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拟合算法 (matlab工具箱)

news 来源：原创 2025/6/9 13:07:46

拟合算法：

1线性最小二乘法拟合

使用matlab进行求解

拟合优度：R^2

拟合优度的matlab代码：

2,Matlab工具箱的教学

一些函数:

拟合算法：

插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那么这个多项式次数过高，会造成龙格现象

尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到-个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可，这就是拟合的思想。(拟合的结果是得到一个确定的曲线)

1线性最小二乘法拟合

原理：假设数据点（Xi,Yi）,i=1,2.....,n.我们希望找到一条直线y=ax+b来最佳拟合这些数据。最佳拟合的标准是使各数据点到直线的纵向距离的平方和最小，即最小化目标函数

通过对a和b求偏导数，并令偏导数为 0，可得到关于a和b的方程组，解方程组即可求得a和b的值。(让s最小）

这个S在机器学习中也叫损失函数，在回归中被叫做残差平方和

a就是，b就是

使用matlab进行求解

clear;clc

load data1

plot(x,y,'o')

% 给x和y轴加上标签

xlabel('x的值')

ylabel('y的值')

n = size(x,1);%有多少个x就有多少个样本

k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))

%x.*y后求和，表示∑xi*yi，后面的依次是∑yi和∑xi

b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))

hold on % 继续在之前的图形上来画图形

grid on % 显示网格线

f=@(x) k*x+b;%匿名函数

fplot(f,[2.5,7]);

legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。

% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval = [xmin xmax] 表示定义域的范围

拟合优度：R^2

下面的表示实际值，表示平均值，表示拟合值

总体平方和SST:

误差平方和SSE:

回归平方和SSR:

这里的SST==SSE+SSR

拟合优度R^2:

这里的R^2越接近1越好，同理，可以简单的说SSE占比SST越小越好

这里的R^&2只能拟合线性函数（这里的线性指的是a和b是线性，而不是x）,否则建议给SSE

拟合优度的matlab代码：

y_hat = k*x+b; % y的拟合值

SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和

SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和

SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和

SST-SSE-SSR % 5.6843e-14 = 5.6843*10^-14 matlab浮点数计算的一个误差

R_2 = SSR / SST

2,Matlab工具箱的教学

左上角选择数据

下面是自动拟合的

它告诉我们使用的是

一些其他数据

可以我们自己选择拟合的函数

如果选择的是指数，就会是这样

也可以二次函数拟合

下面是例题

下表给出了近2个世纪的美国人口统计数据(单位:百万人)，请使用最下面给定的拟合函数预测后30年的美国人口。

这里的xm和r是两个拟合的参数，t表示年份，x(t)表示第t年的人口

在cftool中导入数据后，自定义函数

发现图像没收敛

这里的问题是拟合起点有问题，需要我们更改拟合的起点

更改后就可以发现拟合就比较好了

之后直接导出使用就好了

一些函数:

% （1）randi : 产生均匀分布的随机整数（i = int）

%产生一个1至10之间的随机整数矩阵，大小为2x5；

s1 = randi(10,2,5)

%产生一个-5至5之间的随机整数矩阵，大小为1x10；

s2 = randi([-5,5],1,10)

% （2） rand: 产生0至1之间均匀分布的随机数

%产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；

s3 = rand(1,5)

%产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5； % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5

s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)

% （3）normrnd:产生正态分布的随机数

%产生一个均值为0，标准差（方差开根号）为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；

s5 = normrnd(0,2,3,4)

% （4）roundn—任意位置四舍五入

% 0个位 1十位 2百位 -1小数点后一位

a = 3.1415

roundn(a,-2) % ans = 3.1400

roundn(a,2) % ans = 0

a =31415

roundn(a,2) % ans = 31400

roundn(5.5,0) %6

roundn(5.5,1) %10

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