当前位置：首页 > news >正文

圆域函数的傅里叶变换和傅里叶逆变换

news 来源：原创 2025/7/15 16:53:43

空域圆域函数的傅里叶变换

空域圆域函数（也称为空间中的圆形区域函数）通常指的是在二维空间中，以原点为中心、半径为 $a$ 的圆内取值为1，圆外取值为0的函数。这种函数可以表示为：

$\begin{cases} 1 & \text{if } x^2 + y^2 \leq a^2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

二维傅里叶变换定义为：

$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-j2\pi(ux + vy)} dx dy$

对于上述给定的圆形区域函数，其傅里叶变换 $F (u, v)$ 不能直接用简单的解析表达式来表示，但可以通过积分计算得到。由于该函数是关于原点对称的，并且仅依赖于到原点的距离，因此其傅里叶变换也将是关于原点对称的，并且只与频率变量 $u, v$ 到原点的距离有关。具体来说， $F (u, v)$ 可以表示为 $F(\rho)$ ，其中 $\rho = \sqrt{u^2 + v^2}$ 。

傅里叶变换的结果涉及到第一类贝塞尔函数 $J_1$ ，它描述了变换后的分布特性。对于给定的圆形区域函数，其傅里叶变换形式为：

$F(\rho) = \frac{a} { \rho} J_1(2\pi a \rho)$

这里， $J_1$ 是第一类贝塞尔函数的第一个阶数。这个结果表明，在频率域中，原始圆形区域的影响随着距离增大而逐渐减小，且具有振荡性质，这反映了原始信号的空间局限性导致的频谱特征。

在这里插入图片描述

频域圆域函数的傅里叶逆变换

对于一个二维频域中的理想低通滤波器，其频率响应 $H (u, v)$ 可以表示为：

$\begin{cases} 1 & \text{if } u^2 + v^2 \leq R^2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

其中 $R$ 是圆的半径。该函数在时域（或空间域）的逆傅里叶变换 $f (x, y)$ 可以写成等号的形式如下：

$\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} H(u, v) e^{j2\pi(ux + vy)} du dv$

由于 $H (u, v)$ 在圆外为0，在圆内为1，我们可以将积分限制到圆内：

$\frac{1}{4\pi^2}\int_{u^2+v^2 \leq R^2} e^{j2\pi(ux + vy)} du dv$

这个积分可以进一步简化，并且已知结果是与第一类贝塞尔函数 $J_1$ 有关的一个表达式。理想低通滤波器的空间域响应可以表示为：

$\frac{R}{4\pi^2} \cdot \frac{J_1(2\pi R \sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

这里 $J_1(z)$ 是第一类贝塞尔函数， $R$ 是圆的半径。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
推导过程

理想低通滤波器在频域中的表示是一个在以原点为中心、半径为 $R$ 的圆域内为1，圆域外为0的函数。其数学表达式为：

$\begin{cases} 1 & \text{if } u^2 + v^2 \leq R^2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

计算这个频域函数的傅里叶逆变换，以得到其在空间域中的表示 $h (x, y)$ 。傅里叶逆变换的公式为：

$\frac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} H(u, v) e^{i2\pi(ux + vy)} du dv$

由于 $H (u, v)$ 只在圆域内非零，积分可以简化为在圆域内的积分：

$\frac{1}{4\pi^2} \int_{u^2 + v^2 \leq R^2} e^{i2\pi(ux + vy)} du dv$

为了简化计算，我们将直角坐标系下的积分转换到极坐标系下。设 $r\cos\theta$ 和 $r\sin\theta$ ，则 $d\theta$ 。因此，积分变为：

$\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} e^{i2\pi r (x\cos\theta + y\sin\theta)} r dr d\theta$

首先计算内层积分：

$\int_{0}^{2\pi} e^{i2\pi r (x\cos\theta + y\sin\theta)} d\theta$

令 $x\cos\theta + y\sin\theta$ ，则 $z$ 可以看作是 $r$ 与 $(x, y)$ 之间的点积。利用 Bessel 函数的性质，可以得到：

$\int_{0}^{2\pi} e^{i2\pi r (x\cos\theta + y\sin\theta)} d\theta = 2\pi J_0(2\pi r \sqrt{x^2 + y^2})$

其中 $J_0$ 是零阶第一类 Bessel 函数。因此，原积分变为：

$\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{R} 2\pi J_0(2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}) r dr$

进一步简化：

$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{R} J_0(2\pi r \sqrt{x^2 + y^2}) r dr$

接下来，计算这个积分。令 $2\pi \sqrt{x^2 + y^2}$ ，则积分变为：

$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{R} J_0(kr) r dr$

利用 Bessel 函数的积分性质，可以得到：

$\int_{0}^{R} J_0(kr) r dr = \frac{R J_1(kR)}{k}$

因此，最终的解析表达式为：

$\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{R J_1(2\pi R \sqrt{x^2 + y^2})}{2\pi \sqrt{x^2 + y^2}}$

简化后：

$\frac{R}{4\pi^2} \cdot \frac{J_1(2\pi R \sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

这就是理想低通滤波器的傅里叶逆变换的解析表达式。

空域圆域函数的傅里叶变换

频域圆域函数的傅里叶逆变换

相关文章：