1}$ ，所以
$=\sum_{n=0}^{\infty}\big(az^{-1}\big)^n = \frac{1}{1-az^{-1}}$
由于该序列是一个右边序列，也就是 $n\longrightarrow \infty$ ，对于 $z=r*e^{j\omega}$ ，则收敛域为
$=\sum_{n=0}^{\infty}\big(az^{-1}\big)^n <\infty \Longleftrightarrow (az^{-1}) < 1 \Longleftrightarrow |z| > |a|$
其中极点为 $a$ ，如下图
在这里插入图片描述

2.左边序列

左边序列是指 $x[n]=0,\quad n \leq 0$ 。现在令 $x[n] = -a^{n}u[-n-1]$ ，求 $X (z)$ 的收敛域：

分析，将 $x [n]$ 代入Z变换：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} =- \sum_{n=0}^{\infty}a^nu[-n-1]z^{-n}=-\sum_{n=-\infty}^{-1}\big(az^{-1}\big)^n=>\\ -\sum_{n=1}^{\infty}\big(az^{-1}\big)^{-n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\big(a^{-1}z\big)^{n}$
根据等比公式求和
$=-\sum_{n=1}^{\infty}\big(a^{-1}z\big)^{n} = \frac{-a^{-1}z}{1-a^{-1}z}=>\\ \frac{(-a^{-1}z) \times (az^{-1})}{(1-a^{-1}z)\times (az^{-1})} = \frac{1}{1-az^{-1}}$
由于该序列是一个左边序列，则收敛域为
$=|-\sum_{n=1}^{\infty}\big(a^{-1}z\big)^n| <\infty \Longleftrightarrow (a^{-1}z) < 1\Longleftrightarrow |z| < |a|$

其中极点为 $a$ ，如下图
在这里插入图片描述

四、Z变换的性质与定理

1.性质

对于性质的介绍，之前介绍DTFT和DFS中都已经重复说过了，不过这里我们需要关注的是对于收敛域的影响.

性质	公式	收敛域
线性	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\ y[n]\stackrel{z}{\longleftrightarrow} Y(z), \quad ROC=R_y \\ ax[n]+by[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} aX(z)+bY(z)$	$ROC包含R_x \cap R_y$
移位	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\ x[n-n_d] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} z^{-nd}X(z)$	$ROC = R x$ (可能需要重新定义极点)
指数序列相乘	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\z_0^nx[n]\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z/z_0)$	$ROC=\|z_0\|R_x$
微分	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\ nx[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz}$	$ROC=R_x$ (时间序列乘以 $n$ 对应于 Z 域的微分)
共轭	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\x^[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} X^(z^*)$	$ROC=R_x$
时间倒置共轭	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\x^[-n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} X^(\frac{1}{z^*})$	$ROC=\frac{1}{R_x}$
卷积	$\stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z), \quad ROC=R_x \\ h[n]\stackrel{z}{\longleftrightarrow} H(z), \quad ROC=R_h \\ \sum_{k=0}^{\infty}x[k]h[n-k] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} X(z)H(z)$	$ROC包含R_x \cap R_y$

2.定理

初值定理：
如果 $x [n]$ 是因果序列，即 $\quad x[n]=0$ ，则 $x[0]=\lim_{z \rightarrow \infty} X(z)$

总结

本文通过图像和公式推导结合的方式来介绍了Z变换的公式和收敛域，其中由于篇幅（已经万字）的原因，并没有对Z变换的性质与定理做详细的推导，实际上在之前的DTFT性质推导中也有过介绍，虽然不相同但是思路是一样的。有兴趣的同学可以自己尝试一下。

本篇中对于给出的Z反变换没有过多的介绍，那下一篇文章将会对于Z反变换做详细的介绍，并结合实例加深对于Z变换的理解。

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