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【线性代数】行列式的概念

news 来源：原创 2025/6/8 16:33:26

$=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n } (-1)^{\sigma(i_1,\cdots,i_n)} a_{1,i_1}a_{2,i_2},\cdots, a_{n,i_n}$

$i_1,\cdots,i_n$ 是 $1,\cdots,n$ 的排列.

计算复杂度

$O(n\cdot n!)$

${1,2\}$ 的全排列如下

排列	逆序数	奇偶性
$1, 2$	0	偶
$2, 1$	1	奇

$\left[\begin{matrix}a_{1,1} &a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{matrix}\right]$

${1,2,3\}$ 的全排列如下

排列	逆序数	奇偶性
$1, 2, 3$	0	偶
$1, 3, 2$	1	奇
$2, 1, 3$	1	奇
$2, 3, 1$	2	偶
$3, 1, 2$	2	偶
$3, 2, 1$	3	奇

$\left[\begin{matrix}a_{1,1} &a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2}& a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{matrix}\right]$

递归法生成全排列

using CSV, DataFrames, Tables
function OE(sigma)   # 判断奇偶置换n=length(sigma); out=1for i=1:nfor j=1:n-1if sigma[j] > sigma[j+1]out=-out;  sigma[j],sigma[j+1]=sigma[j+1], sigma[j]endendendreturn(out)
end
function remove_last(seq)   # 删除序列最后一个元素
lth=length(seq)
z=copy(seq[1:lth-1])
return(z)
end
function rankfull(seq,n,cpl)  # 递归全排列生成器lth=length(seq)if lth==1m=[cpl; seq]open("rankfull_sol.txt","a") do iofor i=1:ns=m[i];  write(io, "$s,")endwrite(io,"\n");endelsefor i=1:lths=seq[i];    idx=0;list=zeros(Int,lth-1)for j=1:lthif !(seq[j]==s)idx=idx+1;  list[idx]=seq[j]endendcpl=[cpl; s];rankfull(list,n,cpl)cpl=remove_last(cpl)endend
end
function det_defn(A)  # 定义法求行列式lth=size(A,1)seq=1:lthglobal ranksol=[seq];lth=length(seq); cpl=[]; iters=factorial(lth)tryrankfull(seq,lth,cpl)catch nothingendio=open("rankfull_sol.txt","r")data=read(io,String)file = CSV.File(IOBuffer(data), header=false)CSV.write("fullrank.csv", file)close(io)sigma=zeros(Int64,iters,lth);for i=1:factorial(lth)for j=1:lthsigma[i,j]=file[i][j]endendDETs=0*A[1,1]for i=1:itersPrs=1for j=1:lthPrs=Prs*M[j,sigma[i,j]]endDETs=DETs+ OE(sigma[i,:])*Prsendreturn(DETs)
end
M=[4//1 3 2 1;3 2 1 4;2 1 4 3;1 4 3 2]
a= det_defn(M)
println("\n")
println("defn=",a)

-160//1

邻近对换算法生成全排列

function ranking(lth)  # 邻近对换全排列生成器prd=1;  arr=zeros(Int64,lth);for i=1:lth arr[i]=i endfor i=1:lth   prd=prd*i endjx=lth  ; dr=-1;   s=0;for j=1:prdif dr<0if jx>1arr[jx],arr[jx+dr] =   arr[jx+dr],arr[jx]jx=jx+drelsearr[lth],arr[lth-1] =   arr[lth-1],arr[lth]dr=-drendelseif jx<ltharr[jx],arr[jx+dr] =   arr[jx+dr],arr[jx];jx=jx+drelsearr[1],arr[2] =   arr[2],arr[1];   dr=-drendendopen("ranking_sol.txt","a") do iofor i=1:lths=arr[i];  write(io, "$s,")endwrite(io,"\n");end    end
end
function det_defn2(A)  # 定义法求行列式lth=size(A,1)seq=1:lthglobal ranksol=[seq];lth=length(seq); cpl=[]; iters=factorial(lth)try rm("ranking_sol.txt")catchnothingendranking(lth)io=open("ranking_sol.txt","r")data=read(io,String)file = CSV.File(IOBuffer(data), header=false)CSV.write("fullrank.csv", file)close(io)sigma=zeros(Int64,iters,lth);for i=1:factorial(lth)for j=1:lthsigma[i,j]=file[i][j]endendDETs=0*A[1,1]for i=1:itersPrs=1for j=1:lthPrs=Prs*M[j,sigma[i,j]]endDETs=DETs+ OE(sigma[i,:])*Prsendreturn(DETs)
end    
M=[4//1 3 2 ;3 2 1 ;2 1 4]
a= det_defn2(M)

-160//1

【线性代数】行列式的概念

d e t ( A ) ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i n ( − 1 ) σ ( i 1 , ⋯ , i n ) a 1 , i 1 a 2 , i 2 , ⋯ , a n , i n det(A) \sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n } (-1)^{\sigma(i_1,\cdots,i_n)} a_{1,i_1}a_{2,i_2},\cdots, a_{n,i_n} det(A)i1,i2,⋯,in∑(−1)σ(i1,⋯,in)a1…...

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react中hooks之useEffect 用法总结

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在Qt中，直接从子线程更新UI（用户界面）通常会导致各种问题，主要是因为Qt的UI组件（如QWidget及其子类）并不是线程安全的。具体来说，可能会出现以下问题： 崩溃和未定义行为：…...

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Vue篇-07

Vue UI组件库一、移动端常用的UI组件库 1.1、Vant 1.2、Cube UI 1.3、Mint UI 二、PC端常用的UI组件库 2.1、Element UI Element - The worlds most popular Vue UI framework 安装： 按需引入： 135_尚硅谷Vue技术_element-ui按需引入_哔哩哔哩_b…...

编程日记 2025/6/4 7:32:46

Zookeeper 数据迁移实战：基础环境搭建与高效迁移方案全览

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【网络云SRE运维开发】2025第3周-每日【2025/01/15】小测-【第14章ospf高级配置】理论和实操解析

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编程日记 2025/6/3 14:21:28

c#-Halcon入门教程——标定

Halcon代码 read_image (NinePointCalibration, D:/Desktop/halcon/ca74d-main/九点标定/NinePointCalibration.gif)rgb1_to_gray (NinePointCalibration, GrayImage)get_image_size (GrayImage, Width, Height) dev_display (GrayImage)* 获取当前显示的窗口句柄 dev_get_win…...

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设计和优化用于 AR、HUD 和高级显示系统的表面浮雕光栅

表面浮雕光栅是许多光学系统中的关键组件，在控制增强现实 （AR） 显示器、平视显示器 （HUD） 和其他先进光子器件中的光传播方面发挥着关键作用。作为在这个领域工作的工程师和设计师，您了解针对特定应用优化这…...

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编译pytorch——cuda-toolkit-nvcc

链接 https://blog.csdn.net/wjinjie/article/details/108997692https://docs.nvidia.com/cuda/cuda-installation-guide-linux/#switching-between-driver-module-flavorshttps://forums.developer.nvidia.com/t/can-not-load-nvidia-drivers-on-ubuntu-22-10/239750https://…...

编程日记 2025/6/3 10:03:06

递归法生成全排列

邻近对换算法生成全排列

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