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动手学深度学习-3.2 线性回归的从0开始

news 来源：原创 2025/5/16 17:01:49

以下是代码的逐段解析及其实际作用：

1. 环境设置与库导入

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l
  • 作用：
    • %matplotlib inline：在 Jupyter Notebook 中内嵌显示 matplotlib 图形。
    • random：生成随机索引用于数据打乱。
    • torch：PyTorch 深度学习框架。
    • d2l：《动手学深度学习》提供的工具函数库（如绘图工具）。

2. 生成合成数据

假设真实权重向量为 w true ∈ R n \mathbf{w}_{\text{true}} \in \mathbb{R}^n wtrue​∈Rn，偏置为 b true b_{\text{true}} btrue​，噪声为高斯分布 ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) ϵ∼N(0,σ2)，则合成数据生成公式为：
y = X w true + b true + ϵ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{w}_{\text{true}} + b_{\text{true}} + \epsilon y=Xwtrue​+btrue​+ϵ
其中：

  • X ∈ R m × n \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n} X∈Rm×n：输入特征矩阵（ m m m 个样本， n n n 个特征）。
  • w true ∈ R n \mathbf{w}_{\text{true}} \in \mathbb{R}^n wtrue​∈Rn：真实权重向量。
  • ϵ ∈ R m \epsilon \in \mathbb{R}^m ϵ∈Rm：噪声向量。
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save"""生成y=Xw+b+噪声"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))  # 生成标准正态分布的输入特征 num_examples行，len(w)列y = torch.matmul(X, w) + b                      # 计算线性输出 y = Xw + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)             # 添加高斯噪声return X, y.reshape((-1, 1))                    # y行数不定(值为-1，列数为1)true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

生成的函数是一个二维线性回归模型，其数学表达式为：

y = w 1 x 1 + w 2 x 2 + b + ϵ y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b + \epsilon y=w1​x1​+w2​x2​+b+ϵ

其中：

  • 权重： w = [ w 1 , w 2 ] = [ 2 , − 3.4 ] \mathbf{w} = [w_1, w_2] = [2, -3.4] w=[w1​,w2​]=[2,−3.4]，由 true_w 定义。
  • 偏置： b = 4.2 b = 4.2 b=4.2，由 true_b 定义。
  • 噪声： ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2) ϵ∼N(0,0.012)，即均值为 0、标准差为 0.01 的高斯噪声。

展开为标量形式：
y i = 2 ⋅ x i 1 − 3.4 ⋅ x i 2 + 4.2 + ϵ i ( i = 1 , 2 , … , 1000 ) y_i = 2 \cdot x_{i1} - 3.4 \cdot x_{i2} + 4.2 + \epsilon_i \quad (i = 1, 2, \dots, 1000) yi​=2⋅xi1​−3.4⋅xi2​+4.2+ϵi​(i=1,2,…,1000)

3. 数据可视化

d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);
  • 绘制第二个特征（features[:,1] => n行第1列)与标签 labels 的散点图。

4. 定义数据迭代器

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))random.shuffle(indices)  # 打乱索引顺序for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]  # 生成小批量数据
  • 作用：
    • 将数据集按 batch_size 划分为小批量，并随机打乱顺序。
    • 使用生成器 (yield) 逐批返回数据，避免一次性加载全部数据到内存。

5. 初始化模型参数

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
  • 初始化w和b的值：
    • w：从均值为 0、标准差为 0.01 的正态分布中初始化权重，启用梯度追踪。
    • b：初始化为 0 的偏置，启用梯度追踪。
    • 参数需梯度追踪以支持反向传播。

6. 定义模型、损失函数和优化器

def linreg(X, w, b):  #@save"""线性回归模型"""return torch.matmul(X, w) + bdef squared_loss(y_hat, y):  #@save"""均方损失"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2  # 除以2便于梯度计算def sgd(params, lr, batch_size):  #@save"""小批量随机梯度下降"""with torch.no_grad():  # 禁用梯度计算for param in params:param -= lr * param.grad / batch_size  # 参数更新param.grad.zero_()                     # 梯度清零

  • linreg：模型预测值 y ^ \hat{\mathbf{y}} y^​ 的矩阵形式为：
    y ^ = X w + b \hat{\mathbf{y}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b y^​=Xw+b
    其中：

    • w ∈ R n \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n w∈Rn：待学习的权重向量。
    • b ∈ R b \in \mathbb{R} b∈R：待学习的偏置。

  • squared_loss：损失函数的矩阵形式为：
    L = 1 2 ∥ y ^ − y ∥ 2 L = \frac{1}{2} \| \hat{\mathbf{y}} - \mathbf{y} \|^2 L=21​∥y^​−y∥2
    为
    L ( w , b ) = 1 2 m ∥ X w + b − y ∥ 2 L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2m} \| \mathbf{X} \mathbf{w} + b - \mathbf{y} \|^2 L(w,b)=2m1​∥Xw+b−y∥2
    展开后：
    L ( w , b ) = 1 2 m ( X w + b 1 − y ) ⊤ ( X w + b 1 − y ) L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2m} (\mathbf{X} \mathbf{w} + b \mathbf{1} - \mathbf{y})^\top (\mathbf{X} \mathbf{w} + b \mathbf{1} - \mathbf{y}) L(w,b)=2m1​(Xw+b1−y)⊤(Xw+b1−y)

  • sgd：小批量随机梯度下降优化器，

    • 对权重 w \mathbf{w} w 的梯度
      ∇ w L = 1 m X ⊤ ( X w + b 1 − y ) \nabla_{\mathbf{w}} L = \frac{1}{m} \mathbf{X}^\top (\mathbf{X} \mathbf{w} + b \mathbf{1} - \mathbf{y}) ∇w​L=m1​X⊤(Xw+b1−y)

    • 对偏置 b b b 的梯度
      ∇ b L = 1 m 1 ⊤ ( X w + b 1 − y ) ， 1 为单位列向量 \nabla_{b} L = \frac{1}{m} \mathbf{1}^\top (\mathbf{X} \mathbf{w} + b \mathbf{1} - \mathbf{y})，\mathbf{1} 为单位列向量 ∇b​L=m1​1⊤(Xw+b1−y)，1为单位列向量

    • 使用学习率 η \eta η，参数更新公式为：
      w ← w − η ∇ w L b ← b − η ∇ b L \mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla_{\mathbf{w}} L\\ b \leftarrow b - \eta \nabla_{b} L w←w−η∇w​Lb←b−η∇b​L

7. 训练循环

lr = 0.03
num_epochs = 3
batch_size = 10  # 需补充定义（原代码未显式定义）for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y)  # 计算小批量损失l.sum().backward()         # 反向传播计算梯度sgd([w, b], lr, batch_size) # 更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

  • 作用：

    • 外层循环：遍历训练轮次 (num_epochs)。
    • 内层循环：按小批量遍历数据，计算损失并反向传播。
    • l.sum().backward()：将小批量损失求和后反向传播，计算梯度。
    • sgd：根据梯度更新参数，梯度需除以 batch_size 以保持学习率一致性。
    • 每个 epoch 结束后，计算并打印整体训练损失。
    • mean()函数计算平均值

  • 梯度下降

  l.sum().backward()  # 反向传播计算梯度sgd([w, b], lr, batch_size)  # 更新参数
  • 小批量梯度计算公式：
    ∇ w L batch = 1 batch_size X batch ⊤ ( X batch w + b − y batch ) \nabla_{\mathbf{w}} L_{\text{batch}} = \frac{1}{\text{batch\_size}} \mathbf{X}_{\text{batch}}^\top (\mathbf{X}_{\text{batch}} \mathbf{w} + b - \mathbf{y}_{\text{batch}}) ∇w​Lbatch​=batch_size1​Xbatch⊤​(Xbatch​w+b−ybatch​)
    ∇ b L batch = 1 batch_size 1 ⊤ ( X batch w + b − y batch ) \nabla_{b} L_{\text{batch}} = \frac{1}{\text{batch\_size}} \mathbf{1}^\top (\mathbf{X}_{\text{batch}} \mathbf{w} + b - \mathbf{y}_{\text{batch}}) ∇b​Lbatch​=batch_size1​1⊤(Xbatch​w+b−ybatch​)

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编程日记 2025/5/16 6:57:39

【Vite + Vue + Ts 项目三个 tsconfig 文件】

Vite Vue Ts 项目三个 tsconfig 文件 为什么 Vite Vue Ts 项目会有三个 tsconfig 文件&#xff1f;首先我们先了解什么是 tsconfig.json ? 为什么 Vite Vue Ts 项目会有三个 tsconfig 文件&#xff1f; 在使用 Vite 创建 vue-ts 模板的项目时&#xff0c;会发现除了 ts…...

编程日记 2025/5/12 17:55:27

Mac怎么彻底卸载软件，简单彻底的卸载方式

一个阳光明媚的下午&#xff0c;咖啡厅里&#xff0c;珂珂正在和他的好友帅帅讨论如何优化他们的Mac电脑&#xff0c;特别是谈到Mac怎么彻底卸载软件的时候&#xff0c;帅帅就特别感同身受&#xff0c;因为他近期就遇到了这个的麻烦&#xff0c;并且找了很久才找到号的解决方案…...

编程日记 2025/5/12 5:39:27

15 刚体变换模块（rigid.rs）

rigid.rs是一个表示三维刚体变换&#xff08;Rigid Transformation&#xff09;的结构体定义&#xff0c;用于在计算机图形学、机器人学以及物理模拟等领域中表示物体在三维空间中的旋转和平移。在这个定义中&#xff0c;所有长度在变换后都保持不变&#xff0c;这是刚体变换的…...

编程日记 2025/5/12 22:51:00

springboot使用rabbitmq

使用springboot创建rabbitMQ的链接。 整个项目结构如下&#xff1a; 1.maven依赖 <dependency><groupId>com.rabbitmq</groupId><artifactId>amqp-client</artifactId><version>3.4.1</version> </dependency>application.y…...

编程日记 2025/5/12 3:49:43

【Linux】一文带你入门了解线程和虚拟地址空间中页表映射的秘密（内附手绘底层逻辑图 通俗易懂）

绪论​ 每日激励&#xff1a;“努力去做自己该做的&#xff0c;但是不要期待回报&#xff0c;不是付出了就会有回报的&#xff0c;做了就不要后悔&#xff0c;不做才后悔。—Jack” 绪论​&#xff1a; 本章是LInux中非常重要的线程部分&#xff0c;通过了解线程的基本概念&am…...

编程日记 2025/5/15 7:23:19

高并发、高可用的消息队列（MQ）设计与实战

目录 背景与历史消息队列的核心功能高并发、高可用的业务场景消息队列的实用性企业规模与消息队列的选择Java实战案例&#xff1a;基于RabbitMQ的高并发、高可用消息队列 6.1 环境准备6.2 RabbitMQ的安装与配置6.3 Java客户端集成6.4 生产者与消费者实现6.5 高并发处理6.6 高可…...

编程日记 2025/5/11 15:07:52

nginx 新手指南

文章来源&#xff1a;https://nginx.cadn.net.cn/beginners_guide.html 本指南对 nginx 进行了基本的介绍&#xff0c;并描述了一些 可以用它完成的简单任务。 假设 nginx 已经安装在阅读器的机器上。 如果不是&#xff0c;请参阅 安装 nginx 页面。 本指南介绍如何启动和停止…...

编程日记 2025/5/15 9:39:59