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切比雪夫插值

news 来源：原创 2025/5/7 10:18:57

切比雪夫插值是一种基于切比雪夫节点的多项式插值方法，其优势是减少插值误差(特别是龙格现象：表现为高维插值时在边缘处插值误差骤增)。本文对其基本操作进行说明。

1. 切比雪夫节点

切比雪夫插值的核心是使用切比雪夫节点作为插值点。切比雪夫节点是切比雪夫多项式的零点，在区间[-1,1]上定义为：
$x_k=cos(\frac{(2k+1)\pi}{2n}),k=0,2,...,n-1 \tag{1}$
其中 $n$ 是插值点数。
若将插值区间由[-1,1]变化为 $[a, b]$ ，则切比雪夫节点可以表示为
$x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}cos(\frac{(2k+1)\pi}{2n}),k=0,2,...,n-1 \tag{2}$

2. 切比雪夫插值步骤

切比雪夫插值包含以下步骤：
（1）计算切比雪夫节点
根据插值区间 $[a, b]$ 和插值个数n，根据(2)式计算切比雪夫节点 $x_k$ ;
（2）计算函数值
在切比雪夫节点处计算目标函数 $f (x)$ 的值，得到数据点 $x_k,f(x_k))$ ；
（3）构建插值多项式
使用拉格朗日插值法或牛顿插值法，基于切比雪夫数据点 $x_k,f(x_k))$ ，构建插值多项式 $P (x)$ ；
（4）插值结果验证
比较其他插值点选取方式和切比雪夫插值的结果差异。

3. 仿真验证

假设我们需要在区间[-5,5]上对函数 $f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$ 进行插值，插值算法为拉格朗日插值(原理见《拉格朗日插值原理推导》)。按均匀点和切比雪夫节点分别进行插值，结果如下(代码见附录)：

在这里插入图片描述

图1. 线性插值示意图

从上图可见，采用均匀分布的点进行插值，在两端会有明显的震荡，插值误差很大(称为龙格现象)，而采用切比雪夫节点进行插值，则没有该现象。切比雪夫节点抑制龙格现象的原因主要为：

切比雪夫节点在区间端点附近更加密集，这种分布方式能够有效抑制插值多项式在区间端点附近的振荡。相比之下，均匀分布的节点在区间端点附近较为稀疏，容易导致插值多项式在这些区域产生剧烈振荡。
切比雪夫节点的分布是基于最小最大准则（Minimax Criterion）的，即通过选择节点位置，使得插值多项式与目标函数之间的最大误差最小化。这种优化方式能够确保插值多项式在整个区间内均匀逼近目标函数，而不会在某些区域（如区间端点）产生过大的误差。

【附录】：仿真代码

clc;close all;clear;a=-5;
b=5;
interp_x = linspace(a,b,100);   % 期望的插值坐标
ref_y=test_func(interp_x);      % 真实函数值n=20;   % 已知插值点数
k=0:n-1;
uniform_x=linspace(a,b,n);
uniform_y=test_func(uniform_x);  % 等间隔分布的已知插值点
chebyshev_x=0.5*(a+b)+0.5*(b-a)*cos((2*k+1)*pi/(2*n));
chebyshev_y=test_func(chebyshev_x);  % 切比雪夫插值点uniform_interp_y=lagrange_interpolation(uniform_x, uniform_y, interp_x);
chebyshev_interp_y=lagrange_interpolation(chebyshev_x, chebyshev_y, interp_x);figure;
hold on;
plot(interp_x,ref_y, 'r');
plot(uniform_x,uniform_y, 'bo');
plot(interp_x,uniform_interp_y, 'b');
plot(chebyshev_x,chebyshev_y, 'ko');
plot(interp_x,chebyshev_interp_y, 'k');
legend('ideal', 'uniform points', 'uniform interp.', 'chebyshev points', 'chebyshev interp.');
box on;
grid on;function y = test_func(x)% 函数说明：用于测试的目标函数% x:横坐标% y:函数返回值y=1./(1+25*x.^2);
endfunction P = lagrange_interpolation(x, y, xi)% x: 已知数据点的 x 坐标% y: 已知数据点的 y 坐标% xi: 需要插值的点% P: 插值结果n = length(x);P = zeros(size(xi));for k = 1:nL = ones(size(xi));for i = 1:nif i ~= kL = L .* (xi - x(i)) / (x(k) - x(i));endendP = P + y(k) * L;end
end

1. 切比雪夫节点

2. 切比雪夫插值步骤

3. 仿真验证

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