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【数据结构】树的基本：结点、度、高度与计算

news 来源：原创 2025/7/13 21:33:08

树是数据结构中一种重要的非线性结构，广泛应用于计算机科学的各个领域，例如文件系统、数据库索引、编译器等。理解树的各种性质，如结点数、度、高度等，对于解决实际问题至关重要。

本文将会探讨树的基本概念，以及给出几个王道考研例题和常见公式，不对树的数据结构做出过多原理解释

1. 树的基本概念

  • 结点 (Node)： 树中的每个元素称为结点。结点包含数据和指向子结点的指针。
  • 边 (Edge)： 连接两个结点的线称为边。
  • 根结点 (Root)： 树的顶端结点，没有父结点。
  • 父结点 (Parent)： 若一个结点包含指向另一个结点的指针，则称前者为后者的父结点。
  • 子结点 (Child)： 若一个结点被另一个结点指向，则称前者为后者的子结点。
  • 兄弟结点 (Sibling)： 拥有同一个父结点的结点互称为兄弟结点。
  • 叶结点 (Leaf)： 没有子结点的结点称为叶结点。
  • 度 (Degree)： 一个结点的子结点个数称为该结点的度。
  • 树的度 (Degree of a Tree)： 树中所有结点的度的最大值称为树的度。
  • 路径 (Path)： 从一个结点到另一个结点所经过的结点序列称为路径。
  • 路径长度 (Path Length)： 路径上边的数量。
  • 层 (Level)： 根结点为第 1 层，其子结点为第 2 层，以此类推。
  • 高度 (Height)： 从根结点到最远叶子结点的最长路径上的结点数（或边的数量加 1）。
  • 深度 (Depth)： 从根结点到该结点的路径长度加 1。

2. 树的重要性质和公式

  1. 结点数与度数的关系： 设 n n n 为树的结点总数， n i n_i ni​ 表示度为 i i i 的结点个数，则有：

    n = ∑ i = 0 m n i n = \sum_{i=0}^{m} n_i n=i=0∑m​ni​

    其中 m m m 是树的度。同时，根据每个结点（除根结点外）都恰好有一个父结点，可以得到：

    n = ∑ i = 0 m i ⋅ n i + 1 n = \sum_{i=0}^{m} i \cdot n_i + 1 n=i=0∑m​i⋅ni​+1

    这个公式非常重要，在很多题目中都会用到。

  2. 第 i i i 层最多结点数： 度为 m m m 的树中，第 i i i 层上至多有 m i − 1 m^{i-1} mi−1 个结点 ( i ≥ 1 i \ge 1 i≥1)。这个性质可以通过数学归纳法证明。

  3. 高度为 h h h 的 m m m 叉树最多结点数： 高度为 h h h 的 m m m 叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1​ 个结点。当每一层的结点数都达到最大值时，总结点数达到最大。这个公式可以通过等比数列求和公式推导得出：

    1 + m + m 2 + ⋯ + m h − 1 = m h − 1 m − 1 1 + m + m^2 + \cdots + m^{h-1} = \frac{m^h - 1}{m - 1} 1+m+m2+⋯+mh−1=m−1mh−1​

  4. n n n 个结点的 m m m 叉树最小高度： 度为 m m m、具有 n n n 个结点的树的最小高度 h h h 为 ⌈ log ⁡ m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log_m(n(m-1) + 1) \rceil ⌈logm​(n(m−1)+1)⌉，其中 ⌈ x ⌉ \lceil x \rceil ⌈x⌉ 表示向上取整。为了使高度最小，应尽可能使每一层的结点数都达到最大值，即形成完全 m m m 叉树。

    推导过程如下：假设前 h − 1 h-1 h−1 层都是满的，则前 h − 1 h-1 h−1 层的结点数为 m h − 1 − 1 m − 1 \frac{m^{h-1} - 1}{m - 1} m−1mh−1−1​。加上第 h h h 层的结点，总结点数 n n n 满足：

    m h − 1 − 1 m − 1 < n ≤ m h − 1 m − 1 \frac{m^{h-1} - 1}{m - 1} < n \le \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1−1​<n≤m−1mh−1​

    化简不等式，可得最小高度 h h h。

  5. n n n 个结点的 m m m 叉树最大高度： 度为 m m m、具有 n n n 个结点的树的最大高度 h h h 为 n − m + 1 n - m + 1 n−m+1。为了使高度最大，应尽可能使除少数结点外，其他结点都只有一个子结点，形成“链状”结构。

3. 例题实战

例题 04： 对于一棵具有 n n n 个结点、度为 4 的树来说，()。

A. 树的高度至多是 n − 3 n-3 n−3
B. 树的高度至多是 n − 4 n-4 n−4
C. 第 i i i 层上至多有 4 ( i − 1 ) 4(i-1) 4(i−1) 个结点
D. 至少在某一层上正好有 4 个结点

解析： 根据性质 5，度为 4 的树，其最大高度为 n − 4 + 1 = n − 3 n - 4 + 1 = n - 3 n−4+1=n−3，故 A 正确。C 选项根据性质 2，第 i i i 层最多有 4 i − 1 4^{i-1} 4i−1 个结点，而不是 4 ( i − 1 ) 4(i-1) 4(i−1) 个。D 不一定成立，例如只有根结点和四个子结点的树，只有一层有 4 个结点。

答案： A

例题 05： 度为 4、高度为 h h h 的树，()。

A. 至少有 h + 3 h+3 h+3 个结点
B. 至多有 4 h − 1 4h-1 4h−1 个结点
C. 至少有 4 h 4h 4h 个结点
D. 至多有 h + 4 h + 4 h+4 个结点

解析： 根据性质 5 的逆推，高度为 h h h、度为 m m m 的树至少有 h + m − 1 h + m - 1 h+m−1 个结点，所以度为 4、高度为 h h h 的树至少有 h + 4 − 1 = h + 3 h + 4 - 1 = h + 3 h+4−1=h+3 个结点，故 A 正确。

答案： A

例题 06： 假定一棵度为 3 的树中，结点数为 50，则其最小高度为 ()。

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

解析： 根据性质 4，最小高度 h = ⌈ log ⁡ 3 ( 50 ( 3 − 1 ) + 1 ) ⌉ = ⌈ log ⁡ 3 ( 101 ) ⌉ h = \lceil \log_3(50(3-1) + 1) \rceil = \lceil \log_3(101) \rceil h=⌈log3​(50(3−1)+1)⌉=⌈log3​(101)⌉。因为 3 4 = 81 3^4 = 81 34=81， 3 5 = 243 3^5 = 243 35=243，所以 log ⁡ 3 ( 101 ) \log_3(101) log3​(101) 介于 4 和 5 之间，向上取整为 5。

答案： C

例题 07： 若森林 F F F 有 15 条边、25 个结点，则 F F F 包含树的个数是（ ）。

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

解答：
森林的性质：对于一片森林，树的个数 t = n − e t=n−e t=n−e，其中 n n n 是结点数， e e e 是边数。
代入数据：

t = 25 − 15 = 10 t=25−15=10 t=25−15=10

因此，森林 FF 包含 10 棵树。

答案： C

例题8： 设呀一颗 m m m 叉树中有 N 1 N_1 N1​ 个度数为 1 1 1 的节点， N 2 N_2 N2​ 个度数为 2 2 2 的节点 . . . ... ... N m N_m Nm​ 个度数为 m m m 的节点，则该树中共有( )个叶子节点

A. ∑ i = 1 m ( i − 1 ) N i \sum_{i=1}^m(i-1) N_i ∑i=1m​(i−1)Ni​

B. ∑ i = 1 m N i \sum_{i=1}^m N_i ∑i=1m​Ni​

C. ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i \sum_{i=2}^m(i-1) N_i ∑i=2m​(i−1)Ni​

D. ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i + 1 \sum_{i=2}^m(i-1) N_i+1 ∑i=2m​(i−1)Ni​+1

**答案：**D

解答：

在一颗 m m m 叉树中，除了叶节点之外，每个节点都有一个父节点，因此我们可以利用下面两个等式：

  1. 总节点数 = 叶子节点 + 非叶子节点
  2. 总节点数 = 总度数 + 1 -> 总度数 = 总节点数 - 1

所以，我们假设总节点数为 N N N，叶子节点数为 N 0 N_0 N0​，则

  • 总结点数 N = N 0 + N 1 + N 2 + . . . + N m N = N_0 + N_1 + N_2 + ... + Nm N=N0​+N1​+N2​+...+Nm
  • 总度数 = 1 ∗ N 1 + 2 ∗ N 2 + . . . + m ∗ N M 1 * N_1 + 2 * N_2 + ... + m * N_M 1∗N1​+2∗N2​+...+m∗NM​

联立等式

N 0 + N 1 + N 2 + . . . + N m − 1 = 1 ∗ N 1 + 2 ∗ N 2 + 3 ∗ N 3 + . . . + m ∗ N M N_0 + N_1 + N_2 + ... + Nm - 1 = 1 * N_1 + 2 * N_2 + 3 * N_3 + ... + m * N_M N0​+N1​+N2​+...+Nm−1=1∗N1​+2∗N2​+3∗N3​+...+m∗NM​

可解的

N 0 = 1 ∗ N 2 + . . . + ( m − 1 ) ∗ N m + 1 N_0 = 1 * N_2 + ... + (m - 1) * N_m + 1 N0​=1∗N2​+...+(m−1)∗Nm​+1

N 0 = ∑ m = 2 m ( m − 1 ) N m + 1 N_0 = \sum_{m=2}^m(m - 1)N_m + 1 N0​=∑m=2m​(m−1)Nm​+1

例题9：【2010 统考真题】在一棵度为 4 的树 T T T 中，若有 20 个度为 4 的结点， 10 个度为 3 的结点， 1 个度为 2 的结点， 10 个度为 1 的结点，则树 T T T 的叶结点个数是（ ）。
A． 41
B． 82
C． 113
D． 122

答案： B

解答：

这个问题是问题 08 的一个具体应用。已知了每个度数的结点数量，我们可以直接套用问题 08 中推导出的公式。

根据问题 08 的公式：

N 0 = ∑ i = 2 m ( i − 1 ) N i + 1 N_0=\sum_{i=2}^m(i-1) N_i+1 N0​=i=2∑m​(i−1)Ni​+1

在问题 09 中， m = 4 , N 1 = 10 , N 2 = 1 , N 3 = 10 , N 4 = 20 m=4, ~ N_1=10, N_2=1, N_3=10, N_4=20 m=4, N1​=10,N2​=1,N3​=10,N4​=20 。将这些直代入公式：

N 0 = ( 2 − 1 ) ∗ N 2 + ( 3 − 1 ) ∗ N 3 + ( 4 − 1 ) ∗ N 4 + 1 N 0 = ( 1 ) ∗ 1 + ( 2 ) ∗ 10 + ( 3 ) ∗ 20 + 1 N 0 = 1 + 20 + 60 + 1 N 0 = 82 \begin{aligned} & N_0=(2-1) * N_2+(3-1) * N_3+(4-1) * N_4+1 \\ & N_0=(1) * 1+(2) * 10+(3) * 20+1 \\ & N_0=1+20+60+1 \\ & N_0=82 \end{aligned} ​N0​=(2−1)∗N2​+(3−1)∗N3​+(4−1)∗N4​+1N0​=(1)∗1+(2)∗10+(3)∗20+1N0​=1+20+60+1N0​=82​

6. 关键点总结

  • 结点数与度数的关系： n = ∑ i = 0 m i ⋅ n i + 1 n = \sum_{i=0}^{m} i \cdot n_i + 1 n=∑i=0m​i⋅ni​+1
  • 第 i i i 层最多结点数： m i − 1 m^{i-1} mi−1
  • 高度为 h h h 的 m m m 叉树最多结点数： m h − 1 m − 1 \frac{m^h - 1}{m - 1} m−1mh−1​
  • n n n 个结点的 m m m 叉树最小高度： ⌈ log ⁡ m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil \log_m(n(m-1) + 1) \rceil ⌈logm​(n(m−1)+1)⌉
  • n n n 个结点的 m m m 叉树最大高度： n − m + 1 n - m + 1 n−m+1
  • 对于一片森林，树的个数 t = n − e t=n−e t=n−e，其中 n n n 是结点数， e e e 是边数

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编程日记 2025/7/12 19:56:47

[cg] 使用snapgragon 对UE5.3抓帧

最近想要抓opengl 的api&#xff0c;renderdoc在起应用时会闪退&#xff08;具体原因还不知道&#xff09;&#xff0c;试了下snapgraon, 还是可以的 官网需要注册登录后下载&#xff0c;官网路径&#xff1a;Developer | Qualcomm 为了方便贴上已经下载好的exe安装包&#x…...

编程日记 2025/7/13 18:54:39

Java 集合框架介绍

Java学习资料 Java学习资料 Java学习资料 在 Java 编程中&#xff0c;集合框架是一个强大且常用的工具&#xff0c;它为存储和操作一组对象提供了统一的体系结构。通过集合框架&#xff0c;我们能够高效地管理数据&#xff0c;提升程序的灵活性和可维护性。 一、集合框架的概…...

编程日记 2025/7/12 20:30:12

【博客之星】2024年度创作成长总结 - 面朝大海 ，春暖花开!

没关系的&#xff0c;大家都会做错选择&#xff0c;会 莫名其妙掉眼泪&#xff0c;走在路上会突然崩溃&#xff0c; 但这并不影响我们去看看晚霞&#xff0c; 再次爱上这个世界。 面朝大海 &#xff0c;春暖花开! about meReviewLife about me 现在我是一名24级计算机类的…...

编程日记 2025/7/12 19:46:18

windows11关闭系统更新详细操作步骤

文章目录 1.打开注册表2.修改注册表内容2.1 新建文件2.2 修改值 3.修改设置 1.打开注册表 winR输入regedit(如下图所示) 2.修改注册表内容 进HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\WindowsUpdate\UX\Settings 2.1 新建文件 右侧界面右键即可 2.2 修改值 重命名为如下…...

编程日记 2025/7/14 6:11:58

医学图像分析工具09.1：Brainstorm安装教程

1. 安装前准备 **官方安装包和数据&#xff1a;**https://neuroimage.usc.edu/bst/download.php **官方安装教程&#xff1a;**https://neuroimage.usc.edu/brainstorm/Installation Matlab 版本要求&#xff1a; 有 Matlab&#xff1a; R2009b (7.9) 或更高版本没有 Matlab&…...

编程日记 2025/7/12 19:08:37

蚁群算法 (Ant Colony Optimization) 算法详解及案例分析

蚁群算法 (Ant Colony Optimization) 算法详解及案例分析 目录 蚁群算法 (Ant Colony Optimization) 算法详解及案例分析1. 引言2. 蚁群算法 (ACO) 算法原理2.1 蚂蚁觅食行为2.2 算法步骤2.3 数学公式3. 蚁群算法的优势与局限性3.1 优势3.2 局限性4. 案例分析4.1 案例1: 旅行商…...

编程日记 2025/7/12 21:07:10

鸿蒙next 自定义日历组件

效果图预览 20250124-113957 使用说明 1.选择日期左右箭头&#xff0c;实现每月日历切换&#xff0c;示例中超出当前月份&#xff0c;禁止进入下一月&#xff0c;可在代码更改 2.日历中显示当前选择的日期&#xff0c;选中的日期颜色可自定义 3.日历中可展示历史记录作为数据…...

编程日记 2025/7/12 21:01:36

Android BitmapShader简洁实现马赛克，Kotlin（二）

Android BitmapShader简洁实现马赛克&#xff0c;Kotlin&#xff08;二&#xff09; 这一篇 Android BitmapShader简洁实现马赛克&#xff0c;Kotlin&#xff08;一&#xff09;-CSDN博客 遗留一个问题&#xff0c;xml定义的MyView为wrap_content的宽高&#xff0c;如果改成其…...

编程日记 2025/7/12 20:33:48

MATLAB编写遗传算法【Genetic Algorithm（GA）】求解函数最大值

一、遗传算法基础知识 来自B站视频的笔记&#xff1a; 【超容易理解】手把手逐句带你解读并实现遗传算法的MATLAB编程&#xff08;结合理论基础&#xff09;_哔哩哔哩_bilibili 1、遗传算法 使用“适者生存”的原则&#xff0c;在遗传算法的每一代中&#xff0c;…...

编程日记 2025/7/12 20:03:12

remove和delete应用场景

"Remove" 和 "delete" 都有“移除、去除”的意思&#xff0c;但它们在使用时有一些细微的区别&#xff0c;通常根据上下文来决定使用哪一个。以下是它们的主要区别&#xff1a; 1. Remove "Remove" 是一个相对通用的词&#xff0c;指的是从某个…...

编程日记 2025/7/12 20:09:43

Redis 详解

简介 Redis 的全称是 Remote Dictionary Server&#xff0c;它是一个基于内存的 NoSQL&#xff08;非关系型&#xff09;数据库&#xff0c;数据以 键值对 存储&#xff0c;支持各种复杂的数据结构 为什么会出现 Redis&#xff1f; Redis 的出现是为了弥补传统数据库在高性能…...

编程日记 2025/7/14 1:26:10

亲测有效！解决PyCharm下PyEMD安装报错 ModuleNotFoundError: No module named ‘PyEMD‘

解决PyCharm下PyEMD安装报错 PyEMD安装报错解决方案 PyEMD安装报错 PyCharm下通过右键自动安装PyEMD后运行报错ModuleNotFoundError: No module named ‘PyEMD’ 解决方案 通过PyCharm IDE python package搜索EMD-signal&#xff0c;选择版本后点击“install”执行安装...

编程日记 2025/7/12 20:45:20

Java 设计模式 二 单例模式 (Singleton Pattern)

单例模式 (Singleton Pattern) 是一种常见的设计模式&#xff0c;属于创建型模式。它的核心思想是确保一个类只有一个实例&#xff0c;并提供一个全局访问点来获取该实例。通常用于那些需要全局控制的场景&#xff0c;比如配置管理、日志系统、数据库连接池等。 1. 单例模式的…...

编程日记 2025/7/14 5:00:56

golang网络编程

socket编程 socket图解 Socket是BSD UNIX的进程通信机制&#xff0c;通常也称作”套接字”&#xff0c;用于描述IP地址和端口&#xff0c;是一个通信链的句柄。Socket可以理解为TCP/IP网络的API&#xff0c;它定义了许多函数或例程&#xff0c;程序员可以用它们来开发TCP/IP网…...

编程日记 2025/7/12 20:26:17

kotlin内联函数——takeIf和takeUnless

1.takeIf 当对一个对象调用takeIf时&#xff0c;如果对象满足给定的判断条件&#xff0c;则返回该对象&#xff1b;否则&#xff0c;返回null。因此&#xff0c;takeIf是对单个对象进行过滤的函数。例如&#xff0c; class User {var name: String? nullvar age 99fun set…...

编程日记 2025/7/12 20:32:54

计算机网络 （54）系统安全：防火墙与入侵检测

前言 计算机网络系统安全是确保网络通信和数据不受未经授权访问、泄露、破坏或篡改的关键。防火墙和入侵检测系统&#xff08;IDS&#xff09;是维护网络系统安全的两大核心组件。 一、防火墙 定义与功能 防火墙是一种用来加强网络之间访问控制的特殊网络互联设备&#xff0c;它…...

编程日记 2025/7/12 19:32:05

第38周：猫狗识别 (Tensorflow实战第八周)

目录 前言 一、前期工作 1.1 设置GPU 1.2 导入数据 输出 二、数据预处理 2.1 加载数据 2.2 再次检查数据 2.3 配置数据集 2.4 可视化数据 三、构建VGG-16网络 3.1 VGG-16网络介绍 3.2 搭建VGG-16模型 四、编译 五、训练模型 六、模型评估 七、预测 总结 前言…...

编程日记 2025/7/12 20:26:17

【力扣Hot 100】矩阵1

矩阵置零&#xff1a;1. 开两个数组判断该行/该列是否有0&#xff1b;2. 用第0行/第0列分别判断该列/该行是否有0 螺旋矩阵&#xff1a;记录方向&#xff0c;一直按某方向前进&#xff0c;遇到障碍方向就变一下 1. 矩阵置零 给定一个 *m* x *n* 的矩阵&#xff0c;如果一个元…...

编程日记 2025/7/12 19:56:47

量子编程语言：Qiskit 与 Cirq

在量子计算的领域&#xff0c;开发者已经可以使用一些专门为量子计算设计的编程语言和框架。其中&#xff0c;Qiskit 和 Cirq 是两个非常流行的选择&#xff0c;它们为不同的量子计算机提供编程接口&#xff0c;帮助开发者理解量子电路的设计和执行。 1. Qiskit Qiskit 是 IBM…...

编程日记 2025/7/12 20:31:30