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动态规划之背包问题

news 来源：原创 2025/5/15 9:04:09

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文章目录

      • 0-1 背包问题
        • 1. 二维动态规划实现（0-1 背包）：
        • 2. 一维动态规划实现（0-1 背包）：
      • 完全背包问题
        • 1. 二维动态规划实现（完全背包）：
        • 2. 一维动态规划实现（完全背包）：
      • 对比
      • 总结：

下面是0-1背包问题和完全背包问题的一维和二维实现代码。

0-1 背包问题

1. 二维动态规划实现（0-1 背包）：
def knapsack_01_2d(n, W, weights, values):dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]  # dp[i][j] 表示前 i 种物品，容量为 j 时的最大价值for i in range(1, n + 1):for w in range(1, W + 1):if weights[i-1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1])else:dp[i][w] = dp[i-1][w]return dp[n][W]  # 返回在 n 种物品、容量为 W 的背包中能获得的最大价值
2. 一维动态规划实现（0-1 背包）：
def knapsack_01_1d(n, W, weights, values):dp = [0] * (W + 1)  # dp[j] 表示背包容量为 j 时的最大价值for i in range(n):for w in range(W, weights[i] - 1, -1):  # 逆序遍历，防止重复选择相同物品dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i])return dp[W]  # 返回在容量为 W 的背包中能获得的最大价值

完全背包问题

1. 二维动态规划实现（完全背包）：
def knapsack_complete_2d(n, W, weights, values):dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]  # dp[i][j] 表示前 i 种物品，容量为 j 时的最大价值for i in range(1, n + 1):for w in range(1, W + 1):if weights[i-1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i][w - weights[i-1]] + values[i-1])else:dp[i][w] = dp[i-1][w]return dp[n][W]  # 返回在 n 种物品、容量为 W 的背包中能获得的最大价值
2. 一维动态规划实现（完全背包）：
def knapsack_complete_1d(n, W, weights, values):dp = [0] * (W + 1)  # dp[j] 表示背包容量为 j 时的最大价值for i in range(n):for w in range(weights[i], W + 1):  # 顺序遍历，允许物品多次使用dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i])return dp[W]  # 返回在容量为 W 的背包中能获得的最大价值

对比

以下是 0-1 背包 和 完全背包 的对比表：

特性0-1 背包完全背包
物品选择每种物品最多选择一次。每种物品可以选择无限次（重复选择）。
状态转移状态转移方程： ( d p [ i ] [ j ] = max ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w i ] + v i ) ) ( dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w_i] + v_i) ) (dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi​]+vi​))状态转移方程： ( d p [ i ] [ j ] = max ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i ) ) ( dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j - w_i] + v_i) ) (dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−wi​]+vi​))
背包容量每次只能选择当前容量下是否选择物品。每次可以选择物品多次，直到超过背包容量为止。
适用情况适用于每种物品只能选择一次的场景（例如：背包问题中的一个物品只能带一次）。适用于每种物品可以重复使用的场景（例如：无限库存问题）。
代码实现需要使用逆序遍历更新动态规划数组，以避免重复选择。顺序遍历更新动态规划数组，允许物品重复选择。
空间复杂度二维和一维优化后，空间复杂度均为 ( O ( n W ) ) ( O(nW) ) (O(nW))，其中 ( n ) 为物品种类数，( W ) 为背包容量。二维和一维优化后，空间复杂度均为 ( O ( n W ) ) ( O(nW) ) (O(nW))，其中 ( n ) 为物品种类数，( W ) 为背包容量。
时间复杂度( O ( n W ) O(nW) O(nW))，其中 ( n ) 为物品种类数，( W ) 为背包容量。 ( O ( n W ) ) ( O(nW)) (O(nW))，其中 ( n ) 为物品种类数，( W ) 为背包容量。

总结：

  • 0-1 背包：每种物品只能选择一次，适合每个物品数量有限的情况。
  • 完全背包：每种物品可以无限次选择，适合每个物品数量无限的情况。

两者的状态转移方程类似，但是由于背包问题的约束不同，选择物品的方式和更新动态规划数组的方法也有所不同。

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