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【数学】概率论与数理统计（三）

news 来源：原创 2025/6/17 17:19:31

文章目录

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随机变量的概念
随机事件数量化
随机变量

离散型随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散型随机变量
离散型随机变量的常见分布
两点分布
二项分布
泊松分布
泊松定理
证明

泊松分布

超几何分布
几何分布

连续型随机变量及其概率分布
连续型随机变量
零概率事件
几乎必然发生的事件

连续型随机变量的常见分布
均匀分布
指数分布
正态分布

随机变量的概念

随机事件数量化

好处：可以用数学分析的方法来研究随机现象
关键：寻找一个实值单值函数 $X$ ，其定义域是样本空间 $\Omega$

随机变量

设 $\Omega$ 是随机试验 $E$ 的样本空间，若 $\forall \omega \in \Omega$ ，有唯一的实数值 $X(\omega)$ 与之对应，则称 $X(\omega)$ 为随机变量，简记为 $X$
对任意事件 $A$ ，可以在样本空间 $\Omega$ 上定义函数

$\Chi_{A}(\omega) = \begin{cases} 1, & 当 \omega \in A \\ 0, & 当 \omega \notin A \end{cases}$

称 $\Chi_{A}(\omega)$ 为 $A$ 的示性函数，显然， $\Chi_{A}$ 是一个随机变量，而“ $\Chi_{A} = 1$ ”表示事件 $A$ 发生了，“ $\Chi_{A} = 0$ ”表示事件 $A$ 未发生

离散型随机变量及其概率分布

随机变量的分类

将随机变量按其可能取值的性质区分为离散型随机变量与非离散型随机变量
非离散型又包括连续型和其他类型

离散型随机变量

称可能取值是有限个或可列无穷多个的随机变量为离散型随机变量
称 $P\set{X = x_{k}} = p_{k} , k = 1, 2, \cdots$ 为离散型随机变量 $X$ 的概率分布或分布律，分布律也可写成

$\left( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & \cdots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} & \cdots \end{matrix} \right)$

$\begin{array}{c | c c c c c} X & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & \cdots \\ \hline P & p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{n} & \cdots \end{array}$

离散型随机变量的常见分布

两点分布

若随机变量 $X$ 只可能取 $0$ 和 $1$ 两个值，它的分布律为

$\begin{array}{c | c c} X & 0 & 1 \\ \hline P & 1 - p & p \end{array}$

或 $P\set{X = k} = p^{k} (1 - p)^{1 - k} (k = 0, 1 , 0 < p < 1)$ 则称 $X$ 服从两点分布或 $0 - 1$ 分布，记为 $\sim B(1, p)$

二项分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $P\set{X = k} = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} (k = 0, 1, 2, \cdots, n , 0 < p < 1)$ ，则称 $X$ 服从二项分布，记为 $\sim B(n, p)$ ， $n = 1$ 时的二项分布即为两点分布
设随机变量 $\sim B(n, p)$ ，若 $P\set{X = k}$ 在 $X = m$ 处取得最大值，则称 $P\set{X = m}$ 为二项分布的中心项， $m$ 称为最可能成功次数，对于给定的 $n$ 及 $p$ ，可以证明 $m = [(n + 1) p]$ ，若 $(n + 1) p$ 为正整数，则 $m = (n + 1) p$ 及 $m = (n + 1) p - 1$ 均为最可能成功次数

泊松分布

泊松定理

设随机变量 $X_{n} (n = 1, 2, \cdots)$ 服从二项分布，设 $\lambda > 0$ 是一常数， $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{n p_{n}} = \lambda$ ，则对任意固定的 $k$ ，有 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k}} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{- \lambda}$

证明

$C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} = \frac{n (n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^{k} (1 - \frac{\lambda}{n})^{n - k} = \frac{\lambda^{k}}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \cdots (1 - \frac{k - 1}{n}) (1 - \frac{\lambda}{n})^{n - k}$
而 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1 - \frac{\lambda}{n})^{n - k}} = e^{- \lambda}$ ，因此 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k}} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{- \lambda}$

泊松分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $P\set{X = k} = \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{- \lambda} , \lambda > 0 , k = 0, 1, 2, \cdots$ ，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $\sim P(\lambda)$
$\sum\limits_{k = 0}^{\infty}{P\set{X = k}} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}{\frac{\lambda^{k}}{k!} e^{- \lambda}} = e^{- \lambda} \sum\limits_{k = 0}^{\infty}{\frac{\lambda^{k}}{k!}} = e^{- \lambda} · e^{\lambda} = 1$
当 $n$ 很大， $p$ 很小时，二项分布 $B (n, p)$ 近似于泊松分布 $P(\lambda)$ ，即 $C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \approx \frac{\lambda^{k}}{k!} e^{- \lambda}$

超几何分布

设有 $N$ 件产品，其中有 $M$ 件次品，现从中不放回地任取 $n$ 件，则在这 $n$ 件中所含的次品数 $X$ 是一个随机变量，求 $X$ 的分布律
若 $\leq M$ ，则 $X$ 可能取 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots$ ， $n$ ，若 $n > M$ ，则 $X$ 可能取 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots$ ， $M$
由古典概型得 $P\set{X = k} = \frac{C_{M}^{k} C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}} , k = 0, 1, 2, \cdots, l$ ，其中 $\min\set{M, n}$
若随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\set{X = k} = \frac{C_{M}^{k} C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}} , k = 0, 1, 2, \cdots, l , l = \min\set{M, n}$ ，则称 $X$ 服从超几何分布，记为 $\sim h(n, N, M)$

几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $P\set{X = k} = (1 - p)^{k - 1} p (0 < p < 1 , k = 1, 2, \cdots)$ ，则称 $X$ 服从几何分布，记为 $\sim G(p)$
一般地，在伯努利试验中，事件 $A$ 首次发生在第 $k$ 次的概率为 $p)^{k - 1} p , k = 1, 2, \cdots$ ，通常称 $k$ 为事件 $A$ 的首发生次数

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量

设随机变量 $X$ ，如果存在非负可积函数 $\infty < x < + \infty)$ ，使得对任意实数 $\leq b$ ，有 $P\set{a \leq X \leq b} = \int_{a}^{b}{f(x) dx}$ ，则称 $X$ 为连续型随机变量，称 $f (x)$ 为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度或密度
若 $x$ 是 $f (x)$ 的连续点，则对 $\Delta{x} > 0$ ， $\lim\limits_{\Delta{x} \rightarrow 0}{\frac{P\set{x \leq X \leq x + \Delta{x}}}{\Delta{x}}} = \lim\limits_{\Delta{x} \rightarrow 0}{\frac{\int_{x}^{x + \Delta{x}}{f(t) dt}}{\Delta{x}}} = f(x)$ ，故 $X$ 的密度 $f (x)$ 在 $x$ 这一点的值，恰好是 $X$ 落在区间 $\Delta{x}]$ 上的概率与区间长度 $\Delta{x}$ 之比的极限，可见，若不计高阶无穷小，有 $P\set{x \leq X \leq x + \Delta{x}} \approx f(x) \Delta{x}$ ，这表示 $X$ 落在充分小区间 $\Delta{x}]$ 上的概率近似地等于 $\Delta{x}$
连续型随机变量取任一指定值的概率是 $0$
对连续型随机变量 $X$ ，有 $P\set{a < X \leq b} = P\set{a \leq X \leq b} = P\set{a < X < b} = P\set{a \leq X < b}$ ，即是说，当计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，无需考虑区间是否包含端点

零概率事件

在概率论中，概率为零的事件称为零概率事件，它与不可能事件是有区别的，不可能事件是零概率事件，但零概率事件并不都是不可能事件
事件“ $X = a$ ”是零概率事件，但连续型随机变量取任何一点都有可能发生

几乎必然发生的事件

一个事件的概率等于 $1$ ，这事件也未必是必然事件，把概率为 $1$ 的事件称为几乎必然发生的事件

连续型随机变量的常见分布

均匀分布

设连续型随机变量 $X$ 在有限区间 $[a, b]$ 内取值，且其概率密度为

$\begin{cases} \cfrac{1}{b - a} & , a \leq x \leq b \\ 0 & , 其他 \end{cases}$

则称 $X$ 在 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记为 $\sim U[a, b]$
均匀分布在实际问题中是常见的，比如，若某汽车站的汽车每 $5$ 分钟一趟，设 $X$ 为乘客的候车时间，则 $\sim U[0, 5]$

指数分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度

$\begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & , x \geq 0 \\ 0 & , x < 0 \end{cases}$

其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $\sim E(\lambda)$

正态分布

若随机变量 $X$ 的概率密度为 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} , - \infty < x < + \infty$ ，其中 $\mu$ ， $\sigma$ 为常数，且 $\sigma > 0$ ，则称 $X$ 服从参数为 $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 的正态分布或高斯分布，记为 $\sim N(\mu, \sigma^{2})$
正态分布的概率密度曲线 $y = f (x)$ 是一条关于 $\mu$ 对称的曲线， $\mu \pm \sigma$ 为其两个拐点的横坐标
特别地，当 $\mu = 0$ ， $\sigma = 1$ 时称 $X$ 服从标准正态分布，即 $\sim N(0, 1)$
对标准正态分布，概率密度用 $\varphi(x)$ 表示 $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} , - \infty < x < + \infty$

【数学】概率论与数理统计（三）

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【redis初阶】环境搭建

目录一、Ubuntu 安装 redis 二、Centos7 安装 redis 三、Centos8 安装 redis 四、redis客户端介绍 redis学习🥳 一、Ubuntu 安装 redis 使用 apt 安装 apt install redis -y 查看redis版本 redis-server --version 支持远程连接…...

编程日记 2025/5/31 6:16:18

OpenCV相机标定与3D重建(54)解决透视 n 点问题（Perspective-n-Point, PnP）函数solvePnP()的使用

操作系统：ubuntu22.04 OpenCV版本：OpenCV4.9 IDE:Visual Studio Code 编程语言：C11 算法描述根据3D-2D点对应关系找到物体的姿态。 cv::solvePnP 是 OpenCV 库中的一个函数，用于解决透视 n 点问题（Perspective-n-Po…...

编程日记 2025/6/4 3:05:57

shell脚本回顾1

1、shell 脚本写出检测 /tmp/size.log 文件如果存在显示它的内容，不存在则创建一个文件将创建时间写入。一、 ll /tmp/size.log &>/dev/null if [ $? -eq 0 ];then cat /tmp/size.log else touch /tmp/size.log echo date > /tmp/size.log fi二、 if …...

编程日记 2025/6/3 12:59:15

HarmonyOS命令行工具

作为一个从Android转过来的鸿蒙程序猿，在开发过程中不由自主地想使用类似adb命令的命令行工具去安装/卸载应用，往设备上推或者拉去文件，亦或是抓一些日志。但是发现在鸿蒙里边，华为把命令行工具分的很细，种类相当丰富 …...

编程日记 2025/6/2 11:52:34

V少JS基础班之第四弹

一、前言第四弹内容是操作符。本章结束。第一个月的内容就完成了， 是一个节点。下个月我们就要开始函数的学习了。我们学习完函数之后。很多概念就可以跟大家补充说明了。 OK，那我们就开始本周的操作符学习本系列为一周一更，计划历时6…...

编程日记 2025/6/3 16:03:01

文章目录

随机变量的概念

随机事件数量化

随机变量

离散型随机变量及其概率分布

随机变量的分类

离散型随机变量

离散型随机变量的常见分布

两点分布

二项分布

泊松分布

泊松定理

证明

泊松分布

超几何分布

几何分布

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量

零概率事件

几乎必然发生的事件

连续型随机变量的常见分布

均匀分布

指数分布

正态分布

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